1、二.圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理,第二講 直線和圓的位置關(guān)系,二中西校區(qū) 張福光,1.圓內(nèi)接多邊形,若一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。,O,A,C,D,E,B,什么叫圓內(nèi)接多邊形？,回答下列問(wèn)題： 1.任意三角形都有外接圓嗎？.,2.任意正方形有外接圓嗎？,3.任意矩形是否有外接圓？,4. 任意四邊形都有外接圓嗎？,探究： 觀察上組圖形，你能從中發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的共同特征嗎？,A,B,D,C,O.,o.,o.,A,D,B,C,A,D,B,C,A,D,B,C,圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).,下面我們來(lái)證明上述結(jié)論.,問(wèn)題2：圓內(nèi)接四邊形

2、有什么性質(zhì)？,如圖，已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形；O為四邊形ABCD外接圓.求證： AC180， BD180.,分析： 從考察四個(gè)角的關(guān)系出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的角都是圓周角，因此我們可以借助圓周角定理.,C,O,D,B,A,同理BD180.,圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：,定理1.圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).,證明：如圖連接OB、OD， 則,如圖，已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形；O為四邊形ABCD外接圓.求證： AC180,BD180.,引申：如果延長(zhǎng)BC到E，那么DCEBCD ,180.,所以ADCE.,又 A BCD 180；,因?yàn)锳是與DCE相鄰的內(nèi)角DCB的對(duì)角，我們把A叫做DCE的

3、內(nèi)對(duì)角。,定理2：圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。,圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：,C,O,D,B,A,圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理:,圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的對(duì)角。,看右圖歸納：,練習(xí)：,1、如圖，四邊形ABCD為O 的內(nèi)接四邊形，已知BOD100，求BAD及BCD的度數(shù)。,BAD 50;,BCD 130.,例 1. 如圖O1與O2都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與O1 交于點(diǎn)C，與O2 交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與O1 交于點(diǎn)E，與O2 交于點(diǎn)F。求證：CEDF,分析：,連結(jié)AB,ABEC是O1的內(nèi)接四邊形,ABFD是O2的內(nèi)接四邊形,ECAB180,CA

4、BF,EF180,CEDF,證明：連結(jié)AB,ABEC是O1的內(nèi)接四邊形，,1F,ADFB是O2的內(nèi)接四邊形，,E1180,EF180,CEDF,1,例 1. 如圖O1與O2都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與O1 交于點(diǎn)C，與O2 交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與O1 交于點(diǎn)E，與O2 交于點(diǎn)F。求證：CEDF.,小結(jié)：,圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理:,圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的對(duì)角。,問(wèn)題2：如何判定一個(gè)四邊形有外接圓？,2.如果逆命題成立，我們可以得到四邊形存在外接圓的判定定理.,1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理1的逆命題是什么嗎？,逆命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，

5、那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。,如何證明逆命題： 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。,性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).,C,O,D,B,A,如果能夠由條件得到O過(guò)點(diǎn)D，那么就證明了命題.,分析：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。,經(jīng)過(guò)A、B、C、三點(diǎn)作O，,討論： O與點(diǎn)D有幾種位置關(guān)系？,三種：,（1）點(diǎn)D在圓O外；（2）點(diǎn)D在圓O內(nèi)；（3）點(diǎn)D在圓O上.,如果我們否定了點(diǎn)D在圓O外和點(diǎn)D在圓O內(nèi)；則點(diǎn)D在圓O上成立；,如何否定了點(diǎn)D在圓O外和點(diǎn)D在圓O內(nèi)？,采用反證法把點(diǎn)D在圓O外和點(diǎn)D在圓O內(nèi)情況一一否定。,已知：在四邊形ABCD中，B+D=180，求證：A,B,

6、C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓周上（簡(jiǎn)稱(chēng)四點(diǎn)共圓）.,C,O,D,B,A,反證法證明：（1）假設(shè)點(diǎn)D在圓O外；,E,設(shè)E是AD與圓周的交點(diǎn)，連接EC，,則有AECB180.,由題設(shè)BD180.,可得D=AEC.,這與“三角形的外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.,故D點(diǎn)不可能在圓外.,反證法證明：（2）假設(shè)點(diǎn)D在圓O內(nèi)；,C,O,D,B,A,顯然AD的延長(zhǎng)線必與圓相交，,設(shè)交點(diǎn)為E，連接CE，,則有BE 180.,BD180.,E=ADC.,這與“三角形的外角大于任意不相鄰的內(nèi)角”矛盾.,D點(diǎn)不可能在圓內(nèi).,綜上所述，點(diǎn)D只能在圓周上，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.,定理： 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四

7、邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。,圓內(nèi)接四邊形的判定定理：,回顧： 在圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明中，我們用分類(lèi)思想對(duì)點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)確定的圓的位置關(guān)系進(jìn)行了討論，在每一種情形中都運(yùn)用了反證法進(jìn)行了證明.,窮舉法： 當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論存在多種情形時(shí)，通過(guò)對(duì)每一種情形分別論證，最后獲證結(jié)論的方法，稱(chēng)為窮舉法.,這種證明問(wèn)題的方法叫窮舉法.,圓內(nèi)接四邊形的判定定理的推論：,推論： 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。,(如何證明？),證明：BCDDCE180，,又A=DCE，,BCDA180，,A、B、 C、D四點(diǎn)共圓.,圓內(nèi)接四邊形的判定定理：,定理： 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

8、，或一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,例2.如圖，CF是ABC的AB邊上的高，F(xiàn)PBC， FQAC.求證：A、B、P、Q四點(diǎn)共圓.,C,A,B,Q,P,F,分析：只需說(shuō)明A、B、P、Q四點(diǎn)確定的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角，因此需連接QP.,證明：連接QP.在四邊形QFPC中，, FPBC ， FQAC，,FQA=FPC，, Q、F、P、C四點(diǎn)共圓.,QFC=QPC，,又CFAB ，,QFC與QFA互余.,而A與QFA也互余.,A=QFC，,A=QPC，,A、B、P、Q四點(diǎn)共圓.,小結(jié)：,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理.,1.性質(zhì)定理：,2.判定定理：,課后作業(yè)：課

9、本P30習(xí)題2.2：1，2，3.,圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的對(duì)角。,如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，或一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,再見(jiàn)！,二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定定理補(bǔ)充習(xí)題,補(bǔ)充2.如圖，在正方形ABCD中，M為AB上一點(diǎn)， N為BC上一點(diǎn)，且BM=BN，BPMC于點(diǎn)P，求證：（1）BPNCPD；（2）DPNP.,分析（1）：欲證BPNCPD；,而DCP=BMC =CBP（為什么？）,又RtMPBRtBPC；,又BM=BN，BC=DC；,故BPNCPD成立；,分析（2）：欲證D

10、PNP.,需證DPN= DPC+ NPC=90;,由（1）知DPC= BPN;,而B(niǎo)PN+ NPC=90;,則DPN= DPC+ NPC=90成立;,即DPNP成立.,圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形就叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓就是多邊形的外接圓,D,B,A,C,O,圓內(nèi)接四邊形判定定理 對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓,如果 個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，也稱(chēng)這 個(gè)點(diǎn)共圓,一個(gè)四邊形內(nèi)接于圓也稱(chēng)這個(gè)四邊形的頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓,定理 若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等，則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓,特別的，對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓,例1、如圖，O1與O2交于點(diǎn)M、N，直線AB過(guò)M與O1與O2 分別交于點(diǎn)A、B，直線CD過(guò)N與O1與O2 分別交于點(diǎn)C、D，求證：AC/BD,D,B,O1,A,C,M,N,O2,例2、如圖，D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，O1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，交AB于另一點(diǎn)E，O2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、