1、第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用知識(shí)能否憶起1實(shí)際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖2)(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3)北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似(4)坡度：定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角為坡角)坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖4，i為坡比)2解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)審題，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量

2、與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(3)選擇正弦定理或余弦定理求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求小題能否全取1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關(guān)系是()ABC90 D180答案：B2若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15 B北偏西15C北偏東10 D北偏西10解析：選B如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15.3.(教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C

3、，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m解析：選A由正弦定理得AB50(m)4(2011上海高考)在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75，CBA60，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為_千米解析：如圖所示，由題意知C45，由正弦定理得，AC.答案：5(2012泰州模擬)一船向正北航行，看見正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東60，另一燈塔在船的南偏東75，則這艘船每小時(shí)航行_海里解析：如圖，由題意知在ABC中，ACB756015，B15，ACAB8.在RtAOC

4、中，OCACsin 304.這艘船每小時(shí)航行8海里答案：8 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解測(cè)量距離問題典題導(dǎo)入例1鄭州市某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為ABC、ABD，經(jīng)測(cè)量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.

5、(1)求AB的長(zhǎng)度；(2)若不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低(請(qǐng)說(shuō)明理由)自主解答(1)在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D，由CD得cos Ccos D.解得AB7，所以AB的長(zhǎng)度為7米(2)小李的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低理由如下：易知SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因?yàn)锳DBDACBC，且CD，所以SABDSABC.故選擇ABC的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5 000元，試求最低造價(jià)為多少？解：因?yàn)锳DBDAB7，所以ABD是等邊三角形，D60，C60.故SABCACBCsin C10，所以所求的

6、最低造價(jià)為5 0001050 000 86 600元由題悟法求距離問題要注意：(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理以題試法1.如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得CAB105，CBA45，且AB100 m.(1)求sin CAB的值；(2)求該河段的寬度解：(1)sin CABsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45.(2)因?yàn)镃AB

7、105，CBA45，所以ACB180CABCBA30.由正弦定理，得，則BC50()(m)如圖所示，過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，則CD的長(zhǎng)就是該河段的寬度在RtBDC中，CDBCsin 4550()50(1)(m)所以該河段的寬度為50(1)m.測(cè)量高度問題典題導(dǎo)入例2(2012九江模擬)如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為，從A處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)B后，又測(cè)得CD對(duì)于山坡的斜度為，山坡對(duì)于地平面的坡角為.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度自主解答(1)在ABC中，ACB，根據(jù)正弦定理得，所以BC.(

8、2)由(1)知BC12()米在BCD中，BDC，sin BDC，根據(jù)正弦定理得，所以CD248米由題悟法求解高度問題應(yīng)注意：(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用以題試法2(2012西寧模擬)要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 m，求電視塔的高度解：如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB

9、45得BCx.在RtADB中，ADB30，則BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以電視塔高為40米測(cè)量角度問題典題導(dǎo)入例3(2012太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值自主解答如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則

10、AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.由題悟法1測(cè)量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義2在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn)以題試法3.(2012無(wú)錫模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD的大

11、小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD中，由余弦定理得cos CAD，CAD45.答案：451在同一平面內(nèi)中，在A處測(cè)得的B點(diǎn)的仰角是50，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A.B.C. D.解析：選DBAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABACcos BAC49223cos 12019.BC.2一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的

12、高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：選A設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.3(2012天津高考) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知8b5c，C2B，則cos C()A. BC D.解析：選A由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2 B1221.4(2013廈門模

13、擬)在不等邊三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其中a為最大邊，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，則角A的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選D由題意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.則cos A0，0A，0A.因此得角A的取值范圍是.5一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：選A如圖所示，由已知條件可得，CAB30

14、，ABC105，BCA45.又AB4020(海里)，由正弦定理可得.BC10(海里)6如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km)()A11.4 B6.6C6.5 D5.6解析：選BAB1 0001 000 m，BCsin 30 m.航線離山頂hsin 7511.4 km.山高為1811.46.6 km.7.(2012南通調(diào)研)“溫馨花園”為了美化小區(qū)，給居民提供更好的生活環(huán)境，在小區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上(如圖，單位：m)種植草皮，

15、已知這種草皮的價(jià)格是120元/m2，則購(gòu)買這種草皮需要_元解析：三角形空地的面積S1225sin 120225，故共需22512027 000元答案：27 0008.(2012濰坊模擬)如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，則v32.答案：329江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角

16、分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_m.解析：如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：1010.如圖，在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，求AB的長(zhǎng)解：在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.11.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)

17、A、B兩地相距100米，BAC60，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)解：由題意，設(shè)ACx，則BCx340x40，在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BACAcos BAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtan CAH140.答：該儀器的垂直彈射高度CH為140米12.(2012蘭州模擬)某單位在抗雪救災(zāi)中，需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，測(cè)量人員在相距6 km的C，D兩地測(cè)得ACD45，ADC75，

18、BDC15，BCD30(如圖，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所需電線長(zhǎng)度大約應(yīng)該是A，B之間距離的1.2倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線？解：在ACD中，ACD45，CD6，ADC75，所以CAD60.因?yàn)?，所以AD2.在BCD中，BCD30，CD6，BDC15，所以CBD135.因?yàn)?，所以BD3.又因?yàn)樵贏BD中，BDABDCADC90，所以ABD是直角三角形所以AB.所以電線長(zhǎng)度至少為l1.2AB(單位：km)答：施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備長(zhǎng)度為 km的電線1.某城市的電視發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35 m，在地面上有一點(diǎn)A，

19、測(cè)得A，C間的距離為91 m，從A觀測(cè)電視發(fā)射塔CD的視角(CAD)為45，則這座電視發(fā)射塔的高度CD為_米解析：AB84，tanCAB.由tan(45CAB)，得CD169.答案：1692.2012年10月29日，超級(jí)風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國(guó)東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析：由題知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x m.答案： m3.(2012泉州模擬)如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C處的乙船(1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離；(2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與CA成角，求f(x)sin2sin xcos2cos x(xR)的值域解：(1)連接BC，由余弦定理得BC220210222010cos 120700.BC10，即所求距離為10海里(2)，sin .是銳角，cos .f(x)sin2sin xcos2cos xsin xcos xsin，f(x)的值域?yàn)?1.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按