1、線性代數(shù)（第五版）,線性代數(shù)是代數(shù)的一個分支，它以研究向量空間與線性映射為對象；由于費馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀。 由于它的簡便，所以就代數(shù)在數(shù)學和物理的各種不同分支的應用來說，線性代數(shù)具有特殊的地位。此外它特別適用于電子計算機的計算，所以它在數(shù)值分析與運籌學中占有重要地位。,線性代數(shù)介紹,主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石則早在兩千年前出現(xiàn)（見于數(shù)學名著九章算術）。 線性代數(shù)在數(shù)學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位； 在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現(xiàn)實等技術無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎的一

2、部分； 該學科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學訓練，增益科學智能是非常有用的。,線性代數(shù)地位,教學安排,參考資料 1 線性代數(shù)輔導 胡金德等編 北京：清華大學出版社出版 2線性代數(shù)及其應用，同濟大學應用數(shù)學系編，北京：高等教育出版社 課程教學網(wǎng)站、教學參考網(wǎng)站 10/jpkc/xxds/7/1.htm 294/xxds/old/math.htm,在以往的學習中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組。 但是，從許多實踐或理論問題里導

3、出的線性方程組常常含有相當多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等。,我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形。 在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具。,第一章 行列式,內(nèi)容提要 1 二階與三階行列式 2 全排列及其逆序數(shù) 3 n 階行列式的定義 4 對換 5 行列式的性質(zhì) 6 行列式按行(列)展開 7 克拉默法則,行列式的概念.,行列式的性質(zhì)及計算, 線性方程組的求解,（選學內(nèi)容）,行列式是線性代數(shù)的一種工具！ 學習行列式主要就是要能計算行列式的值。,通過學習本章，要求學生知道n階行列式定義，熟悉行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計算方法及其求解線性方程組的克拉默

4、法則。,教學目的與要求,教學重點：行列式的概念、性質(zhì)及其計算 教學難點：行列式的性質(zhì)及其計算,教學重點、難點,課外思考題 P25 習題一、1(2)(3),2(2)(4),4(2)(3),5(2),6(3)(5),8(2),9,10(2),12,1 二階與三階行列式,從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設法化簡此公式。,一、二元線性方程組與二階行列式,二元線性方程組,由消元法，得,當,時，該方程組有唯一解,求解公式為,二元線性方程組,請觀察，此公式有何特點？ 分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定。 分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得。,其求解公式為,二元線性方程組,引進新的符號

5、來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”。,記號,數(shù)表,表達式 稱為由該 數(shù)表所確定的二階行列式，即,其中，,i 為行標，表明元素位于第i 行； j 為列標，表明元素位于第j 列。,原則：橫行豎列,稱為元素。,二階行列式的計算,主對角線,副對角線,即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積,對角線法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,例1 求解二元線性方程組,解：,因為,所以,二、三階行列式,類似地，討論三元線性方程組,定義 設有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表,原則：橫行豎列,引進記號,稱為三階行列式。,主對角線,副對角線,二階行列式的對角線法則并不適用！

6、,三階行列式的計算,對角線法則,注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式。,實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負號。,三階行列式的計算,沙路法,解：,按對角線法則，有,例2 計算三階行列式,若三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,若記,或,記,即,得,得,則三元線性方程組的解為,例3 解線性方程組,解：,由于方程組的系數(shù)行列式,同理可得,故方程組的解為,解：方程左端,由,例4 求解方程,得,或,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的。,三、小結,思考題,求一個二次多項式f(x)，使,思考題解答,解：,設所求的二次多項式為,由題意得,得一

7、個關于未知數(shù)a,b,c的線性方程組，,又,得,故所求多項式為,2 全排列及其逆序數(shù),引用：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？,解：,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法。,共有,一、概念的引入,問題：把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？,定義 把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列。n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.,顯然,即n個不同的元素一共有n!種不同的排法。,二、全排列及其逆序數(shù),所有6種不同的排法中，只有一種排法(123)中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的

8、，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前。 因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”。,3個不同的元素一共有3! =6種不同的排法,123，132，213，231，312，321,對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序。 n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序。,定義 當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時， 就稱這兩個元素組成一個逆序。,例如 在排列32514中，,3 2 5 1 4,思考題：還能找到其它逆序嗎？,答：2和1，3和1也構成逆序。,定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。,排列i1i2in的逆序數(shù)通常記為t(i1i2in)。,奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。,偶

9、排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。,思考題：符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？,答：符合標準次序的排列(例如：123)的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列。,計算排列的逆序數(shù)的方法有兩種,則此排列的逆序數(shù)為,設p1p2pn是1, 2, , n 這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標準次序。 先看有多少個比p1大的數(shù)排在p1前面，記為t1； 再看有多少個比p1大的數(shù)排在p1前面，記為t2 ; 最后看有多少個比pn大的數(shù)排在pn前面，記為tn ;,方法一,分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。,方法二,例1 求排列32

10、514的逆序數(shù)。,解：,在排列32514中,3排在首位，逆序數(shù)為0;,2的前面比2大的數(shù)只有一個3，故逆序數(shù)為1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序數(shù)為,5的前面沒有比5大的數(shù)，其逆序數(shù)為0;,1的前面比1大的數(shù)有3個，故逆序數(shù)為3;,4的前面比4大的數(shù)有1個，故逆序數(shù)為1;,解：,練習：求排列 453162 的逆序數(shù)。,解：,例1 求排列32514的逆序數(shù)。,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,例2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性。,解,此排列為偶排列。,解,當n=4k，4k+1時為偶排列；,當n=4k+2，4k+3時為奇排列。,解,當 k為偶數(shù)時，排列為偶排列，,當k

11、為奇數(shù)時，排列為奇排列。,2. 排列具有奇偶性。,3. 計算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種。,1. n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!。,三、小結,思考題,分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù)。,思考題解答,解,用方法1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法2,由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù),3 n 階行列式的定義,一、概念的引入,規(guī)律： 三階行列式共有6項，即3!項。 每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積。 每一項可以寫成a1p1a2p2a3p3(正負號除外)，其中p1p2p3是1、2、3的某個排列。 當p1p2p3是偶排列時，對應的項取正號； 當p1p2p3是奇排列時，對應的項取負

12、號。,所以，三階行列式可以寫成,其中 表示對1、2、3的所有排列求和。,二階行列式有類似規(guī)律，下面將行列式推廣到一般的情形。,二、n 階行列式的定義,n 階行列式共有 n! 項； 每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積； 每一項可以寫成 （正負號除外），其中p1p2pn 是1, 2, , n 的某個排列； 當 p1p2pn 是偶排列時，對應的項取正號； 當 p1p2pn 是奇排列時，對應的項取負號。,簡記作det(aij) ， 其中aij 為行列式D的(i, j)元,思考題：|-1|=-1成立嗎？,答：符號|-1|可以有兩種理解： 若理解成絕對值，則|-1|=+1 ； 若理解成一階行列

13、式，則|-1|=-1。,注意：當n =1時，一階行列式|a| =a，注意不要與絕對值的記號相混淆。例如：一階行列式|-1|=-1。,例1 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項。,例2 計算行列式,解：,和,解：,其中,四個結論：,(1)對角行列式,(2),(3)上三角形行列式 (主對角線下側元素都為0),(4)下三角形行列式 (主對角線上側元素都為0),1. 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的。,2. n階行列式共有n!項，每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積，正負號由下標排列的逆序數(shù)決定。,三、小結,思考題：用定義計算行列式,解：

14、用樹圖分析,-1,1,3,3,1,2,3,-1,-2,-2,-1,故,思考題,已知,求x3 的系數(shù)。,故x3的系數(shù)為-1。,解：含x3的項有兩項，即,對應于,4 對換,一、對換的定義,定義,在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換。,將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。,例如,備注： 相鄰對換是對換的特殊情形。 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn)。 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了。,二、對換與排列奇偶性的關系,定理1 對換改變排列的奇偶性。,證明：先考慮相鄰對換的情形。,注意到除a,b外，其它元素的逆序數(shù)不改變。,當ab時，,當ab時，,因此

15、相鄰對換改變排列的奇偶性。,既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么,因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變。,推論,奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。,證明：由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立。,因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以n個元素相乘的次序是可以任意的，即,每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列i1i2in與j1j2jn同時作一次對換，即i1i2in與j1j2jn同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。,設經(jīng)過一次對換后行標排列的逆序數(shù)為s 列標排列的逆序數(shù)為

16、t,于是 與 (s+t) 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)。,即 是偶數(shù)。,因為對換改變排列的奇偶性，s-s是奇數(shù)，t-t也是奇數(shù)。,設對換前行標排列的逆序數(shù)為s，列標排列的逆序數(shù)為t。,所以 是偶數(shù)，,因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標排列與列標排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。,經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此。 所以，在一系列對換之后有,定理2 n 階行列式也可定義為,定理3 n 階行列式也可定義為,例1 試判斷a14a23a31a42a56a65和-a32a43a14a51a25a66,是否都是六階行列式中的項。,解,a14a23a31a42a56a65下標的逆序數(shù)為,所以a14a2

17、3a31a42a56a65 是六階行列式中的項。,-a32a43a14a51a25a66行標和列標的逆序數(shù)之和,所以-a32a43a14a51a25a66不是六階行列式中的項。,例2 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號。,解,431265的逆序數(shù)為,所以 前邊應帶正號。,行標排列341562的逆序數(shù)為,列標排列234165的逆序數(shù)為,所以 前邊應帶正號。,例3 用行列式的定義計算,解,1. 對換改變排列奇偶性。,2. 行列式的三種表示方法,三、小結,其中p1p2pn,q1q2qn是兩個n級排列，t為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和。,思考題,證明：在全部n階排列中(n2)，奇偶排列各占一

18、半。,思考題解答,證明：設在全部n階排列中有s個奇排列，t個偶排列，現(xiàn)來證明s=t。,將s個奇排列的前兩個數(shù)對換，則這s個奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，所以st。,若將t個偶排列的前兩個數(shù)對換，則這t個偶排列全變成奇排列，并且它們彼此不同，于是有ts。,故必有 s=t。,5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式DT 稱為行列式D的轉置行列式。,若記,記,性質(zhì)1 行列式與它的轉置行列式相等，即 D=DT。,則,性質(zhì)1 行列式與它的轉置行列式相等。,證明,根據(jù)行列式的定義，有,若記,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立。,則,性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列

19、)，行列式變號。,驗證,于是,推論 若行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。,證明,互換相同的兩行，有D=-D,備注：交換第i行(列)和第j行(列)，記作,所以 D=0。,性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。,驗證,我們以三階行列式為例，記,根據(jù)三階行列式的對角線法則，有,備注：第i行(列)乘以k，記作,推論 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。,備注：第i行(列)提出公因子k，記作,驗證,以4階行列式為例。,性質(zhì)4 行列式中若有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零。,性質(zhì)5 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)

20、之和。,則,例如：,驗證：以三階行列式為例。,性質(zhì)6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。,則,驗證：以三階行列式為例， 記,備注：以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上，記作,例1,二、應用舉例,計算行列式常用方法：利用運算ri+krj把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。,解,例2 計算n階行列式,解,將第2,3, ,n列都加到第一列，得,例3 設,證明,證明,對D1作運算ri+krj，把D1化為下三角形行列式,設為,對D2作運算ci+kcj，把D2化為下三角形行列式,設為,對D的前k行作運算ri+krj ，再對后n列作運算

21、ci+kcj， 把D化為下三角形行列式,故,(行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).,計算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。,三、小結,行列式的6個性質(zhì),計算4階行列式,思考題,(已知abcd=1),思考題解答,解,6 行列式按行(列)展開,對角線法則只適用于二階與三階行列式。 本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式。,一、引言,結論：三階行列式可以用二階行列式表示。,思考題：任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？,例如,把Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式。,在n階行列

22、式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij。,結論：因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式。,引理：一個n階行列式，若其中第i行所有元素除aij外都為零，那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即 D=aijAij。,例如,即有,又,從而,下面再討論一般情形。,分析,當aij位于第1行第1列時,（根據(jù)P.14例10的結論）,以4階行列式為例。,思考題：能否以,代替上述兩次行變換？,思考題：能否以,答：不能。,代替上述兩次行變換？,a34被調(diào)換到第1行,第1列,二、行列式按

23、行(列)展開法則,定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即,(按第i行展開),(按第j列展開),同理可得,例1 計算,解：由定理3將行列式D按第三行展開，因為除a33=1外，其余的a31,a32,a34均為0，D展開后得,證明：用數(shù)學歸納法,例2 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2時(1)式成立。,假設(1)對于n-1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的x1 倍：,按照第1列展開，并提出每列的公因子(xi-x1)，就有,n-1階范德蒙德行列式,推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即

24、,分析：以3階行列式為例。,把第1行的元素換成第2行的對應元素，則,定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即,推論 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,綜上所述，有,同理可得,關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),例3 計算行列式,解,例4 設,分析：利用,及,代數(shù)余子式依次記作Mij和Aij，求,D的(i,j)元的余子式和,解,例5 計算下列三角行列式,解：按第一行展開，得,如此下去，做n次，即得,對上式中右邊的n-1階行列式再按第一行展開，得,例6 計算三階行列式,(用三種方法求解),解：,解法一(對角線法) ：利用三階行列

25、式的展開式將所求行列式展開。,解法二(三角形法) ：利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形，然后將對角線元素相乘，求得行列式的值。,解法三(降階法)： 將所求行列式按第一行展開，于是三階行列式就化為二階行列式(降階)，從而可計算出行列式的值。,1. 行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具。,三、小結,思考題,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和,設n階行列式,思考題解答,解：,第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,7 克拉默法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克拉默法則,若線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中

26、Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即,那么線性方程組(1)有唯一解,定理中包含著三個結論：,方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)給出。,這三個結論是有聯(lián)系的。 應該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論。,關于克拉默法則的等價命題,定理4 若線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解，而且解是唯一的。,定理4 若線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。,設,例1 解方程組,解：因為系數(shù)行列式,同理可得,所以方

27、程組的唯一解為,即,注意：克萊姆法則有兩個條件： 一是方程組的未知數(shù)個數(shù)等于方程的個數(shù)； 二是系數(shù)行列式不等于零。,線性方程組,常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。,齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0, 0)就是一個解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。,關心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解。,齊次線性方程組的相關定理,定理5 若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解。,定理5 若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。,備注 這兩個結論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程

28、組有非零解的必要條件。 在第三章還將證明這個條件也是充分的. 即： 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零,練習題：問取何值時，齊次方程組,有非零解？,解,如果齊次方程組有非零解，則必有D=0。,所以=0,2,3時齊次方程組有非零解。,思考題,當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？,答：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解。,1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件,(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；,(2)系數(shù)行列式不等于零。,2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)

29、以及常數(shù)項之間的關。它主要適用于理論推導。,三、小結,第一章 行列式復習,把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元 素的全排列（或排列）,個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示， 且,.全排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為 偶數(shù)的排列稱為偶排列,在一個排列 中，若數(shù) ， 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序,一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆 序數(shù),.逆序數(shù),分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù) 碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)， 每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù),方法2,方法1,分別計算出排在 前面比它大的 數(shù)碼之和，即分別算出 這 個元素 的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總

30、和即為所求 排列的逆序數(shù),. 計算排列逆序數(shù)的方法,定義,在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換。將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換。,定理,一個排列中的任意兩個元素對換，排列改 變奇偶性。,推論,奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù),.對換,.n階行列式的定義,.n階行列式的性質(zhì),1)余子式與代數(shù)余子式,.行列式按行（列）展開,2)關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),.克拉默法則,克拉默法則的理論價值,定理,定理,定理,定理,一、計算排列的逆序數(shù),二、計算（證明）行列式,三、克拉默法則,典型例題,分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之 和，即算出排

31、列中每個元素的逆序數(shù),解,例,一、計算排列的逆序數(shù),當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，,當 為奇數(shù)時，排列為奇排列,于是排列的逆序數(shù)為,.用定義計算（證明）,例用行列式定義計算,二、計算（證明）行列式,解,評注本例是從一般項入手，將行標按標準 順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注 意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般 方法,注意,例設,證明,由行列式的定義有,評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩 點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一 項所帶的符號相同這也是用定義證明兩個行列 式相等的常用方法,.利用范德蒙行列式計算,例計算,利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德 蒙行列式的特點，將

32、所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結果。,解,上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,評注本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式,.用化三角形行列式計算,例計算,解,提取第一列的公因子，得,評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零” 的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式 化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多 的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零 的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù) 化為1；若所

33、給行列式中元素間具有某些特點，則 應充分利用這些特點，應用行列式性質(zhì)，以達到 化為三角形行列式之目的,.用降階法計算,例計算,解,評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列 式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后 按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù) 可降低 1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接 計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種 方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用,.用拆成行列式之和（積）計算,例證明,證,.用遞推法計算,例計算,解,由此遞推，得,如此繼續(xù)下去，可得,評注,.用數(shù)學歸納法,例證明,證,對階數(shù)n用數(shù)學歸納法,評注,計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可 以有多種計算方

34、法；有的行列式計算需要幾種方 法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式 在構造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變 換后，再考察它是否能用常用的幾種方法,小結,當線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、 且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則。為 了避免在計算中出現(xiàn)分數(shù)，可對有的方程乘以適 當整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù) 的線性方程組后再求解,三、克拉默法則,解,設所求的二次多項式為,由題意得,由克萊姆法則，得,于是，所求的多項式為,證,例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千 克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含 氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮 70克，

35、磷5克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要 求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化 肥各需多少千克？,解,例13,解,第一章 測試題,一、填空題(每小題4分，共40分),二、計算下列行列式(每小題9分，共18分),有非零解？,三、解答題(9分),四、證明(每小題8分，共24分),五、(9分) 設 行列式,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和,測試題答案,第二章 矩陣及其運算,1 矩陣,一、矩陣概念的引入 二、矩陣的定義 三、特殊的矩陣 四、矩陣與線性變換,例1 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地。,B,A,C,D,

36、城市間的航班圖情況常用表格來表示：,一、矩陣概念的引入,為了便于計算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：,A B C D,A B C D,這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況。,其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量。,例2 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：,這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：,其中bi1表示第i種貨物的單價， bi2表示第i種貨物的單件重量。,由mn個數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行 n列的數(shù)表,稱為m行n列矩陣，簡稱mn矩陣。,記作,二、矩陣的定義,簡記為,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，

37、,元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣。,這mn個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元。,行數(shù)不等于列數(shù) 共有mn個元素 本質(zhì)上就是一個數(shù)表,行數(shù)等于列數(shù) 共有n2個元素,矩陣,行列式,行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 . 只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) . 只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) . 元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .,例如：,三、特殊的矩陣,形如 的方陣稱為對角陣 特別的，方陣 稱為單位陣,記作,記作 ,同型矩陣與矩陣相等的概念,兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.,例如,為同型矩陣.,兩個矩陣 與 為同型矩陣，并且對應元 素相等，即 則稱矩陣 A

38、 與 B 相等，記作 A = B .,注意：不同型的零矩陣是不相等的.,例如,表示一個從變量 到變量 線性變換， 其中 為常數(shù).,四、矩陣與線性變換,n 個變量 與 m 個變量 之間的 關系式,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.,例 線性變換,稱為恒等變換.,單位陣 En,投影變換,例 2階方陣,以原點為中心逆時針 旋轉j 角的旋轉變換,例 2階方陣,2 矩陣的運算,例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店 發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：,試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,其中aij 表示上半年工廠向第 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中cij 表示工廠

39、下半年向第 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,一、矩陣的加法,定義：設有兩個 mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為,說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.,知識點比較,矩陣加法的運算規(guī)律,設 A、B、C 是同型矩陣,設矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負矩陣 顯然,設工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商 店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：,其中bi 1 表示第 i 種貨物的

40、單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,二、數(shù)與矩陣相乘,定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為,數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律,設 A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù),矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.,知識點比較,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物 數(shù)量可用數(shù)表表示為：,這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：,其中bi 1 表示第 i 種貨

41、物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量,解：,以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及 總重量，其中 i = 1, 2, 3于是,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,可用矩陣表示為,一般地，,一、矩陣與矩陣相乘,定義：設 ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 mn 矩陣 ，其中,并把此乘積記作 C = AB,例：設,則,知識點比較,有意義.,沒有意義.,只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù) 等于第二個矩陣的

42、行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.,例 P.35例5,結論： 矩陣乘法不一定滿足交換律. 矩陣 ，卻有 ， 從而不能由 得出 或 的結論,矩陣乘法的運算規(guī)律,(1) 乘法結合律,(3) 乘法對加法的分配律,(2) 數(shù)乘和乘法的結合律 （其中 l 是數(shù)）,(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即,推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.,純量陣不同于對角陣,(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義,顯然,思考：下列等式在什么時候成立？,A、B可交換時成立,四、矩陣的轉置,定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉置矩陣，記作AT .,

43、例,轉置矩陣的運算性質(zhì),例：已知,解法1,解法2,定義：設 A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即 那么 A 稱為對稱陣.,如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對稱陣.,對稱陣,反對稱陣,例：設列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且 HHT = E.,證明：,從而 H 是對稱陣,五、方陣的行列式,定義：由 n 階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.,運算性質(zhì),證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣， 假設 A = (ai

44、j)nn，B = (bij)nn .,我們以 n= 3 為例，構造一個6階行列式,令 ，則 C = (cij)= AB ,從而 ,定義：行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構成的如下矩陣 稱為矩陣 A 的伴隨矩陣.,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列,性質(zhì),性質(zhì),證明,（設A，B 為復矩陣，l 為復數(shù)，且運算都是可行的）：,六、共軛矩陣,運算性質(zhì),當 為復矩陣時，用 表示 的共軛復數(shù)，記， 稱為 的共軛矩陣.,3 逆矩陣,矩陣與復數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算. 矩陣的乘法是否也和復數(shù)一樣有逆運算呢？ 這就是本節(jié)所要討論的問題. 這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都

45、是 n 階方陣.,從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1 在復數(shù)中的地位 一個復數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入,對于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有,定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得,這里 E 是 n 階單位矩陣.,根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯 一的（如果有的話）.,定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣， 記作 A1 .,下面要解決的問題是： 在什么條件下，方陣 A 是

46、可逆的？ 如果 A 可逆，怎樣求 A1 ？,結論： ，其中,定理：若 ，則方陣A可逆，而且,推論：若 ，則 .,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列,例：求二階矩陣 的逆矩陣.,例：求3階方陣 的逆矩陣.,解：| A | = 1，,則,方陣A可逆,此時，稱矩陣A為非奇異矩陣,定理：若方陣A可逆，則 ,推論： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且,線性變換,的系數(shù)矩陣是一個n 階方陣 A ，若記,則上述線性變換可記作 Y = AX .,例：設線性變換的系數(shù)矩陣是一個 3 階方陣,記,則上述線性變換可記作 Y = AX 求變量 y1, y2, y3 到變量 x1, x

47、2, x3的線性變換相當于求方陣 A 的逆矩陣.,已知 ，于是 ，即,4 矩陣分塊法,前言,由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢? 這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳. 家具的拆卸與裝配 問題一：什么是矩陣分塊法？ 問題二：為什么提出矩陣分塊法？,問題一：什么是矩陣分塊法？,定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作 稱為對矩陣進行分塊； 每一個小塊稱為矩陣的子塊； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.,這是2階方陣嗎？,思考題,伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？ 答：不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個數(shù)），而不 是矩陣,問

48、題二：為什么提出矩陣分塊法？,答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運算時采用分塊法， 可以使大矩陣的運算化成小矩陣的運算， 體現(xiàn)了化整為零的思想.,分塊矩陣的加法,若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即,則有,形式上看成是普通矩陣的加法！,分塊矩陣的數(shù)乘,若l 是數(shù)，且,則有,形式上看成是普通的數(shù)乘運算！,分塊矩陣的乘法,一般地，設 A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：,按行分塊以及按列分塊,mn 矩陣 A 有m 行 n 列，若將第 i 行記作 若將第 j 列記作 則,于是設 A 為 ms 矩陣，B 為 s n 矩陣， 若把 A 按行分塊，把 B 按列塊，則,分塊矩陣

49、的轉置,若 ，則 例如：,分塊矩陣不僅形式上進行轉置， 而且每一個子塊也進行轉置,分塊對角矩陣,定義：設 A 是 n 階矩陣，若 A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊， 其余子塊都為零矩陣， 對角線上的子塊都是方陣， 那么稱 A 為分塊對角矩陣 例如：,分塊對角矩陣的性質(zhì),| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且,例:設 ，求 A1 解：,例：往證 Amn = Omn的充分必要條件是方陣ATA = Onn 證明：把 A 按列分塊，有 于是 那么 即 A = O ,第三章 矩陣的初等變換與線性方程組,知識點回顧：克拉默法則,結論 1

50、 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）,結論 1如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）,設,用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：,(1) 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；,(2) 系數(shù)行列式不等于零.,線性方程組的解受哪些因素的影響？,1 矩陣的初等變換,一、初等變換的概念 二、矩陣之間的等價關系 三、初等變換與矩陣乘法的關系 四、初等變換的應用,引例：求解線性方程組,一、矩陣的初等變換,2,2,3, 2,5,3,2,取 x3 為自由變量，則,令 x3 = c ，則,恒等式,三種變換：,交換方程

51、的次序，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某個方程，記作 ；,一個方程加上另一個方程的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,結論： 由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解. 在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知數(shù)并未參與運算,定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：,對調(diào)兩行，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,初等變換,初等行變換,初等列變換,增廣矩陣,結論： 對原線性方程組施行的

52、變換可以轉化為對增廣矩陣的變換.,B5 對應方程組為,令 x3 = c ，則,備注,帶有運算符的矩陣運算，用“ = ”例如： 矩陣加法 數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 矩陣的轉置 T（上標） 方陣的行列式| 不帶運算符的矩陣運算，用“”例如： 初等行變換 初等列變換,有限次初等行變換,有限次初等列變換,行等價，記作,列等價，記作,二、矩陣之間的等價關系,有限次初等變換,矩陣 A 與矩陣 B 等價，記作,矩陣之間的等價關系具有下列性質(zhì)： 反身性 ； 對稱性 若 ，則 ； 傳遞性 若 ，則 ,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,行

53、最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,標準形矩陣： 左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.,標準形矩陣由m、n、r三個參 數(shù)完全確定，其中 r 就是行階 梯形矩陣中非零行的行數(shù).,三者之間的包含關系,任何矩陣,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,標準形矩陣,結論,定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣.,三種初等變換對應著三種初等矩陣. 對調(diào)單位陣的兩行（列）； (2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）； (3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加

54、到另一 行（列） ,三、初等變換與矩陣乘法的關系,(1) 對調(diào)單位陣的第 i, j 行（列），,記作 E5(3, 5),記作 Em( i, j ),(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列），,記作 E5(3(5),記作 Em(i(k),(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k),記作 Em(ij(k),以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列,?,兩種理解！,結論,把矩陣A的第 i 行與第 j 行對調(diào)，即 .,把矩陣A的第 i 列與第 j 列對調(diào)，即 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .,把矩陣A第 j

55、行的 k 倍加到第 i 行，即 .,把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .,性質(zhì)1 設A是一個 mn 矩陣， 對 A 施行一次初等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩陣； 對 A 施行一次初等列變換，相當于在 A 的右邊乘以相應的 n 階初等矩陣.,口訣：左行右列.,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,?,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,因為“對于n 階方陣A、B

56、，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,初等矩陣的逆矩陣,初等矩陣的逆矩陣是：,?,性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,這表明，可逆矩陣的標準形矩陣是單位陣. 其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣,推論1 方陣 A 可逆的充要條件是 .,推論2 方陣 A 與 B 等價的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B .,四、初等變換的應用,解,例,即,初等行變換,例,解,2 矩陣的秩,一、矩陣的秩的概念,定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式,顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個,概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式,與元素a12相對應的余子式,相應的代數(shù)余子式,矩陣 A 的一個 2 階子塊,矩陣 A 的一個 2 階子式,定義：設矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式