1、1,第4章 數(shù)值積分,2,1 引言,1 . 數(shù)值求積的基本思想,依據(jù)微積分基本定理，對于積分,只要找到被積函數(shù) 的原函數(shù) ，便有下列牛頓-萊 布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,但對于下列情形：,3,（1）被積函數(shù)，諸如 等等，找不到用 初等函數(shù)表示的原函數(shù)；,（2）當 是由測量或數(shù)值計算給出的一張數(shù)據(jù)表. 這時，牛頓-萊布尼茨公式也不能直接運用.,因此有必要研究積分的數(shù)值計算問題.,由積分中值定理知，在積分區(qū)間 內(nèi)存在一點， 成立,4,圖4-1,5,將 稱為區(qū)間 上的平均高度.,是梯形公式(幾何意義參看圖4-2).,6,圖4-2,用區(qū)間中點 的“高度” 近似地取代平均 高度 ，則又

2、可導出所謂中矩形公式(簡稱矩形公式),7,一般地，可以在區(qū)間 上適當選取某些節(jié)點 ，,然后用 加權平均得到平均高度 的近似值，這樣,式中 稱為求積節(jié)點； 稱為求積系數(shù),亦稱伴隨節(jié)點 的權.,權 僅僅與節(jié)點 的選取有關，,構造出的求積公式具有下列形式：,k,A,8,這類數(shù)值積分方法通常稱為機械求積，其特點是將積 分求值問題歸結為函數(shù)值的計算，這就避開了牛頓-萊布尼 茨公式需要尋求原函數(shù)的困難.,9,2. 代數(shù)精度的概念,定義1,則稱該求積公式具有 次代數(shù)精度.,梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度.,數(shù)值求積是近似方法，為保證精度，自然希望求積公 式對盡可能多的函數(shù)準確成立.,10,欲使求積公式

3、 具有 次代數(shù)精度，則只要令它,對 都準確成立，就得到,11,如果事先選定求積節(jié)點 ，譬如，以區(qū)間 的等 距分點作為節(jié)點，這時取 ，求解方程組即可確 定求積系數(shù) ，而使求積公式 至少具有 次代數(shù)精度.,構造求積公式，原則上是一個確定參數(shù) 和 的代數(shù)問題.,12,例 求a,b,c的值使下列求積公式的代數(shù)精度 達到最高。,13,3. 插值型的求積公式,設給定一組節(jié)點,且已知函數(shù) 在這些節(jié)點上的值，,作插值函數(shù) .,取,作為積分 的近似值，,這樣構造出的求積公式,14,稱為是插值型的，式中求積系數(shù) 通過插值基函數(shù) 積分得出,由插值余項定理(第2章的定理2)即知，對于插值型的 求積公式，其余項,式中與

4、變量 有關，,15,余項 為零，,16,定理1,注意到,上式右端實際上等于,因而,成立.,這樣，有下面定理.,17,4 . 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性,定義2,其中,在求積公式中，由于計算 可能產(chǎn)生誤差 ，,實際得的將是 ，,即,在求積公式中，若,則稱求積公式(1.3)是收斂的.,記,18,如果對任給小正數(shù),只要誤差 充分小就有,則表明求積公式計算是穩(wěn)定的，,由此給出下面定義.,定義3,就有 成立，則稱求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,若,只要,19,定理2,證明,取,若求積公式中系數(shù),則此求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,都有,若對,則當 時有,20,由定義3知，求積公式是穩(wěn)定的.,21,2 牛頓-柯特斯

5、公式,1. 柯特斯系數(shù),設將積分區(qū)間 劃分為 等分，,選取等距節(jié)點 構造出的插值型求積公式,稱為牛頓-柯特斯公式，,式中 稱為柯特斯系數(shù).,引進變換,步長,則利用等距節(jié)點的,插值公式，有,22,當 時，,這時的求積公式就是梯形公式,23,當 時，,相應的求積公式是辛普森(Simpson)公式,柯特斯系數(shù)為,24,的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，,這里,可構造柯特斯系數(shù)表.,其形式是,25,26,從柯特斯系數(shù)表看到 時，柯特斯系數(shù) 出現(xiàn) 負值，,特別地，假定,于是有,且,則有,27,它表明初始數(shù)據(jù)誤差將會引起計算結果誤差增大，即計算 不穩(wěn)定，故 的牛頓-柯特斯公式是不用的.,28,2. 偶階求

6、積公式的代數(shù)精度, 由定理1， 階的牛頓-柯特斯公式至少具有 次的代數(shù)精度.,先看辛普森公式，它是二階牛頓-柯特斯公式，因 此至少具有二次代數(shù)精度.,用 進行檢驗，,本節(jié)討論代數(shù)精度的進一步提高問題.,按辛普森公式計算得,29,另一方面，直接求積得,這時有 ，,而它對 通常是不準確的，,辛普森公式實際上具有三次代數(shù)精度.,因此，,定理3,30,證明,由于這里,引進變換 并注意到 有,按余項公式,有,31,因為被積函數(shù),若 為偶數(shù)，則 為整數(shù)，,為奇函數(shù)，所以,再令,進一步有,32,3 . 幾種低階求積公式的余項,按余項公式，梯形公式的余項,這里積分的核函數(shù) 在區(qū)間 上保號(非正)，,應用積分中

7、值定理，在 內(nèi)存在一點 使,，,33,34,3 復化求積公式,復化求積的基本思想是把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間(通 常是等分)，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式，目的是提 高精度.,1. 復化梯形公式,分點,將區(qū)間 劃分為 等分，,35,記,稱為復化梯形公式.,36,其余項,由于 , 且,所以 使,于是復化梯形公式余項為,37,誤差是 階，,且當 時有,即復化梯形公式是收斂的.,38,此外， 的求積系數(shù)為正，由定理2知復化梯形公式是 穩(wěn)定的.,只要 則當 時，上式均收斂到積分 所以復化梯形公式收斂.,將Tn 改寫為,39,對復化梯形公式，還有 如果f(x)在a,b上有2r+2階連續(xù)導數(shù)，余項,40,

8、定義 設,41,2. 復化辛普森求積公式,記,將區(qū)間 分為 n 等分，,n=2m, xk=a+kh,k=0,2m,在每個子區(qū)間 x2k-2,x2k 上用Simpson公式,42,稱為復化辛普森求積公式.,于是當 時，,與復化梯形公式相似有,誤差階為 4 ，顯然是收斂的.,43,實際上，只要,則可得到收斂性，,即,此外，由于 Sn 中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復化辛普森 公式計算穩(wěn)定,44,例2,對于函數(shù) ，,給出 的函數(shù)表,并估計誤差.,解,(見表4-2)，,計算積分,應用復化梯形法求得T8=0.9456909,試用復化梯形公式(及復化辛普森公式,將積分區(qū)間0,1劃分為8等分，,45,而如果將0,

9、1 分為4等分，應用復化辛普森法有 S4=0.9460832,同積分的準確值 I=0.9460831比較，,接下來看誤差估計 ，由于,所以有,46,于是,得復化梯形公式誤差,47,對復化辛普森公式，,48,49,4 Richardson外推法,也就是說用 近似J的誤差價為 ，現(xiàn)在考慮利用 構造一個新的計算公式，使誤差的價比 高.,50,51,52,5 龍貝格求積公式,梯形法計算簡單但收斂慢，本節(jié)討論如何提高收斂速 度以節(jié)省計算量.,根據(jù)復化梯形公式的余項表達式,53,54,55,若 (預先給定的精度)，則終止計算，,并取,56,可以證明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值 ，