1、第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值知識(shí)能否憶起一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2) ，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降2單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意xI，都有f(x)M

2、；存在x0I，使得f(x0)M對(duì)于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值小題能否全取1(2012陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()Ayx1Byx3Cy Dyx|x|解析：選D由函數(shù)的奇偶性排除A，由函數(shù)的單調(diào)性排除B、C，由yx|x|的圖象可知此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)，故選D.2函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則()Ak Bk Dk解析：選D函數(shù)y(2k1)xb是減函數(shù)，則2k10，即k.3(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)的最大值是()A. B.C. D.解析：選D1x(1x)x2x12，0.4(教材習(xí)題改編)f(x)x22x

3、(x2,4)的單調(diào)增區(qū)間為_；f(x)max_.解析：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸x1，單調(diào)增區(qū)間為1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,485已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若mn，則f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)1.函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域?qū)τ诨境醯群瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)

4、函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)函數(shù)單調(diào)性的判斷典題導(dǎo)入例1證明函數(shù)f(x)2x在(，0)上是增函數(shù)自主解答設(shè)x1，x2是區(qū)間(，0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1x2.則f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2)由于x1x20，所以x1x20，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(，0)上是增函數(shù)由題悟法

5、對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明；(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進(jìn)行以題試法1判斷函數(shù)g(x)在 (1，)上的單調(diào)性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，則g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)答案C若本例中f(x)2|x|變?yōu)閒(x)log2|x|，其他條件不變，則fk(x)的單調(diào)增區(qū)間為_解析：函數(shù)f(x)log2|x|

6、，k時(shí)，函數(shù)fk(x)的圖象如圖所示，由圖示可得函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， 答案：(0， 由題悟法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以題試法2函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：選A由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2單調(diào)性的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3(1)若f(x)為R上

7、的增函數(shù)，則滿足f(2m)f(m2)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(2)(2012安徽高考)若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a_.自主解答(1)f(x)在R上為增函數(shù)，2m0.m1或m0，x0)，若f(x)在上的值域?yàn)椋瑒ta_.解析：(1)f(x)0，x0)在上單調(diào)遞增，所以即解得a.答案：(1)1(2)1(2012廣東高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()Ayln(x2)ByCyx Dyx解析：選A選項(xiàng)A的函數(shù)yln(x2)的增區(qū)間為(2，)，所以在(0，)上一定是增函數(shù)2若函數(shù)f(x)4x2mx5在2，)上遞增，在(，2上遞減，則f(1)()A7 B1C17 D25解

8、析：選D依題意，知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x2，即 m16，從而f(x)4x216x5，f(1)416525.3(2013佛山月考)若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減 D先減后增解析：選Byax與y在(0，)上都是減函數(shù)，a0，b0，yax2bx的對(duì)稱軸方程x0，則一定正確的是()Af(4)f(6) Bf(4)f(6) Df(4)0知f(x)在(0，)上遞增，所以f(4)f(6)6定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，當(dāng)x0，則函數(shù)f(x)在a，b上有()A最小值f(a) B最大值f(b)C最小值f(b) D最大值f

9、解析：選Cf(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(xy)f(x)f(y)，f(0)0，令yx，則有f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)f(x)是R上的奇函數(shù)設(shè)x1x2，則x1x20.f(x)在R上是減函數(shù)f(x)在a，b有最小值f(b)7函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_解析：y(x3)|x|作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為.答案：8(2012臺(tái)州模擬)若函數(shù)y|2x1|，在(，m上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是_解析：畫出圖象易知y|2x1|的遞減區(qū)間是(，0，依題意應(yīng)有m0.答案：(，09若f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：設(shè)x1x22，則f(x1)f(x2)，

10、而f(x1)f(x2)0，則2a10.得a.答案：10求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)yx22|x|1；(2)ya12xx2(a0且a1)解：(1)由于y即y畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)(2)令g(x)12xx2(x1)22，所以g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)ya12xx2的增區(qū)間是(，1)，減區(qū)間是(1，)；當(dāng)0a0且f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(1)證明：設(shè)x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)設(shè)1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只

11、需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.綜上所述，a的取值范圍為(0,112(2011上海高考)已知函數(shù)f(x)a2xb3x，其中常數(shù)a，b滿足ab0.(1)若ab0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若abf(x)時(shí)x的取值范圍解：(1)當(dāng)a0，b0時(shí)，任意x1，x2R，x1x2，則f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)2x10a(2x12x2)0，3x10b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)同理，當(dāng)a0，b0，當(dāng)a0時(shí)，x，則xlog1.5；同理，當(dāng)a0，b0時(shí)，x，則xlog1.5.1設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2x)f(x)，且當(dāng)

12、x1時(shí)，f(x)ln x，則有()Aff(2)fBff(2)fCfff(2) Df(2)ff解析：選C由f(2x)f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x1時(shí)，f(x)ln x，可知當(dāng)x1時(shí)f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x1時(shí)f(x)為減函數(shù)，因?yàn)閨21|，所以ff0，y0都有ff(x)f(y)，當(dāng)x1時(shí)，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域解：(1)當(dāng)x0，y0時(shí)，ff(x)f(y)，令xy0，則f(1)f(x)f(x)0.(2)設(shè)x1，x2(0，)，且x1x10.1，f0.f(x2)f(x1)，即f(

13、x)在(0，)上是增函數(shù)(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函數(shù)f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域?yàn)?,41求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：設(shè)ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)ux2x6在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的又函數(shù)y是遞增的，函數(shù)f(x)在(，3上是遞減的，在2，)上是遞增的2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，總有f(mn)f(m)f(n)，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)f(1)，B(x，y)|f(axy)1，aR，若AB，試確定a的取值范圍解：(1)在f(mn)f(m)f