1、第四章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質(zhì),第四章,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,問題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數(shù) .,

2、(下章證明),初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),定理 2.,原函數(shù)都在函數(shù)族,( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .,證: 1),又知,故,它屬于函數(shù)族,即,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為,上的不定積分,其中, 積分號(hào);, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,(P185),若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱為積分常數(shù), 不可丟 !,例如,記作,不定積分的幾何意義:,的原函數(shù)的圖形稱為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,的積分曲線 .,例1. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2),且其上任一點(diǎn)處的切線,斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線

3、過點(diǎn) (1, 2) ,故有,因此所求曲線為,例2. 質(zhì)點(diǎn)在距地面,處以初速,力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面, 指向朝上 ,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為,初速為,設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為,則,(運(yùn)動(dòng)速度),(加速度),垂直上拋 ,不計(jì)阻,先求,由,知,再求,于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,由,知,故,二、 基本積分表 (P188),從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),或,或,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,三、不定積分的性質(zhì),推論: 若,則,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,

4、例8. 求,解: 原式 =,內(nèi)容小結(jié),1. 不定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表 (見P188),2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),思考與練習(xí),1. 證明,2. 若,(P193題7),提示:,3. 若,是,的原函數(shù) , 則,提示: 已知,4. 若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個(gè)原函數(shù),是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,5. 求下列積分:,提示:,6. 求不定積分,解：,7. 已知,求 A , B .,解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,作業(yè),P1