1、第二章 誤差與不確定度,本章要點(diǎn)：,誤差的概念與表示方法,隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的特性和處理方法,測(cè)量不確定度的概念和評(píng)定方法,測(cè)量數(shù)據(jù)處理的方法,本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論，搞測(cè)量就得 與誤差打交道。,誤差的合成與分配,2.1 誤差的概念與表示方法,誤差=測(cè)量值-真值,例如，在電壓測(cè)量中，電壓真值5V，測(cè)得的電壓為5.3V，則,誤差= 5.3V - 5V = +0.3V,問題：5V真值怎么知道的？,真值是一個(gè)理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。,2.1.1 測(cè)量誤差,例如：現(xiàn)在是什么時(shí)間？ 能準(zhǔn)確地報(bào)出北京時(shí)刻嗎？,1.誤差的概念,在通用計(jì)量術(shù)語及定義（JJF1001-1998）中，

2、量的真值 true valueof quantity 是“與給定的特定量的定義一致的值?！?并注明： 量的真值只有通過完善的測(cè)量才有可能獲得； 真值按其本性是不確定的； 與給定的特定量定義一致的值不一定只有一個(gè)。,真值是一個(gè)理想的概念，真值雖然是客觀存在，但卻又難以獲得。因?yàn)樽匀唤缛魏挝矬w都處于永恒的運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)量在不同時(shí)間、空間都會(huì)發(fā)生變化，從而有不同的真值。故真值應(yīng)是指在瞬間條件下的值，一般來說是無法通過完善的測(cè)量來獲得。,例如：某個(gè)5號(hào)電池，標(biāo)稱電壓1.5v，真值是多少？-,很難確定！,和在JJF1001-2011通用計(jì)量學(xué)術(shù)及定義技術(shù)規(guī)范中，將“測(cè)量誤差”定義為：,在國(guó)際計(jì)量學(xué)詞匯-通

3、用基本概念及相關(guān)術(shù)語（VIM）2006第3版中：,測(cè)量誤差=測(cè)得量值-參考量值,巧妙地采用“參考量值”這個(gè)詞，準(zhǔn)確合理地?cái)[脫“真值”的困惑！,實(shí)用中，對(duì)真值或參考量值的處理是用以下3種方法：,實(shí)際上對(duì)“參考量值”的應(yīng)用通常是用以下三種辦法：,“參考量值”可由理論（或定義）給出 例1：三角形內(nèi)角和為180度,由國(guó)際計(jì)量統(tǒng)一定義給出（例如秒的定義為銫原子能級(jí)躍遷9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1秒）。 1s=9192631770周期,誤差=181-180=1,例2：秒的定義, 用“約定真值” 作為“參考量值”, 用“不確定度” 評(píng)定測(cè)量結(jié)果,實(shí)際測(cè)量中常把高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的實(shí)際 值作為

4、真值使用。,“實(shí)際值”“約定真值”。,在本章第2、3 、 4 、 5節(jié)中討論誤差時(shí)是基于“約定真值”己知的條件下進(jìn)行的。,在本章第6節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，回避真值，研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不能確定的范圍在微米量級(jí)。,2.基本術(shù)語,測(cè)量?jī)x器的示值-測(cè)量?jī)x器所給出的量的值。 也稱測(cè)量值、測(cè)得值。,盡量不要用具體數(shù)量來說準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度10 mV 只能用某一等級(jí)或范圍來描述，例如：某電流表為1級(jí)表（準(zhǔn)確度1%）,測(cè)量結(jié)果-由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。 是在示值的基礎(chǔ)上經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的估計(jì)值，包括修正值、平均值及不確定度等。,測(cè)量準(zhǔn)確

5、度-測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值的一致程度。 但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念。,測(cè)量的重復(fù)性-在相同的測(cè)量條件下，對(duì)同一測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量結(jié)果之間的一致性，用“r” 表示。 “r” 不能太小，應(yīng)較大，才能滿足重復(fù)性的要求。 也稱等精度測(cè)量-同一個(gè)人、同一臺(tái)儀器、同一地點(diǎn)、同一方法，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。 例：用數(shù)字電壓表測(cè)量電壓16次。,測(cè)量的復(fù)現(xiàn)性-在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。 也稱再現(xiàn)性-換了個(gè)人，換了臺(tái)儀器，在另外的時(shí)間地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，其結(jié)果不能超出的范圍，“R”表示。 R 大則容易滿足復(fù)現(xiàn)性。 例：不同人用不同的電壓表測(cè)量市電，都是220v左右。,3

6、. 誤差的來源, 儀器誤差,指針式儀表的零點(diǎn)漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差；,數(shù)字式儀表的量化誤差（如6位半的電壓表比3位半量化誤差?。?比較式儀表中標(biāo)準(zhǔn)量本身的誤差 （如天平的砝碼）均為儀器誤差。,1.999999V,1.999V,非線性,V,mV, 方法誤差,由于測(cè)量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。,例如：用普通模擬式萬用表測(cè)量高阻上的電壓。,電壓表內(nèi)阻,習(xí)題2.10被測(cè)電阻Rx，電壓表的內(nèi)阻為RV，電流表的內(nèi)阻為RI,對(duì)于圖（a）當(dāng)電壓表內(nèi)阻RV很大時(shí)可選a方案。 對(duì)于圖（b）當(dāng)電流表內(nèi)阻RI很小時(shí)可用b方案。, 理論誤差,測(cè)量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計(jì)

7、算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測(cè)量 頻率時(shí)，常用的公式為,但實(shí)際上，回路電感L中總存在損耗電阻r，其準(zhǔn)確的公為, 影響誤差,由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。 例如，環(huán)境溫度、預(yù)熱時(shí)間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾 等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。, 人身誤差,由于測(cè)量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測(cè) 量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確所引起的誤差。,研究誤差理論的目的是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識(shí)別誤差 的性質(zhì)，正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，在一定測(cè)量 條件下，盡力設(shè)法減少誤差，保證測(cè)量誤差在容許的范圍內(nèi)。,1.絕對(duì)誤差：,定義：被測(cè)量的測(cè)量值x

8、與其真值A(chǔ)0之差，稱為絕對(duì)誤差。,在實(shí)際測(cè)量中：,“約定真值”“實(shí)際值”= A 表示,修正值：與絕對(duì)誤差大小相等，符號(hào)相反的量值稱為修正值， 一般用C表示,2 相對(duì)誤差：,例： 用二只電壓表V1和V2分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓值。,V1 表測(cè)量150伏，絕對(duì)誤差x1=1.5伏，,V2 表測(cè)量10伏， 絕對(duì)誤差x2=0.5伏,從絕對(duì)誤差來比較 x1 x2 誰準(zhǔn)確？,-表示相對(duì)誤差,相對(duì)誤差可以有多種形式：,真值相對(duì)誤差,實(shí)際值相對(duì)誤差,測(cè)量值（示值）相對(duì)誤差,滿度（或引用）相對(duì)誤差,常用,因通常A0、A、X X 故常用X方便,測(cè)量值相對(duì)誤差x與滿度相對(duì)誤差S%的關(guān)系：,測(cè)量值x靠近滿量程值xm相對(duì)誤差小,

9、電工儀表將滿度相對(duì)誤差分為七個(gè)等級(jí)：,例：檢定量程為1000A的0.2級(jí)電流表，在500A刻度上標(biāo) 準(zhǔn)表讀數(shù)為499A，問此電流表是否合格？,解： x0=499A x=500A xm=1000A,（0.2級(jí)表）,用分貝（dB）表示相對(duì)誤差,相對(duì)誤差也可用對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、 電壓的增益（衰減）的測(cè)量中。,功率等電參數(shù)用dB表示的相對(duì)誤差為,電壓、電流等參數(shù)用dB表示的相對(duì)誤差為,隨機(jī)誤差-不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量）,系統(tǒng)誤差-按一定規(guī)律變化的誤差,粗大誤差-顯著偏離實(shí)際值的誤差,下面分別介紹比較嚴(yán)格的定義,在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語及定義（JF1001-1998

10、）中，系統(tǒng)誤差定義為：“在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量無限多次測(cè)量所得的結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。”用表示系統(tǒng)誤差，即,1. 系統(tǒng)誤差,（2.11）,（2.12）,即 為無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值（概率論中的數(shù)學(xué)期望），這里簡(jiǎn)稱為總體均值。,在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語及定義（JG10011998）中，隨機(jī)誤差定義為：“測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。”用表示隨機(jī)誤差，即,2. 隨機(jī)誤差,隨機(jī)誤差定義表示：在重復(fù)性條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器相同的條件下），每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差，簡(jiǎn)稱隨差。,（

11、2.13）,3. 粗大誤差,在一定條件下，測(cè)量值顯著偏離其真值（或約定真值）所對(duì)應(yīng)的誤差，稱為粗大誤差。,粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯(cuò)誤 測(cè)量方法不對(duì) 瞬間干擾 儀器工作不正常等。,對(duì)粗大誤差的處理通常是按一定的法則進(jìn)行剔除,4. 三種誤差的關(guān)系,系統(tǒng)誤差 小，準(zhǔn)確度高,系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱精確度高,x= + + (粗大誤差),首先剔除去,定性的概念：,由（2.1）式誤差的定義：,式（2.14）表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖2.2給出了這些誤差之間關(guān)系的示意圖。,（2.14）,定量的概念：,定量的概念：,2.2 隨機(jī)誤差,2.2.1 定義與性質(zhì),隨機(jī)誤差定義： ：“測(cè)

12、量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差?！?隨機(jī)誤差概念-不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量）,舉例：對(duì)一電阻進(jìn)行n=100次重復(fù)性測(cè)量,表 2.2 按大小排列的重復(fù)性測(cè)量結(jié)果,將表2.2中數(shù)據(jù)畫成直方圖,隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從正態(tài)分布，具有以下4個(gè)特性：,對(duì)稱性絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù) 誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；,單峰性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值 大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；,有界性絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的 機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限；,抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無窮大， 隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。,2.2.2 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理,隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量的類同關(guān)系,1.數(shù)學(xué)期望,設(shè)x1，x2

13、，xi，為離散型隨機(jī)變量X的可能取值，相應(yīng) 概率為p1，p2，pi，其級(jí)數(shù)和為,若,絕對(duì)收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學(xué)期望，記為E(X),在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，,期望與均值是同一概念,算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近，由概率論的大數(shù)定律 可知，若測(cè)量次數(shù)無限增加，則算術(shù)平均值,必然趨于實(shí)際值。,2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差,方差是用來描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。,隨機(jī)變量X的方差為X與其期望E（X）之差的平方的期望， 記為D（X），即,例：兩批電池的測(cè)量數(shù)據(jù),誤差離散性小,誤差離散性大,正態(tài)分布,在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數(shù)隨機(jī)誤差 的分布規(guī)律都可以用正態(tài)分布來描述，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

14、為正態(tài)分布,當(dāng)知道正態(tài)分布的兩個(gè)基本參數(shù)：算術(shù)平均值,和標(biāo)準(zhǔn)差，該,正態(tài)分布的曲線形狀則基本確定。,給出了,時(shí)，三條不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線：,。標(biāo)準(zhǔn)差小，曲線尖銳，說明測(cè)量誤差小的數(shù)據(jù),占優(yōu)勢(shì)大，即測(cè)量精度高。,本書附錄A給出了正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表。其中,式中k為包含因子(或置信因子)，a為所設(shè)的區(qū)間寬度的一半。,K=1時(shí)，,K=2時(shí)，,K=3時(shí)，,圖2.7 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率,2.2.3 有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,上述正態(tài)分布是（n）下求得的，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行 有限次測(cè)量,1.有限次測(cè)量的算術(shù)平均值,對(duì)同一量值作一系列等精度獨(dú)立測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)量 值的算

15、術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近。,設(shè)被測(cè)量的真值為，其等精度測(cè)量值為x1，x2，xn，則 其算術(shù)平均值為,由于,的數(shù)學(xué)期望為，故算術(shù)平均值就是真值的無偏估計(jì)值。,實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。,2.有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差貝塞爾公式,上述的標(biāo)準(zhǔn)差是在n的條件下導(dǎo)出的，而實(shí)際測(cè)量只能做到 有限次。當(dāng)n為有限次時(shí)，可以導(dǎo)出這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為,這就是貝塞爾公式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故,被稱為標(biāo),準(zhǔn)差的估值，也稱實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。,在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分m組 進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值， 由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定 分散性。

16、這說明有限次測(cè)量的算術(shù)平均值還存在著誤差。當(dāng)需 要更精密時(shí)，應(yīng)該用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,3.平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,來評(píng)價(jià)。,已知算術(shù)平均值,為,在概率論中有“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè) 隨機(jī)變量方差之和”的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo),因,故有,所以,當(dāng)n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則,（2.21）,結(jié)論：（2.21）式說明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與 成反比。,即測(cè)量次數(shù)增加，算術(shù)平均值分散性減小，數(shù)值更集中了。這是由于隨機(jī)誤差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。,應(yīng)當(dāng)指出：當(dāng)測(cè)量

17、次數(shù)n20時(shí)，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差減小速度減慢， 故n不必太大，通常 n5 就可以了。,說明：實(shí)用中允許借用已經(jīng)測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)差，這時(shí)只要再測(cè)23次 則可了。 教材p24,有一個(gè)實(shí)例，供參考。,注意x上有一橫,例2.6 對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了8次測(cè)量，得測(cè)量值,的序列(見表2.3) 。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。,表2.3 例2.6所用數(shù)據(jù),解: (1)平均值（注意,這里采用的運(yùn)算技巧）,(2)用公式,計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表2-3中,(3)標(biāo)準(zhǔn)差估值,(4),的標(biāo)準(zhǔn)偏差,因整數(shù)位不變,2.15 對(duì)某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓Ux進(jìn)行了10次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：求輸出電壓Ux的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估

18、值,解：Ux的算術(shù)平均值,標(biāo)準(zhǔn)偏差估值,殘差,習(xí)題示范，體會(huì)計(jì)算過程,2.2.4 測(cè)量結(jié)果的置信度,1.置信度與置信區(qū)間,(百分比),(范圍),置信度（置信概率）就是用來描述測(cè)量結(jié)果處于某一范圍內(nèi)可 靠程度的量，一般用百分?jǐn)?shù)表示。,置信區(qū)間，即所選擇的這個(gè)范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示，,如,給定2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差,范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的可信度是百分之幾？,條件：必須先知道測(cè)值的分布，才能討論置信問題。,2.正態(tài)分布下的置信度,K=1時(shí)，,K=2時(shí)，,K=3時(shí)，,k=3時(shí)，即在以3倍標(biāo)準(zhǔn)差3區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為 99.73%，而在這個(gè)區(qū)間外的概率非常小。,圖2.7 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率,3. t分

19、布下的置信度 （n20）,在實(shí)際測(cè)量中，總是進(jìn)行有限次測(cè)量，只能根據(jù)貝塞爾公式求 出標(biāo)準(zhǔn)差的估值s(x)，但因測(cè)量次數(shù)較少（如n20時(shí)，測(cè)值 不服從正態(tài)分布。英國(guó)人科薩特（Gosset，但常以 “student” 筆名發(fā)表文章）證明了這時(shí)服從t分布，也稱“學(xué)生”氏分布。 t分布的圖形如圖2.9所示，圖形類似于正態(tài)分布。但t分布與標(biāo) 準(zhǔn)差無關(guān)，與測(cè)量次數(shù)n關(guān)系緊密，從圖2.9可以看出，當(dāng) n20以后，t分布與正態(tài)分布就很接近了?？梢杂脭?shù)學(xué)證明當(dāng) n時(shí)，t分布與正態(tài)分布完全相同,t分布一般用來解決有限次等精度測(cè)量的置信度問題。,例2.9 對(duì)某電感進(jìn)行12次等精度測(cè)量，測(cè)得的數(shù)值（單位mH） 為20

20、.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、 20.49、20.47、20.49、20.51、20.51，若要求在P=95%的 置信概率下，該電感測(cè)值應(yīng)在多大置信區(qū)間內(nèi)？,解：第一步：求出,及,電感的算術(shù)平均值,電感的標(biāo)準(zhǔn)差估值,算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差估值,第二步： 查附錄B：t分布表，由n1=11及P=0.95，查得t=2.20,第三步： 估計(jì)電感L的置信區(qū)間,，其中,則在95%的置信概率下，電感L的置信區(qū)間為20.48mH，20.51mH。,4. 非正態(tài)分布,以上分析中都認(rèn)為測(cè)量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括t分布). 在測(cè)量實(shí)踐中會(huì)遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)

21、分布的。下面 介紹幾種常見的非正態(tài)分布曲線及置信度問題。,1)均勻分布,均勻分布又稱為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的 一種重要分布，如圖2.10所示。其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，誤差 出現(xiàn)的概率各處相同。如儀器中的度盤回差所導(dǎo)致的誤差；數(shù) 字儀器中的量化誤差（在1單位以內(nèi)不能分辨的誤差）；數(shù) 據(jù)計(jì)算中的舍入誤差（舍掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同 的）等，均為均勻分布誤差。,均勻分布的概率密度為,a x b,可以證明，圖2.10所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為,（2.24）,（2.25）,2.2.5 非等精度測(cè)量,前面討論的測(cè)量結(jié)果是基于等精度測(cè)量條件下進(jìn)行的，這是通 常的測(cè)量情況。但

22、有時(shí)候，如在科研或高精度測(cè)量中，往往在 不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)量方法，不同的 測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這種測(cè)量稱為非 （或不）等精度測(cè)量。,對(duì)于非等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差）， 不能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需要采用新的計(jì)算公式。,1.“權(quán)”的概念和確定方法,日常統(tǒng)計(jì)中也用“權(quán)”的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計(jì)學(xué)生的 各科總平均成績(jī)，以顯示學(xué)分多的課程重要性。例如，三門學(xué) 分為3、1、2課程的加權(quán)平均成績(jī)?yōu)?2. 加權(quán)算術(shù)平均值,若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組非等精度測(cè)量，得到m組測(cè)量結(jié)果,，設(shè)相應(yīng)的權(quán)值為,，則,加權(quán)算術(shù)平均值為,例2.11 工作

23、基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度分別為999.9425mm（3次測(cè)量的），999.9416mm（2次測(cè)量的），999.9419mm（5次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。 解： 按測(cè)量次數(shù)來確定權(quán)：w1=3，w2=2，w3=5 ，取x0=999.94mm，則有,999.94,= 999.9420 mm,3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組非等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果， 各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為,經(jīng)推導(dǎo)可得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：,2.3 粗大誤差,在一定條件下，測(cè)量值顯著偏離其實(shí)際值所對(duì)應(yīng)的誤差。,產(chǎn)生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯(cuò)誤、測(cè)量方法錯(cuò)誤、儀器有缺

24、陷、電磁干擾及電壓跳動(dòng)等。,粗大誤差無規(guī)律可循，故必須當(dāng)作壞值予以剔除。,剔除是要有一定依據(jù)的。在不明原因的情況下， 首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給 定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超出置信區(qū)間的誤差 就認(rèn)為是粗大誤差。具體檢驗(yàn)方法常見的有三種：,2.3.1 定義,2.3.2 處理,2.3.3 剔除法則,檢驗(yàn)方法常見的有三種：,1 萊特檢驗(yàn)法（n200）,3s（x）,2 格拉布斯檢驗(yàn)法（理論與實(shí)驗(yàn)證明較好）,3 中位數(shù)檢驗(yàn)法,中位數(shù)平均值,大量統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時(shí),991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019,Gs

25、,G查p34表2.6,中位數(shù),例,2.3.4 應(yīng)用舉例,例 2.14 對(duì)某溫度進(jìn)行多次等精度測(cè)量，所得結(jié)果列于表2.7中， 試檢查數(shù)據(jù)中有無異常。,表2.7 例 2.12所用數(shù)據(jù),(1）萊特檢驗(yàn)法 ： 從表中可以看出x8=20.30殘差較大，是個(gè) 可疑數(shù)據(jù)，,故可判斷x8是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。再對(duì)剔除后數(shù)據(jù)計(jì)算得,其余的14個(gè)數(shù)據(jù)的,均小于,，故為正常數(shù)據(jù)。,（2）格拉布斯檢驗(yàn)法,（3）中位數(shù)檢驗(yàn)法,取置信概率 Pc=0.99，以 n=15查表2.6得 G=2.70,Gs=2.70.033=0.09,，剔除x8后重新計(jì)算判別，,得n=14，pc=0.99下G值為 266,GS 2.66 0.0

26、16 0.04,余下數(shù)據(jù)中無異常值。,20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41， 20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43,(1)所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。 (2)若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，然后重新計(jì)算,(3)在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。要對(duì)異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進(jìn)行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過發(fā)現(xiàn)問題的

27、機(jī)會(huì)。 (4)上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測(cè)值數(shù)據(jù)最好n200，若n10則會(huì)失效；格拉布斯檢驗(yàn)法理論嚴(yán)密，概率意義明確，實(shí)驗(yàn)證明較好；中位數(shù)檢驗(yàn)法簡(jiǎn)捷方便，也能滿足一般實(shí)用要求。,在對(duì)粗大誤差處理中要注意以下幾個(gè)問題：,2.4 系統(tǒng)誤差,上面所述的隨機(jī)誤差處理方法，是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng) 誤差為前提。,實(shí)際上，測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng) 誤差數(shù)值還比較大。,對(duì)系統(tǒng)誤差的研究較為復(fù)雜和困難，研究新的、有效的發(fā)現(xiàn)和 減小系統(tǒng)誤差的方法，已成為誤差理論的重要課題之一。,2.4.1 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因,系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成， 這

28、些誤差因素是可以掌握的。,1.測(cè)量裝置方面的因素,儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理上的缺點(diǎn)，如指針式儀表零點(diǎn)未調(diào)整正確； 儀器零件制造和安裝不正確，如標(biāo)尺的刻度偏差、刻度盤和 指針的安裝偏心、儀器各導(dǎo)軌的誤差、天平的臂長(zhǎng)不等；儀器 附件制造偏差，如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)直徑偏差等。,2.環(huán)境方面的因素,測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過程中溫度、濕度 等按一定規(guī)律變化的誤差。,3.測(cè)量方法的因素,采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差。,4.測(cè)量人員方面的因素,由于測(cè)量者的個(gè)人特點(diǎn)，在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一 方向；動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，記錄某一信號(hào)有滯后的傾向。,2.4.2 系統(tǒng)誤差的檢查和判別,系統(tǒng)誤差（簡(jiǎn)稱

29、系差）的特征是：,恒定系差-多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變； 變值系差-條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。,1.恒定系統(tǒng)誤差的檢查和處理,恒定系差（恒差）常用的判斷方法有以下幾種,1)改變測(cè)量條件,測(cè)量條件指測(cè)量者、測(cè)量方法和環(huán)境條件等，在某一測(cè)量條件下有許多恒差 為一確定不變值，如改變測(cè)量條件，就會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)確定的恒差，例如，對(duì) 儀表零點(diǎn)的調(diào)整。,2)理論分析計(jì)算,凡屬由于測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的恒差，只要對(duì)測(cè)量方法和測(cè)量原理進(jìn)行 定量分析，就可找出系差的大小。（分壓比校準(zhǔn)）,3)用高檔儀器比對(duì)、校準(zhǔn),用高檔儀器定期計(jì)量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗(yàn)后，則知 其是偏

30、大還是偏小。用校準(zhǔn)后的修正值（數(shù)值、曲線、公式或表格）來檢查 和消除恒差。,4)統(tǒng)計(jì)法（排除隨機(jī)誤差，剩下即系統(tǒng)恒差）,下面分析恒定系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。,設(shè)一系列重復(fù)測(cè)量值為x1，x2，xn，測(cè)量值中含有隨機(jī)誤差i 和恒定 系統(tǒng)誤差，設(shè)被測(cè)量的真值為x0，則有,當(dāng)n足夠多時(shí)，,上式表明，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，隨機(jī)誤差對(duì),的影響可忽略，而系統(tǒng),中。利用修正值 C=可以在進(jìn)行平均前的每個(gè)測(cè)量值xi,誤差會(huì)反映在,中扣除，也可以在得到算術(shù)平均值后扣除。對(duì)于因測(cè)量方法或原理引入的,恒定系差，可通過理論計(jì)算修正。,2. 變值系差的判定,常用的有以下兩種判據(jù)：,1)剩余誤差觀察法,（a）剩余誤差大體

31、上正負(fù)相間，且無顯著變化規(guī)律，可認(rèn)為不存在系統(tǒng)誤差；,（b）剩余誤差有規(guī)律的遞增或遞減，且在測(cè)量開始與結(jié)束誤差符號(hào)相反，則 存在線性系統(tǒng)誤差；,（c）變值系統(tǒng)誤差剩余誤差符號(hào)有規(guī)律地由正變負(fù)，再由負(fù)變正，且循環(huán)交替 重復(fù)變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差；,（d）則同時(shí)存在線性和周期性系統(tǒng)誤差。若測(cè)量列中含有不變的系統(tǒng)誤差， 用剩余誤差觀察法則發(fā)現(xiàn)不了。,2) 累進(jìn)性系差的判別馬利科夫判據(jù),圖2.13(a)(b)表示了與測(cè)量條件成線性關(guān)系的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，如由于蓄電 池端電壓的下降引起的電流下降。在累進(jìn)性系差的情況下，殘差基本上向一 個(gè)固定方向變化。,馬利科夫判據(jù)是常用的判別有無累進(jìn)性系差的方法。具體

32、步驟是：,將n項(xiàng)剩余誤差,按順序排列；,分成前后兩半求和，再求其差值D,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),若 則說明測(cè)量數(shù)據(jù)存在累進(jìn)性系差。,（2.41）,3)周期性系差的判別阿貝赫梅特判據(jù),周期性系差的典型例子是當(dāng)指針式儀表度盤安裝偏心時(shí)，會(huì)產(chǎn)生這種周期性 系差。,如圖 2.14（a）所示，如鐘表的軸心在水平方向有一點(diǎn)偏移，設(shè)它的指針在 垂直向上的位置時(shí)造成的誤差為，當(dāng)指針在水平位置運(yùn)動(dòng)時(shí) 逐漸減小至零， 當(dāng)指針運(yùn)動(dòng)到垂直向下位置時(shí)，誤差為-，如此周而復(fù)始，造成的誤差如圖 2.14（b）所示，這類呈規(guī)律性交替變換的系統(tǒng)誤差稱為周期性系統(tǒng)誤差。,阿貝赫梅特判據(jù) 具體步驟是：, 把測(cè)量數(shù)據(jù)I 項(xiàng)剩余誤

33、差,按測(cè)量順序排列；, 將,兩兩相乘，然后求其和的絕對(duì)值,（2.40）, 用貝塞爾公式求方差, 再與方差相比較，若,（2.41）,則可認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差。,存在變值系統(tǒng)誤差的數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用。但是，若雖然存在變值系差， 而剩余誤差最大值處于允許范圍以內(nèi)，則測(cè)量數(shù)據(jù)可用。,2.4.3 削弱系統(tǒng)誤差的基本方法：,消除或減弱系統(tǒng)誤差應(yīng)從根源上著手。,1. 零示法,當(dāng)檢流計(jì)G中 I=0,G只要示零精度高,2.替代法（置換法）,直流電橋平衡條件,標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)可讀電阻,步驟：1.調(diào)R3，使G=0，R3不動(dòng)； 2.調(diào)RS，使G=0，RX=RS,RS為標(biāo)準(zhǔn)電阻箱可調(diào)可讀,3. 交換法（對(duì)照法）,第一次平衡

34、：WXl1=W1l2 第二次平衡：WXl2=W2L1,WXl1WXl2=W1l2W2l1,應(yīng)當(dāng)指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計(jì)算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器消弱系差的方法很多，如直流零位校準(zhǔn)、自動(dòng)校準(zhǔn)、相對(duì)測(cè)量等，可參閱有關(guān)的課程。,2.4.4 重復(fù)性測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重點(diǎn)內(nèi)容：是不確定度計(jì)算基礎(chǔ)）,當(dāng)對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和 粗大誤差，為了給出正確合理的結(jié)果，應(yīng)按下述基本步驟對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行 處理。,1)對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正，列出測(cè)量值xi 的數(shù)據(jù)表,2)計(jì)算算術(shù)平均值,3)列出殘差,4)按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估值,5)

35、按萊特準(zhǔn)則,，或格拉布斯準(zhǔn)則,粗大誤差；若有粗大誤差，應(yīng)逐一剔除后，重新計(jì)算,，檢查和剔除,和s，再判別,直到無粗大誤差；,6)判斷有無系統(tǒng)誤差，如有應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測(cè)量；,7)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值,8)寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即,式中k為包含因子，可查表2.4。,例2.15 對(duì)某電壓進(jìn)行16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)xi中已記入修 正值，列于表2.8中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。,解：(1)求出算術(shù)平均值,(2)計(jì)算,列于表中,并驗(yàn)證,(3)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差估值:,(4)按萊特準(zhǔn)則判斷有無,查表中第5個(gè)數(shù)據(jù),應(yīng)將對(duì)應(yīng),視為粗大誤差,加以,剔除?，F(xiàn)剩下15個(gè)數(shù)據(jù)。,(

36、5)重新計(jì)算剩余15個(gè)數(shù)據(jù)的平均值:,及重新計(jì)算,列于表2.8中,并驗(yàn)證,(6)重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差,(7)按萊特準(zhǔn)則再判斷,現(xiàn)各,均小于,則認(rèn)為剩余15個(gè)數(shù)據(jù)中不再含有粗大誤差。,(8)對(duì),作圖,判斷有無變值系統(tǒng)誤差,如圖2.18。從圖中可見,無明顯累進(jìn)性或周期性系統(tǒng)誤差。,圖2.18 殘差圖,(9)計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差:,(10)寫出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式:,(取包含因子k=3),第五節(jié) 誤差的合成與分配,研究：,先講合成：,例： PIU U和I如何影響 P ？,I=U/R U和R如何影響 I ？,方法：推導(dǎo)一個(gè)普遍適用的公式。,2.5.1 測(cè)量誤差的合成,1 誤差傳遞公式,設(shè),若在,附近各階偏導(dǎo)

37、數(shù)存在，則可把y展為泰勒級(jí)數(shù),(“0”點(diǎn)，表示真值、起始點(diǎn)),若用,分別表示x1及,x2分項(xiàng)的誤差，由于,的中高階小量可以略去，則總合的誤差為,，則泰勒級(jí)數(shù),同理，當(dāng)總合y由m個(gè)分項(xiàng)合成時(shí)，可得,即,絕對(duì)誤差的傳遞公式 （2.43）,這是絕對(duì)誤差的傳遞公式。,例,方案1,方案2,方案3,解：方案1：用公式PIU,由式（2.45）可得,(CU)=CU,則算得功率的相對(duì)誤差為,P=IU,=U2/R,=I2R,方案2：用公式 P=U2R,由式（2.45）可得,則,求導(dǎo),（ 1/x ）=-1/x2,方案3：用公式 PI2R,由式（2.45）可得,則,式（2.45）是求絕對(duì)誤差的公式，在已知各分項(xiàng)誤差的

38、相對(duì)誤 差，求總的相對(duì)誤差是不方便的。實(shí)際上只要對(duì)式（2.45）稍 加變換就可以得到求相對(duì)誤差的公式將式（2.45）兩端同除 以y。，同時(shí)考慮y為x1=x10，x2=x20時(shí)的函數(shù)值f則,由數(shù)學(xué)中用對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法,用對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù),則可求出相對(duì)誤差,相對(duì)誤差傳遞公式 (2.44）,方案2：,用相對(duì)誤差傳遞公式,lnP=2lnU-lnR,若,的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，,常先求總合的絕對(duì)誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方,關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對(duì)誤差比較方便。,y=x1+x2-x3,用哪種方法求相對(duì)誤差方便？,2 系統(tǒng)誤差的合成：,由誤差傳遞公式，很容易求得確定性系統(tǒng)誤差的合成值。由式（2.43）

39、,一般說來各分項(xiàng)誤差x由系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差構(gòu)成，即,（2.45）,若測(cè)量中各隨機(jī)誤差可以忽略，則總合的系統(tǒng)誤差y可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成,（2.46）,若1，2，m為確定性系統(tǒng)誤差，則可由上式直接求出總合的系統(tǒng)誤差。 對(duì)于各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差不能確定的情況，我們將在后面討論。,2.5.2 測(cè)量誤差的分配,這種制定誤差分配方案的工作是經(jīng)常會(huì)遇到的，下面介紹一些常見的誤 差分配原則。,1.等準(zhǔn)確度分配,設(shè) =0 1=2 副邊總電壓U=880V,則，測(cè)量允許的最大總誤差為,= U （2）=17. 6 V,例：用量程為500V交流電壓表測(cè)副邊總電壓，要求相對(duì)誤差小于2%，問應(yīng)選幾級(jí)電壓表？,用引用相對(duì)誤差為,

40、的電壓表測(cè)量電壓時(shí)，若電表的滿刻度值為Um，,則可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為,，這個(gè)數(shù)值應(yīng)不大于每個(gè),副圈分配到的測(cè)量誤差Ui，即要求,可見選用1.5級(jí)（1.5%）的電壓表能滿足測(cè)量要求。,可以認(rèn)為測(cè)量誤差主要是由于電壓表誤差造成的，而且由于兩次測(cè)量的電壓 值基本相同，可根據(jù)式（2.51）等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差，則,2. 等作用分配,等作用分配是指分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上雖然不一定相等，但它們對(duì) 測(cè)量誤差總合的作用或者說對(duì)總合的影響是相同的，即,由式（2.48）及式（2.49）可求出應(yīng)分配各分項(xiàng)的誤差為,（2.52）,（2.53）,例2.19 通過測(cè)電阻上的電壓、電流值間接測(cè)電阻上消耗的功率，

41、已測(cè)出 電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW。若要求功率測(cè)量的系 統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于5mW，問電壓和電流的 測(cè)量誤差多大時(shí)才能保證上述功率誤差的要求。,在按等作用分配原則進(jìn)行誤差分配以后，可根據(jù)實(shí)際測(cè)量時(shí)各分項(xiàng)誤差達(dá) 到給定要求的困難程度適當(dāng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，在滿足總誤差要求的前提下，對(duì)不 容易達(dá)到要求的分項(xiàng)適當(dāng)放寬分配的誤差，而對(duì)容易達(dá)到要求的分項(xiàng)，則 可適當(dāng)把分給的誤差再改小些，以使各分項(xiàng)測(cè)量的要求不致難易不均。,2.5.3 最佳測(cè)量方案的選擇,對(duì)于實(shí)際測(cè)量，我們通常希望測(cè)量的準(zhǔn)確度越高即誤差的總合越小越好。 所謂測(cè)量的最佳方案，從誤差的角度看就是要做到,（2

42、.54）,（2.55）,當(dāng)然，若能使上述各式中每一項(xiàng)都能達(dá)到最小，總誤差就會(huì)最小。有時(shí)通 過選擇合適的測(cè)量點(diǎn)能滿足這一要求，但是通常各分項(xiàng)誤差,是由一些客觀條件限定的，所以選擇最佳方案的方法一般只是根據(jù)現(xiàn)有條件， 了解各分項(xiàng)誤差可能達(dá)到的最小數(shù)值，然后比較各種可能的方案，選擇合 成誤差最小者作為現(xiàn)有條件下的“最佳”方案。,常用選擇方法有：,1.函數(shù)形式的選擇,當(dāng)有多種間接測(cè)量方案時(shí)，各方案的函數(shù)表示式不同，應(yīng)選其中總合誤差 最小的函數(shù)形式。,前述電阻功率例中，當(dāng),，,問采用哪種測(cè)量方案較好？,方案1：P=UI,方案2 P= U2R,方案3：P=I2R,可見，在題中給定的各分項(xiàng)誤差條件下，應(yīng)選擇

43、第一方案PUI.,2.測(cè)量點(diǎn)的選擇,在前面引用（滿度）相對(duì)誤差中曾指出，用指針式三用表電壓、電流檔測(cè)量 時(shí)，應(yīng)正確選擇量程，使測(cè)值靠近滿度，即測(cè)量點(diǎn)要選在滿量程附近，測(cè)量 結(jié)果的相對(duì)誤差小。對(duì)電阻檔測(cè)量點(diǎn)應(yīng)選擇何處呢？現(xiàn)介紹一般性方法。,則,由誤差合成公式（2.45），可求得絕對(duì)誤差為,以上介紹的測(cè)量誤差理論雖然很全面很系統(tǒng)，但卻存在兩個(gè)嚴(yán)重的困惑問題： 邏輯概念上錯(cuò)位, 誤差評(píng)定方法不統(tǒng)一 例如：隨機(jī)誤差通是用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s、2s、3s表示？ 系統(tǒng)誤差還沒有一套通用有效的方法。 已知被測(cè)系統(tǒng)的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差如何求總誤差時(shí)： 有的是分別給出；有的算術(shù)相加；有的平方相加。,以一個(gè)已知量求解兩個(gè)

44、未知量是不成立的方程式，邏輯前提條件不成立。 例如，測(cè)量地球到月亮距離的誤差是多少？ 算誤差時(shí)，要為獲得參考量值（約定真值）去找高檔級(jí)儀表,2.6 測(cè)量不確定度,2.6.1 測(cè)量不確定度的概念,由于真值難以確定，測(cè)量結(jié)果總是帶有不確定性。,在國(guó)外，推出了以“不確定度”作為測(cè)量誤差的數(shù)字指標(biāo)，表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量不能肯定的度，是測(cè)量理論中很重要的一個(gè)新概念。,1993年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織、國(guó)際電工委員會(huì)、國(guó)際計(jì)量局、國(guó)際法制計(jì)量組織等7個(gè)國(guó)際組織聯(lián)合制定發(fā)布了Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement（GUM，測(cè)量不確定度表

45、示指南）。,我國(guó)計(jì)量和測(cè)量領(lǐng)域內(nèi)經(jīng)過多年的深入研究和探討，于1999年發(fā)布了適合我國(guó)國(guó)情的測(cè)量不確定度評(píng)定與表示計(jì)量技術(shù)規(guī)范（JJF10591999）這個(gè)規(guī)范原則上等同采用了GUM的基本內(nèi)容，是實(shí)驗(yàn)測(cè)試、產(chǎn)品質(zhì)量認(rèn)證和計(jì)量檢定考核的法律依據(jù)，使我國(guó)的測(cè)試計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)能與國(guó)際通行做法接軌。,發(fā)行了許多“宣貫” 資料：,1.不確定度的定義和分類,在測(cè)量不確定度評(píng)定與表示（JJF1059-1999）中，不確定度（uncertainty）的定義為 ：“表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。 ”。,這種測(cè)量不確定度的定義表明：,Y= yU,其中，y是被測(cè)量值的估計(jì)，通常取多次測(cè)量值的算術(shù)

46、平均值：,U是測(cè)量不確定度，在UGM中規(guī)定，這個(gè)參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)偏差s或是s的倍數(shù)ks；也可以是具有某置信概率P（例如P= 95或P= 99）下置信區(qū)間的半寬。,表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，其置信區(qū)間是： 。見下圖：,其置信區(qū)間是： 。它與真值沒有直接關(guān)系，但它將真值包含在區(qū)間之中了。注意：不確定度U 恒為正值。前面加號(hào)只是標(biāo)明區(qū)間的取向，經(jīng)常用數(shù)學(xué)符號(hào)+，或者號(hào)與 U 相聯(lián)結(jié)。,不確定度,標(biāo)準(zhǔn)不確定度,擴(kuò)展(展伸)不確定度（擴(kuò)大uC的置信區(qū)間，提高置信概率）,A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uA（由多次測(cè)值求標(biāo)準(zhǔn)差獲得）,B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB（查已有信息求得）,合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC（A、B類的合成；多個(gè)

47、不確定度合成 ）,不確定度分類：,應(yīng)當(dāng)指出，在不確定度的合成中，有時(shí)為簡(jiǎn)化運(yùn)算也引用相對(duì)不確定度的形式（類似相對(duì)誤差的概念）。,2. 測(cè)量不確定度的來源,測(cè)量不確定度來源于以下因素：,1）被測(cè)量定義的不完善，實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想，被測(cè)量樣本不能 代表所定義的被測(cè)量。,2）測(cè)量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。,3）測(cè)量環(huán)境的不完善對(duì)測(cè)量過程的影響以及測(cè)量人員技術(shù)水平等影響。,4）計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化算法中使用的常 數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測(cè)量過程中引入的近似值的影響。,5）在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測(cè)量本身的不穩(wěn)定性。,3.

48、測(cè)量不確定度與誤差的關(guān)系,誤差理論中兩個(gè)重要概念，不確定度是對(duì)經(jīng)典誤差理論的一個(gè)補(bǔ)充。,表2.9 誤差與不確定度的區(qū)別,2.6.2 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定,用標(biāo)準(zhǔn)差表征的不確定度，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用u表示。測(cè)量不確定度 所包含的若干個(gè)不確定度分量，均是標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，用ui 表示，其 評(píng)定方法如下：,1. A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定,A類評(píng)定是用統(tǒng)計(jì)分析法評(píng)定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u的求法等同于由系列觀測(cè) 值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差，即A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度就等于標(biāo)準(zhǔn)差，即,標(biāo)準(zhǔn)差的求法同前面隨機(jī)誤差的處理方法，具體步驟歸納如下：,1）對(duì)被測(cè)量X進(jìn)行n次測(cè)量，得測(cè)值x1，x2，xn ；,2）求算術(shù)平均值,和剩余誤差,3）

49、用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)差的估值:,（2.56）,4）求算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估值:,（2.57）,5）則A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:,（2.58）,這里需要說明的是，觀測(cè)次數(shù)n應(yīng)充分多，才能使A類不確定度的評(píng)定可靠， 一般認(rèn)為n應(yīng)大于5。但也要視實(shí)際情況而定，當(dāng)A類不確定度分量對(duì)合成 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)較大時(shí)，n不宜太小；反之，n小些關(guān)系也不大。,除了這種用標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算的A類不確定度之外，其他都屬于B類不確定度。,2.B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定,B類評(píng)定不用統(tǒng)計(jì)分析法，而是要從,獲得信息,然后求出其分布的估計(jì)（概率分布假設(shè)）和置信區(qū)間（要有一定的經(jīng)驗(yàn)及 對(duì)一般知識(shí)有透徹的了解。）,即B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：,（2.61）

50、,包含因子k（或稱覆蓋因子、置信因子），可查表2.10。 k 一般在23范圍內(nèi),當(dāng)估計(jì)值x取自有關(guān)資料，所給出的測(cè)量不確定度Ux為標(biāo)準(zhǔn)差的k倍時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：uB=Ux/k （見教材p54 表2.10）,當(dāng)知區(qū)間半寬a 后，要換算為標(biāo)準(zhǔn)差形式，,注意：在2.2.4節(jié)用統(tǒng)計(jì)概率研究隨機(jī)誤差時(shí)，用了置信區(qū)間、置信概率及置信因子等名詞，而在不確定度研究中，國(guó)際上改稱為：包含區(qū)間、包含概率及包含因子。,例2.22 由手冊(cè)查得純銅在溫度20時(shí)的線膨脹系數(shù)a為16.52,/，,并已知該系數(shù)a的誤差范圍為,，求線膨脹系數(shù)a的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。,解：根據(jù)手冊(cè)提供的信息可認(rèn)為a 的值以等概率位于區(qū)間,至,內(nèi)，

51、且不可能位于此區(qū)間之外，故假設(shè)a,服從均勻分布。已知其區(qū)間半寬,，則純銅在溫度,為20的線膨脹系數(shù)a的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為,/,最大允許誤差即儀器的最大絕對(duì)誤差 ，即該儀器的置信區(qū)間。其“?！奔唇^對(duì)值， 也就是置信區(qū)間的半寬a ，因此,例2.23 數(shù)字電壓表廠家說明書上給出：儀器校準(zhǔn)后12年內(nèi)，在1V內(nèi)示值最大允許誤差的模為 （這里Ux為讀數(shù)，Um為量程范圍）。設(shè)校準(zhǔn)后20個(gè)月在1V內(nèi)測(cè)量電壓，問當(dāng)測(cè)量讀數(shù)Ux=0.928571V時(shí)，其示值誤差導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為多少？ 解：因數(shù)字電壓表示值誤差導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由廠家產(chǎn)品質(zhì)量決定的，不是通過多次測(cè)量由標(biāo)準(zhǔn)差求得的，故屬B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。,由于最大

52、允許誤差在1V量程內(nèi)對(duì)測(cè)量值都有影響，即其在1V范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率相同，故應(yīng)屬于均勻分布。因此，這里a 即為均勻分布的半寬，按表2.10查得 。,則該數(shù)字電壓表示值的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：,自由度的理解： 如僅有一個(gè)測(cè)量值，則該測(cè)量結(jié)果就是被測(cè)量的最佳估計(jì)值，別無選擇，這相當(dāng)于自由度為零， 式（2.56）計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差s為無窮大，這是不允許的。 若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的測(cè)量值，則有了選擇最佳估計(jì)值的“自由”。 隨著測(cè)量次數(shù)的增多，自由度也隨之增加。自由度愈大，標(biāo)準(zhǔn)差愈可信賴，標(biāo)準(zhǔn)不確定度愈可靠。因此自由度 v 是表達(dá)測(cè)量可靠程度的量，測(cè)量次數(shù)n多，可靠性好，則自由度大。,3. 自由度,1)自由度概念,和

53、的項(xiàng)數(shù) n 和的限制數(shù)是 1,2)自由度的評(píng)定,(1)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度,對(duì)A類評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其自由度 即為標(biāo)準(zhǔn)差 的自由度。由于標(biāo)準(zhǔn)差有不同的計(jì)算方法，其自由度也有所不同，并且可由相應(yīng)公式計(jì)算出不同的自由度。例如，用貝塞爾法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差，其自由度= n1。,(2)B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度,由于B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度不是由實(shí)驗(yàn)測(cè)量計(jì)算得到的，也就不存在測(cè)量次數(shù)的問題，因此原則上也就不存在自由度的概念。,應(yīng)當(dāng)指出，自由度的計(jì)算除了在求標(biāo)準(zhǔn)差中用到外，主要用在求擴(kuò)展不確定度查包含因子k表時(shí)要用到。,2.6.3 測(cè)量不確定度的合成,當(dāng)測(cè)量結(jié)果受多種因素影響形成了若干個(gè)不確定度分量時(shí)，測(cè)

54、量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn) 不確定度用各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成后所得的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc表示。,概念：類似誤差的合成,下標(biāo)c是英文combine的第一個(gè)字母，表示合成之意。,1) 直接測(cè)量量不確定度的合成,設(shè)某被測(cè)量x有i個(gè)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 ，有j個(gè)B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 ,由于通常這些不確定度分量彼此是相互獨(dú)立的，故該被測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,例2.24 電壓測(cè)量：,數(shù)學(xué)模型（或稱函數(shù)關(guān)系）是：,2)間接測(cè)量量不確定度的合成（不確定度傳播律）,y=(x1，x2，xn),數(shù)學(xué)模型（或稱函數(shù)關(guān)系）,類同于2.5.1節(jié)討論的誤差合成的問題,例2.25 設(shè)某測(cè)量的數(shù)學(xué)模型為 ，設(shè) 相互獨(dú)立，其 已知，試求合成不確定度

55、。,式中偏導(dǎo)數(shù) 稱為靈敏系數(shù)，可以簡(jiǎn)化用符號(hào) 表示。,規(guī)律：總的相對(duì)不確定度等于各項(xiàng)不確定度乘其方次后之平方和。,靈敏系數(shù),應(yīng)為4,當(dāng)遇到含積、商式及乘方、開方的數(shù)學(xué)模式可以仿照式（2.64）寫出相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的表達(dá)式。也可以仿照式（2.44）采用數(shù)學(xué)中由對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來求相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，如式（2.65）。,以上討論是基于y=(x1，x2，xn)的泰勒級(jí)數(shù)的一階近似（忽略了高階微小變化量）條件下求得的，且各分量互不相關(guān)，大多情況下上述簡(jiǎn)化條件是符合工程應(yīng)用的。當(dāng)不滿足上述條件時(shí)，有明顯非線性時(shí)，在式（2.63）后還要加上高階項(xiàng)：,（2.65）,例,2.6.4 擴(kuò)展（展伸）不確定度

56、,合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度可表示測(cè)量結(jié)果的不確定度，但它僅對(duì)應(yīng)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，由其所表示的測(cè)量結(jié)果 yuc含被測(cè)量Y的真值的概率僅為 68。（太嚴(yán)了）,擴(kuò)展不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC乘以包含因子k 得到，記為U，即,U=kuC,通常規(guī)定，除計(jì)量學(xué)基礎(chǔ)研究、基本物理常數(shù)測(cè)量以及復(fù)現(xiàn)國(guó)際單位的國(guó)際比對(duì)可以僅給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度外，其余絕大部分測(cè)量均要求給出測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度。,包含因子k是自由度和置信概率的函數(shù)，即 。,通常，置信概率取 P=95%,應(yīng)是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的自由度,在2左右變化不大,2.6.6 測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例,1. 測(cè)量不確定度計(jì)算步驟,綜上所述，評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的步驟

57、可歸納為,(1)測(cè)量不確定度計(jì)算步驟建立數(shù)學(xué)模型；,(2)求每個(gè)直接測(cè)量量的合成不確定度,(3)求總的合成不確定度,(4)求擴(kuò)展不確定,(5)不確定度報(bào)告,根據(jù)以上測(cè)量不確定度計(jì)算步驟，下面通過實(shí)例說明不確定度評(píng)定方法 的應(yīng)用。,2.電壓測(cè)量的不確定度計(jì)算,1)測(cè)量方法,用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字電壓表在標(biāo)準(zhǔn)條件下，對(duì)被測(cè)直流電壓源10V點(diǎn)的輸出電壓值 進(jìn)行獨(dú)立測(cè)量10次，測(cè)得值如下： （說明：本例中以UD表示電壓值，u 和U表示不確定度）,計(jì)算10次測(cè)量的平均值得,= 10.000104V，并取平均值作為測(cè)量結(jié)果,的估計(jì)值。,2)不確定度評(píng)定,分析測(cè)量方法，可知在標(biāo)準(zhǔn)條件下測(cè)量，由溫度等環(huán)境因素帶來的影響可

58、 忽略。因此對(duì)電壓測(cè)量不確定度影響的因素主要有：標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值穩(wěn) 定度引起的不確定度ul；標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的不確定度u2；電壓 測(cè)量重復(fù)性引起的不確定度u3。分析這些不確定度特點(diǎn)可知，不確定度u1、 u2應(yīng)采用B類評(píng)定方法，而不確定度u3應(yīng)采用A類評(píng)定方法。下面分別計(jì) 算各主要因素引起的不確定度分量：,(1)標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ul 在電壓測(cè)量前對(duì)標(biāo)準(zhǔn) 電壓表進(jìn)行24h的校準(zhǔn)，并知在10V點(diǎn)測(cè)量時(shí)，其 24h的示值穩(wěn)定度不超過 15V，取均勻分布，按表2.10得標(biāo)準(zhǔn)電壓表示值穩(wěn)定度引起的不確定度 分量為,因給出的示值穩(wěn)定度的數(shù)據(jù)很可靠，故取,，其自由度,。,(2)標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2標(biāo)準(zhǔn)電壓表的檢定證 書給出，其示值誤差按 3倍標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算為 35 106 U（標(biāo)準(zhǔn)電壓 表示值），故 10V的測(cè)量值，由標(biāo)準(zhǔn)表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分 量為,因k=3，可認(rèn)為其置信概率較高，u2的評(píng)定非?？煽?，故取自由度,(3)電壓測(cè)量重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u3由10次測(cè)量的數(shù)據(jù)，用 貝塞爾法計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差s(UD)=9V，平均值的標(biāo)準(zhǔn)差,V則電壓重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為,其自由度,3)不確定度合成,因不確定度分量u1、u2、