1、1,自動(dòng)控制原理,(頻域分析部分) 航空航天學(xué)院 肖剛,2,第四章 根軌跡法,41 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡 42 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則 43 控制系統(tǒng)性能的根軌跡分析,3,（1）尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的K1值。 以開環(huán)根跡增益K1為參變量繪制根軌跡的一些基本規(guī)則： 1. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 起點(diǎn)（ ）： 起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 終點(diǎn)（ ）：終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。包括m個(gè) 有限遠(yuǎn)的零點(diǎn)（簡(jiǎn)稱有限零點(diǎn)）和(n-m) 個(gè)無限遠(yuǎn)的零點(diǎn)(簡(jiǎn)稱無限零點(diǎn))。 當(dāng) 變化時(shí)，整個(gè)根軌跡的趨向由起點(diǎn)移向終 點(diǎn)，即由開環(huán)的極點(diǎn)移向開環(huán)的零

2、點(diǎn)。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,4,起點(diǎn)： 因?yàn)?當(dāng) 時(shí)， 說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系 統(tǒng)共有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，每個(gè)開環(huán)極點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡 的一個(gè)起點(diǎn)，所以共有n個(gè)起點(diǎn)。,-,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,5,終點(diǎn)： （1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 我們把這m個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。 （2）有（n-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個(gè)無限零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 上式表明：有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處 的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,6,綜上所述：系統(tǒng)共有n個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，其中m個(gè)為有限零點(diǎn)，（n-m）個(gè)為無限零點(diǎn)

3、。每個(gè)開環(huán)零點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡的一個(gè)終點(diǎn)，所以共有n個(gè)終點(diǎn)。 2、根軌跡的分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。 我們把一條完整的根軌跡稱之為根軌跡的一個(gè)分支，由前面 的分析可知，n階系統(tǒng)有n個(gè)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。所有的根軌跡都是有頭有尾 、有始有終。所以其分支數(shù)必等于開環(huán)的極點(diǎn)數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,7,3、根軌跡的對(duì)稱性 根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。 特征方程的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)閺?fù)數(shù)。必對(duì)稱于實(shí)軸。 4、根軌跡的漸近線（s=處的根軌跡特征） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸近線于實(shí)軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,8,

4、（1）根軌跡漸近線的傾角 根據(jù)幅角條件： 當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等得到 所以漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,9,（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 幅值條件： 當(dāng) ，則對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí) ，上式可寫成： 上式左邊展開： 上式右邊展開 比較對(duì)應(yīng)s冪項(xiàng)系數(shù)相等，求得： 所以漸近線相交于同一點(diǎn),4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,10,五、根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。 在s=0與s=-z1之間的實(shí)軸上 任取一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s1加以說明。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,11,例： 已

5、知： 試畫出根軌跡的大致圖形。 解：按根軌跡繪制的規(guī)則： （1）起點(diǎn)：0，-1，-2； 終點(diǎn)：，。 （2）分支數(shù)： n=3 （3）根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。 （4）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以漸近線共 有3條。漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到：,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,12,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： （5）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0-1，-2-之間。,4-2 繪制根軌跡的規(guī)則,13,6、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn) 分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件： 式中,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,14,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,15,根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡

6、上 的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn)) 與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)。若為二重 根，必同時(shí)滿足 和 。因此求得： 消去 ，可得到： 便于忘記，上式又可寫成： 或 以上分析沒有考慮 (且為實(shí)數(shù))的約束條件，所以只有滿 足 的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,16,例: 設(shè)系統(tǒng) 試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)：s1代入，求得：K0，故 舍去； s2代入，求得K0 。所以s2會(huì)合點(diǎn)。,(舍去),4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,17,檢驗(yàn)K1只要得到的符號(hào)即可,不必出具體的數(shù)值。 一般來說:如果根軌跡位

7、于實(shí)軸上兩相鄰的開環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn)) 之間；則個(gè)分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)) 。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開 環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不 存在會(huì)合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會(huì)合點(diǎn)。,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,18,四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn),4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,19,另外兩種表達(dá)形式： (1) 因?yàn)?令 , 即得到,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,20,仍以上例說明: 因?yàn)?令 求得,(舍去),4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,21,(2) 因?yàn)?即 其中 即 所以,-,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,22,仍以上例說明: 因?yàn)?消去分母 解上式得到 經(jīng)檢驗(yàn)，s2是根軌跡

8、在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。 對(duì)于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面 兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定 要檢驗(yàn)，舍去K0所對(duì)應(yīng)的值。,（舍去）,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,23,復(fù)雜情況用試探法。 在-2-3之間存在一個(gè)分離點(diǎn)。 所以分離點(diǎn)的位置為,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,24,7、根軌跡的出射角與入射角 若根軌跡的一個(gè)分支離開復(fù)極點(diǎn) 的出射角為 ，則 （各零點(diǎn) 到的向量幅角 之和） （其它各極點(diǎn)到 的向量幅角 之和） 若根軌跡的一個(gè)分支終止于復(fù)零點(diǎn) 的入射角為 ，則 (各極點(diǎn)到 的向量幅角 之和) (其它各零點(diǎn)到 的向量幅角 之和),4-2 繪制根軌跡圖的基

9、本規(guī)則,25,出射角(或入射角)是指根軌跡離 開復(fù)極點(diǎn) (或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的 傾角。 在根軌跡曲線上取試驗(yàn)點(diǎn)s1，與 復(fù)極點(diǎn)-pa的距離為 。 當(dāng) 時(shí)，可近似地 認(rèn)為s1在切線上，切線 的傾角就等于復(fù)極點(diǎn)的 出射角。 所以 的出射角:,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,26,8. 根軌跡與虛軸交點(diǎn) 根軌跡與虛軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滿足特征方程 的 值。工作在此點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 介紹常用的三種方法。 (1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虛部、實(shí)部分別等于 零，求得 和對(duì)應(yīng)的K1。 (2) 利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助 方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則應(yīng)

10、取勞斯 陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。 (3) 利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)經(jīng)驗(yàn) 選擇滿足幅角條件的試探點(diǎn)求出 ，再利用幅值條件確 定交點(diǎn)處的K1值。,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,27,例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制根軌跡圖 解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j 開環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無限零點(diǎn) (1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。 漸近線的傾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： (2) 實(shí)軸上的根軌跡：0 -3,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,28,(3)分離點(diǎn)： 利用試探法求得 (4)極點(diǎn)-p3的出射角 ：不難求得極點(diǎn)-p1、 -p2、 -p4到-p3的

11、 幅角分別 、 、 . 所以 同理不難求得極點(diǎn)-p4處的出射角： (5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,29,實(shí)部方程： 虛部方程： 解得： 方法二：由勞斯陣列求： 列出勞斯陣列 令s1行首項(xiàng)為零，即 求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程,(舍去),4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,30,9. 根軌跡的走向 當(dāng)n-m2滿足時(shí)，隨著K1增加，一些根軌跡分支向左方 移動(dòng)，則另一些根軌跡分支將向右方移動(dòng)。 開環(huán)傳遞函數(shù)： 特征方程： 當(dāng)滿足n-m2 時(shí)，上式sn-1項(xiàng)將沒有同次項(xiàng)可以合并，通 常把稱之為極點(diǎn)的“重心”。,4-2

12、繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,31,當(dāng)K1變化時(shí)，極點(diǎn)的重心 保持不變。所以，為了平衡 “重心”的位置，當(dāng)一部分根軌 跡隨著的增加向左方移動(dòng)時(shí)， 另一部分根軌跡將向右方移動(dòng). 例,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,32,10. 根軌跡上K1值的計(jì)算 根軌跡上任一點(diǎn)S1處的K1可由幅值條件來確定。即 =,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,33,繪制根軌跡圖的十條規(guī)則,34,繪制根軌跡圖的十條規(guī)則,35,例: 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試畫根軌跡，并確定 時(shí)K1的值。 解：只對(duì)根軌跡曲線的特征點(diǎn)進(jìn)行分析。 (1) 漸近線：3條。 漸近線的夾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： （2）分離點(diǎn)： 即 （舍去）,4-2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,36,（3）與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入