1、推廣,第六章,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),注意: 善于類比, 區(qū)別異同,多元函數(shù)微分學(xué),一、多元函數(shù)的概念,二、多元函數(shù)的極限,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,四、小結(jié),第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念,(1) 鄰域,點(diǎn)集,稱為點(diǎn) P0 的鄰域.,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),點(diǎn)P0的去心鄰域記為,例如,在平面上,一、多元函數(shù)的概念,（2）內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn),1. 內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)；,說明：,2. 邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)；,例,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于E,（3）開集和閉集,例如，,即為開集,（4）區(qū)域和閉區(qū)域,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,例如，,例如，,有界閉區(qū)域；,無界開區(qū)域,例如，,（5）有界集和無界集,n維空

2、間,n維空間的記號(hào)為,說明：,（6）二元函數(shù)的定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),例1 求 的定義域,解,所求定義域?yàn)?（7） 二元函數(shù) 的圖形,（如下頁(yè)圖）,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,例如,圖形如右圖.,例如,左圖球面.,單值分支:,二、多元函數(shù)的極限,定義1: 設(shè)n元函數(shù),點(diǎn) ,則稱A為函數(shù),(也稱為n重極限),當(dāng)n =2時(shí),記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0是D的聚,若存在常數(shù)A ,對(duì)一,記作,都有,對(duì)任意正數(shù),總存在正數(shù),切,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似,例2 求證,證,當(dāng) 時(shí)，,原結(jié)論成立,例3 求極限,解,例:求極限,有界

3、變量乘無窮小量,夾逼法則,例4 證明 不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,確定極限不存在的方法:,找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者不相等; 令p(x,y)沿某一定曲線趨向于 時(shí),極限不存在.,例：,，取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3,例5 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),例 證明,在全平面連續(xù).,證:,為初等函數(shù) , 故連續(xù).,又,故函數(shù)在全平面連續(xù) .,由夾逼準(zhǔn)則得,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,（3）有界定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界,多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,例6,解,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性