1、參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位,統(tǒng)計方法,描述統(tǒng)計,推斷統(tǒng)計,假設(shè)檢驗,統(tǒng)計推斷的過程,第四章 抽樣與參數(shù)估計,第一節(jié) 抽樣與抽樣分布 第二節(jié) 參數(shù)估計基本方法 第三節(jié) 總體均值和總體比例的區(qū)間估計 第四節(jié) 兩個總體均值及兩個總體比例之差的估計 第五節(jié) 正態(tài)總體方差及兩正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計,學(xué)習(xí)目標,了解抽樣和抽樣分布的基本概念 理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系 了解點估計的概念和估計量的優(yōu)良標準 掌握總體均值、總體比例和總體方差的區(qū)間估計,第一節(jié) 抽樣與抽樣分布,一. 總體、個體和樣本 二. 關(guān)于抽樣方法 樣本均值的分布與中心極限定理 樣本方差的分布 兩個樣本方差比的分布 六. T 統(tǒng)計量的分布

2、,總體、個體和樣本（概念要點）,總體(Population)：調(diào)查研究的事物或現(xiàn)象的全體 個體(Item unit)：組成總體的每個元素 樣本(Sample)：從總體中所抽取的部分個體 樣本容量(Sample size)：樣本中所含個體的數(shù)量,抽樣方法（概念要點）,概率抽樣：根據(jù)已知的概率選取樣本 簡單隨機抽樣：完全隨機地抽選樣本 分層抽樣：總體分成不同的“層”，然后在每一層內(nèi)進行抽樣 整群抽樣：將一組被調(diào)查者（群）作為一個抽樣單位 等距抽樣：在樣本框中每隔一定距離抽選一個被調(diào)查者 非概率抽樣：不是完全按隨機原則選取樣本 非隨機抽樣：由調(diào)查人員自由選取被調(diào)查者 判斷抽樣：通過某些條件過濾來選擇

3、被調(diào)查者 配額抽樣：選擇一群特定數(shù)目、滿足特定條件的被調(diào)查者,樣本均值的抽樣分布,所有樣本指標（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布 是一種理論概率分布 隨機變量是 樣本統(tǒng)計量 樣本均值, 樣本比例等 結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本,抽樣分布（概念要點）,樣本均值的抽樣分布（一個例子）,【例】設(shè)一個總體，含有4個元素（個體），即總體單位數(shù)N=4。4 個個體分別為X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 ?？傮w的均值、方差及分布如下,均值和方差,樣本均值的抽樣分布 （一個例子）, 現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果如下表,樣本均值的

4、抽樣分布 （一個例子）, 計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布,所有樣本均值的均值和方差,式中：M為樣本數(shù)目 比較及結(jié)論：1. 樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值 2. 樣本均值的方差等于總體方差的1/n,樣本均值的分布與總體分布的比較,抽樣分布, = 2.5 2 =1.25,總體分布,樣本均值的抽樣分布與中心極限定理,當(dāng)總體服從正態(tài)分布N (,2 )時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X 的數(shù)學(xué)期望為，方差為2/n。即XN(,2/n),中心極限定理（圖示）,中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為 2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值

5、的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布,樣本方差的抽樣分布,樣本方差的分布,設(shè)總體服從正態(tài)分布N (,2 )， X1，X2，Xn為來自該正態(tài)總體的樣本，則樣本方差 s2 的分布為,將2(n 1)稱為自由度為(n-1)的卡方分布,卡方 (c2) 分布,均值的標準誤,所有可能的樣本均值的標準差，測度所有樣本均值的離散程度 小于總體標準差 計算公式為,兩個樣本方差比的抽樣分布,兩個樣本方差比的抽樣分布,設(shè)X1，X2， ，Xn1是來自正態(tài)總體N(1,12 )的一個樣本， Y1，Y2， ，Yn2是來自正態(tài)總體N(2,22 )的一個樣本，且Xi(i=1,2,，n1)，Yi(i=1,2, ，n2)

6、相互獨立，則,將F(n1-1 , n2-1 )稱為第一自由度為(n1-1)，第二自由度為(n2-1)的F分布,兩個樣本方差比的抽樣分布, 不同樣本容量的抽樣分布,T 統(tǒng)計量的分布,T 統(tǒng)計量的分布,設(shè)X1，X2，Xn1是來自正態(tài)總體N(1,12 )的一個樣本， 稱,為統(tǒng)計量,它服從自由度為(n-1)的t 分布,第二節(jié) 參數(shù)估計基本方法,一. 點估計 二. 點估計的優(yōu)良性準則 區(qū)間估計,參數(shù)估計的方法,被估計的總體參數(shù),點 估 計,點估計（概念要點）,從總體中抽取一個樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)作出一個數(shù)值點的估計 例如: 用樣本均值作為總體未知均值的估計值就是一個點估計 2.點估計

7、沒有給出估計值接近總體未知參數(shù)程度的信息 點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等,1.用于估計總體某一參數(shù)的隨機變量 如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等 例如: 樣本均值就是總體均值的一個估計量 如果樣本均值 x = 3 ，則 3 就是 的估計值 理論基礎(chǔ)是抽樣分布,估計量 （概念要點）,二戰(zhàn)中的點估計,估計量的優(yōu)良性準則（無偏性）,無偏性：估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體 參數(shù),估計量的優(yōu)良性準則（有效性）,有效性：一個方差較小的無偏估計量稱為一個更 有效的估計量。如，與其他估計量相比 ，樣本均值是一個更有效的估計量,估計量的優(yōu)良性準則（一致性）,一致性：隨著樣本容量

8、的增大，估計量越來越接 近被估計的總體參數(shù),區(qū)間估計,區(qū)間估計（概念要點）,1.根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍 給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率 例如: 總體均值落在5070之間，置信度為 95%,置信區(qū)間估計（內(nèi)容）,落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本,總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率 表示為 (1 - 為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率 常用的顯著性水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10,置信水平,區(qū)間與置信水平,均值的抽樣分布,(1 - ) % 區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含,影響區(qū)間寬度的因素,1.數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度 樣本容量， 3.置

9、信水平 (1 - )，影響 Z 的大小,第三節(jié) 總體均值和總體比例 的區(qū)間估計,一. 總體均值的區(qū)間估計 二. 總體比例的區(qū)間估計 樣本容量的確定,總體均值的區(qū)間估計 (已知),總體均值的置信區(qū)間 ( 已知),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且總體方差（）已知 如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似 (n 30) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體均值的區(qū)間估計（正態(tài)總體：實例）,解：已知N(，0.152)，x2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 總體均值的置信區(qū)間為,我們可以95的概率保證該種零件的平均長度在21.30221.498 mm之間

10、,【例】某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機抽取件，測得其平均長度為21.4 mm。已知總體標準差 =0.15mm，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。,總體均值的區(qū)間估計（非正態(tài)總體：實例）,解：已知 x26, =6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96,我們可以95的概率保證平均每天參加鍛煉的時間在24.82427.176 分鐘之間,【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95的置信水平估計該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為36小時）。,總體均值的區(qū)間估計 (未知),總體均值

11、的置信區(qū)間 ( 未知),1.假定條件 總體方差（）未知 總體必須服從正態(tài)分布 使用 t 分布統(tǒng)計量,3. 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體均值的區(qū)間估計（實例）,解：已知N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。,我們可以95的概率保證總體均值在46.6953.30 之間,【例】從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機樣本， n = 25 ，其均值x = 50 ，標準差 s = 8。 建立總體均值m 的95%的置信區(qū)間。,總體比例的區(qū)間估計,總體比例的置信區(qū)間,1.假定條件 兩類結(jié)果 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,3.

12、 總體比例 的置信區(qū)間為,總體比例的置信區(qū)間（實例）,我們可以95的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%76.4%之間,【例】某企業(yè)在一項關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機選取了200人組成一個樣本。在對其進行訪問時，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。,樣本容量的確定,根據(jù)均值區(qū)間估計公式可得樣本容量n為,估計總體均值時樣本容量的確定,樣本容量n與總體方差2、允許誤差、可靠性系數(shù)Z之間的關(guān)系為 與總體方差成正比 與允許誤差成反比 與可靠性系數(shù)成正比,其中：,

13、樣本容量的確定（實例）,解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，=500,應(yīng)抽取的樣本容量為,【例】一家廣告公想估計某類商店去年所花的平均廣告費用有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？,根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為,估計總體比例時樣本容量的確定,其中：,樣本容量的確定（實例）,【例】一家市場調(diào)研公司想估計某地區(qū)有彩色電視機的家庭所占的比例。該公司希望對比例p的估計誤差不超過0.05，要求的可靠程度為95%，應(yīng)抽多大容量的樣本（沒有可利用的p估計值）。,應(yīng)抽取的樣本容

14、量為,第四節(jié) 兩個總體均值及兩個 總體比例之差估計,一. 兩個總體均值之差估計 二. 兩個總體比例之差估計,兩個總體均值之差的估計,兩個樣本均值之差的抽樣分布,兩個總體均值之差的估計 (12、22 已知),1.假定條件 兩個樣本是獨立的隨機樣本 兩個總體都服從正態(tài)分布 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230) 兩個獨立樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其期望值為,其標準誤差為,兩個總體均值之差的估計 (12、22 已知),兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z,兩個總體均值之差的估計（實例）,【例】一個銀行負責(zé)人想知道儲戶存入兩家銀行的

15、錢數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個由25個儲戶組成的隨機樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求A- B的區(qū)間估計 （1）置信度為95% （2）置信度為99%,B,A,兩個總體均值之差的估計（計算結(jié)果）,解:已知 XAN(A,2500) XB N(B,3600) xA=4500， xB=3250， A2 =2500 B2 =3600 nA= nB =25,(1) A- B置信度為95%的置信區(qū)間為,(2) A- B置信度為99%的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計 (12、22未知，但相等),假定條件 兩

16、個總體都服從正態(tài)分布 12、12未知，但1212 總體方差2的聯(lián)合估計量為,估計量x1-x2的標準差為,兩個總體均值之差的估計 (12、22未知，但相等),使用 t 分布統(tǒng)計量,兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信 區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計（實例）,【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算賬目的平均時間長度，分別給兩位職員隨機安排了10位顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)

17、時間之差的95%的區(qū)間估計。,兩個總體均值之差的估計（計算結(jié)果）,解:已知 X1N(1,2) X2 N(2,2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 12= 12,1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計 (12 、22未知，且不相等),假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 12、12未知，且12 12 使用的統(tǒng)計量為,兩個總體均值之差的估計 (12、22未知，且不相等), 兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計（續(xù)前例）,【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算賬目的平均時間長

18、度，分別給兩位職員隨機安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時間均服從正態(tài)分布，但方差不相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時間之差的95%的區(qū)間估計。,兩個總體均值之差的估計（計算結(jié)果）,自由度 f 為,1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,解:已知 X1N(1,2) X2 N(2, 2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 1212,兩個總體比例之差的估計,1.假定條件 兩個總體是

19、獨立的 兩個總體服從二項分布 可以用正態(tài)分布來近似 2.兩個總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體比例之差的區(qū)間估計,兩個總體比例之差的估計（實例）,【例】某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進行了比較，它們從兩個城市中分別隨機地調(diào)查了1000個成年人，其中看過廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。,兩個總體比例之差的估計（計算結(jié)果）,P1- P2置信度為95%的置信區(qū)間為,我們有95%的把握估計兩城市成年人中看過該廣告的比例之差在0.79% 7.21%之間,第五節(jié) 正態(tài)總體方差及兩正 態(tài)總體方差比的估計,一. 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 二. 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計,正態(tài)總體方差的區(qū)間估計,正態(tài)總體方差的區(qū)間估計（要點）,1.估計一個總體的方差或標準差 2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布 總體方差 2 的點估計量為S2,且,4. 總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,正態(tài)總體方差的區(qū)間估計（實例）,【例】對某種金屬