1、第十五章 機(jī)械振動(dòng),基本內(nèi)容：,諧振動(dòng)的特征 諧振動(dòng)的描述 諧振動(dòng)的合成,機(jī)械振動(dòng)： 物體在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。,機(jī)械振動(dòng)可分為周期性振動(dòng)和非周期性振動(dòng)，最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是周期性的直線振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。,15.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn),位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。,將小球推離平衡位置并釋放，小球來回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒有，小球只受彈性回復(fù)力，振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,一、諧振動(dòng)中的理想模型彈簧振子,如果振動(dòng)物體可表

2、示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關(guān)系：,二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：,1、動(dòng)力學(xué)特征：,從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。,K是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反。,回復(fù)力,2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：,令,積分得：,從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。,3、能量特征

3、：,其中,能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)（平衡位置）的動(dòng)能。振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能守恒。,一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能：,例6.諧振子在相位為 ,其動(dòng)能為 ,求其機(jī)械能。,解：,1、方程中各參量的物理意義,x : 表示 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移。,A: 質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移最大值的絕對(duì)值振幅。, 15.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述,一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法, ：,又,比較知,稱為圓頻率,僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。,t + :,稱位相或相位或周相，是表示任意 t 時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)狀態(tài)的參量。, :,稱為初位相，是表示 t=0 時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。,2

4、、位移、速度 加速度,v 的位相超前 x /2,問題： 是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)（t=0 時(shí)的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相對(duì)應(yīng)的 ？,（1）、已知 t = 0 振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0), v(0)求 ,可得：,A與由系統(tǒng)的初始條件x(0), v(0)決定,（2）已知 t = 0 振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求,最終確定初位相的值,例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知 k, ，以小球運(yùn)動(dòng)至A/2處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的振動(dòng)方程。,解：?jiǎn)栴}歸結(jié)于求,t = 0 小球向 x 負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而 v 0 = +600,例

5、2 如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。,解：,t =0, x(0) = 0, v(0) = v,例3 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b 。求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出 振動(dòng)方程。,取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜平衡受力分析如圖,kb - mg = 0,證明：,則有：,任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：,F =mg -k ( b+x ) = -kx,小球作諧振動(dòng),A=b , = ,由mg - kb = 0得：,由題知：,t=0時(shí)， x0=-b， v0=0,則可得：,所以運(yùn)動(dòng)方程為：,二、諧振動(dòng)的圖線描述法,兩類問題：,1、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線,2

6、、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程,三、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,1、旋轉(zhuǎn)矢量,M 點(diǎn)在x 軸上投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為振動(dòng)方程：,注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v 0,注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限速度v 0,則稱振動(dòng) 2 超前振動(dòng) 1，振動(dòng) 1 滯后振動(dòng) 2,若周相差= 2-10,2、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系,若周相差= 0，則稱兩振動(dòng)同步,若周相差=，則稱兩振動(dòng)反相,t =1時(shí),x1=0,例4 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求、以及振動(dòng)方程。,t = 0時(shí),解：,1=t1+,本題的另一種求法:, 15.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成,1、利用三角函數(shù)公式合成,令,則可得：

7、,其中：,2、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成,結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。,討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱,一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)振幅在A1+A2與|A1-A2| 之間。,二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成,一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。 一種特殊情況拍現(xiàn)象,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）,三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成,例5已知,求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫出合振動(dòng)的表達(dá)式。,解：,例6一物體沿x軸

8、作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）振動(dòng)表達(dá)式； （2）t=0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度； （3）從x=-0.06m且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間,解:（1）,由于物體此時(shí)向x正向運(yùn)動(dòng)，,故,（2）,（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。,質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，,設(shè) 時(shí)，x=-0.06m.,故,質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為 ，設(shè)該時(shí)刻為 。,所以,第十六章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ),波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳播的過程。,機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過程。 電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過程。,基本內(nèi)容：,機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播 機(jī)械

9、波的幾個(gè)特征量 波動(dòng)方程 波的疊加原理（特例）波的干涉。,各類波的本質(zhì)不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。,16.1 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播,1、波源 2、 彈性媒質(zhì),橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直,縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行,二、機(jī)械波的分類,一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件,特點(diǎn)：具有波峰和波谷（如繩子上的波）,特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）,橫波的波動(dòng),波的傳播方向,特點(diǎn)：具有波峰和波谷,縱波的波動(dòng),波的傳播方向,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向,特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域,三、波的形成和傳播（以橫波為例）,1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力

10、，故當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶動(dòng)其周圍其它的質(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來如此依次帶動(dòng)，振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開去,形成機(jī)械波。,（靜止）,（振動(dòng)狀態(tài)傳至4）,（振動(dòng)狀態(tài)傳至7）,（振動(dòng)狀態(tài)傳至10 ),（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）,2.結(jié)論,（1）各質(zhì)點(diǎn)僅在自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不 隨波前進(jìn)。,（2）振動(dòng)狀態(tài)以一定的速度傳播波速。（注意 波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）,（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。 沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。,（4）波形在空間移動(dòng)行波。,四、波的幾何描述,同相面（波面）：,由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。,波陣面（波前)：,某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。,

11、波線（波法線）：,表示波的傳播方向的線。在各向同性介 質(zhì)中與波面法線相同。,在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直,平面波：,球面波：,波陣面為一球面。,波陣面為一平面。,橫波波速,G 切變彈性模量 密度（單位體積質(zhì)量）,波長(zhǎng) 在同一條波線上,周相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。 周期 傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。 頻率 在單位時(shí)間內(nèi)通過某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。,波速 波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。,16.2 機(jī)械波的幾個(gè)特征量,頻率和周期只決定于波源，和媒質(zhì)無關(guān)。,縱波波速,流體（氣體、液體）,固體,Y:楊氏彈性模量,B:容變彈性模量,波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量,任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：,參考點(diǎn)O點(diǎn)的

12、振動(dòng)方程為：,y表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為 x 處）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移, 也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。,16. 3 波動(dòng)方程,一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：,平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:,其中減號(hào)表示波向x軸正向傳播，加號(hào)表示波向x軸負(fù)向傳播,表示在t1 時(shí)刻的波形,3、 t 與 x 都發(fā)生變化,t=t1時(shí),表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程,二、波動(dòng)方程的物理意義,1、x=x1（常數(shù)）,2、t=t1（常數(shù)）,t=t1+t時(shí),表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過t時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在x處，波向前傳播了ut的距離，即某一固定周相傳播了ut的距離。,可以證明三維的波動(dòng)方程為：,其中為質(zhì)點(diǎn)的

13、位移,從上兩式可得波動(dòng)方程：,三、波動(dòng)方程的一般形式,例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為,式中A、B、C為正值恒量。,試求： （1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；,（3）任何時(shí)刻，在波傳播方向上相距為D的兩點(diǎn)的周相差。,（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；,解：（1）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,波的振幅為A, 波速,頻率,波長(zhǎng),（2）,（3）, 例2 以P 點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。, 例3 波速 u =400m/s, t = 0 s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動(dòng)方程。,例4一橫波在弦上傳播，其方程是,式中x、y以米計(jì)，t與秒計(jì)。,（1）求波長(zhǎng)、周期、波速

14、；,（2）畫出 t=0, 0.0025s, 0.005s時(shí)弦的形狀。,解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,波長(zhǎng),周期 T=0.01S,波速,方法二、依各量的物理意義求解,（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。,方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。,例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u 傳播，已知p點(diǎn)的振,就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫出各自的波函數(shù)。,動(dòng)方程為,例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.5m/s求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。,解：由圖知,t=0原點(diǎn)0:,例7、,一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為,A、,波速為 u，設(shè)t=0時(shí)的

15、波形曲線如圖。,（1）寫出該波的波函數(shù)；,（2）求距0點(diǎn)為,（3）求距0點(diǎn)為,處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；,處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度。,y,x,0,u,解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位,故波函數(shù),（2）,（3）,16.4 波的能量 能流密度,一、能量密度,取體積元dV，,能量密度:,平均能量密度：,能流P :單位時(shí)間通過某一面積的波能。,P = S w u,二、能流密度,波的強(qiáng)度 I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。,總結(jié)：波是能量傳播的一種形式。,波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳 播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。,16.5 惠更斯原理,一、惠更斯原

16、理,波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。,用惠更斯原理解釋折射定律,二、惠更斯原理的應(yīng)用,沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加,兩水波的疊加,16.6 波的疊加原理,一、波的疊加原理,1、波的獨(dú)立傳播原理: 有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。,2、波的疊加原理:在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi),媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這幾列波所引起振動(dòng)，其位移為各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起振動(dòng)的合振動(dòng)。,二、波的干涉,相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱這兩波源為相干波源。,波源,P點(diǎn),干涉加強(qiáng)(A最大)條件：,干涉減弱(A最小)條件：,問題：對(duì)于相干光波，干涉條件如何？,兩波的波動(dòng)方程分別為：,駐波 ： 一對(duì)振幅相同的相干波，在同一條直線上，沿相反方向傳播時(shí)，疊加而成的波。,三、駐波,波腹位置：,波節(jié)位置：,相鄰兩波節(jié)（或波腹）的距離:,駐波的特點(diǎn)： 1. 有波節(jié)、波腹； 2. 波節(jié)兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周相相反，相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周相相同。 3. 波的