1、平行四邊形、三角形和梯形面積公式的教學(xué)研究校本教研活動(2)在本周的活動計劃中，筆者主要闡述了兩個方面：一是講授平行四邊形、三角形和梯形面積公式的總體思路；二是如何教平行四邊形面積公式。本課程主要講授三角形和梯形面積公式。一.活動目標1.體驗閱讀、思考和回答，并與同伴交流三角形和梯形面積計算公式教學(xué)的相關(guān)信息和問題。2.有什么不同的方法可以用來推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式？3.理解三角形和梯形面積計算公式教學(xué)的不同思路。二、活動內(nèi)容、形式和時間1.數(shù)學(xué)組的每位老師獨立回答三角形和梯形面積計算公式教學(xué)的相關(guān)問題，不集中。每個老師花大約兩個小時的時間用書面形式回答問題。2.與同事獨立交流問題的答案，

2、時間約1小時；3.教研組確定一個人將有一個(或兩個)三角形(或梯形)面積公式的教研班，數(shù)學(xué)組的其他老師將參加該班。時間大約是40分鐘；4.評估和溝通。(1)結(jié)合課堂講稿，獨立寫大約15分鐘的課堂評價提綱；(2)數(shù)學(xué)組的所有老師都進行了一次課堂評價交流，大約持續(xù)45分鐘。(如果一個年級有兩個或兩個以上的數(shù)學(xué)教師，可以在獨立編寫教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上與年級組的數(shù)學(xué)教師交流，并確定一人代表年級組在全體數(shù)學(xué)教師交流會議上發(fā)言。最后，所有的數(shù)學(xué)老師都進行評估和交流。(根據(jù)學(xué)校教研活動的時間和教研組教師的情況，可以回答和交流以下“活動前準備”中的一些問題。三.活動前的準備回答以下問題，準備交流。(注：以下*表示

3、問題很難解決。(a)法院1.根據(jù)你們學(xué)校使用的這套教材，在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形面積計算公式之前，哪些經(jīng)驗、知識和能力與三角形面積計算公式的推導(dǎo)密切相關(guān)？2.在三角形面積公式課之前，老師要準備一些白紙做的三角形學(xué)習(xí)工具，讓學(xué)生在課堂上操作。你認為：(1)我們應(yīng)該給學(xué)生準備三種不同類型的三角形，即分別準備幾個銳角、直角和鈍角，還是只準備一種銳角？為什么？(2)是應(yīng)該給學(xué)生準備一些空白紙三角形，還是應(yīng)該在紙三角形上標出一組底部和高度長度？為什么？(3)如果你想標記一組底部和高度的長度，哪些數(shù)據(jù)是合適的？就數(shù)據(jù)的奇偶性而言，選擇偶數(shù)還是奇數(shù)作為底部和頂部的長度合適嗎？它是奇數(shù)還是偶數(shù)并不重要。為什么？(4)

4、我們是否應(yīng)該準備一些有網(wǎng)格背景的三角形(即在網(wǎng)格紙上畫三角形)？原因是什么？會不會有一些學(xué)生找不到空白三角形的面積，但在網(wǎng)格背景下，他們可以找到三角形的面積？如果有這樣的學(xué)生，根據(jù)你的經(jīng)驗，這些學(xué)生占全班的百分比是多少？3.*查看不同版本的教材，教學(xué)三角形區(qū)域，哪些版本的教材給出網(wǎng)格背景？哪些版本的教科書給出了帶有一組底部和高度數(shù)據(jù)的三角形？這些數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)？想一想，寫一寫。通過比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？你認為什么操作材料適合學(xué)生在三角形區(qū)域課前準備？為什么？4.如果你在正方形紙上畫一個三角形，并標出三角形底部的長度和底部的高度，讓學(xué)生找出三角形的面積。(1)學(xué)生可以有什么方法？(2)閱讀下面

5、的每個變換過程，和第一種變換方法一樣，請根據(jù)圖表寫出相應(yīng)的三角形面積計算公式。問題：如下圖所示，三角形的面積是多少？第一種轉(zhuǎn)換方法的圖形表示：計算三角形的面積：三角形面積=矩形面積=6(42)=底部(高度2)=基礎(chǔ)高度2第二種轉(zhuǎn)換方法的圖形表示：第三種轉(zhuǎn)換方法的說明：第四種轉(zhuǎn)換方法示意圖：這種變換方法是把這個三角形的面積變換成兩個矩形的面積。也就是說，沿著三角形水平對折中線，然后向左或向右折疊左右三角形。這樣就得到一個矩形，三角形的面積是矩形的兩倍。第五種變換方法的圖形表示：在三角形的底邊畫出高度，并與整個矩形相連，就可以知道三角形(1)的面積等于三角形(2)的面積，三角形(3)的面積等于三角

6、形(4)的面積。5.在上面的問題中有五種不同的方法來計算三角形的面積公式。如果在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解推導(dǎo)過程，雖然這些方法不同，但教師在引導(dǎo)學(xué)生理解時有什么相似之處呢？想想看，以下指導(dǎo)過程對教授這些方法來說是常見的嗎？(1)為學(xué)生準備一些所需的區(qū)域圖形，并將變換前后的兩幅圖形呈現(xiàn)給學(xué)生觀察，不要因為剪切和拼寫而呈現(xiàn)原始圖形；學(xué)生可以在展示之前想象原始圖形。(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較兩個圖形變換前后的面積是否有變化；(3)為了指導(dǎo)學(xué)生觀察和分析，需要知道變換后的圖形區(qū)域需要哪些線段，這些線段的長度是否已知；(4)如何從變換圖的面積計算公式中得到三角形的面積計算公式；(5)雖然變換過程不同，計算公式

7、也不同，包括三角形面積等于底部(高度2)和三角形面積等于底部(高度2)，但它們都可以統(tǒng)一為三角形面積等于底部高度2的公式。6.眾所周知，三角形的面積計算公式可以用兩個相同的三角形組成一個平行四邊形來推導(dǎo)。這種解決問題的方法在學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式時沒有被學(xué)生所觸及。這是第一次用這種方法來計算平面圖形的面積。該方法為尋找梯形面積公式奠定了方法論基礎(chǔ)。(1)你認為我們?nèi)绾我龑?dǎo)更多的學(xué)生思考用兩個相同的三角形組成平行四邊形的推導(dǎo)方法？(2)有些人認為，在學(xué)習(xí)矩形和平行四邊形的概念時，要求學(xué)生弄清楚一個矩形可以被切成兩個相同的直角三角形，一個平行四邊形可以被切成兩個相同的銳角三角形或兩個相同的鈍角三角

8、形。相反，兩個相同的三角形可以組合成一個平行四邊形(包括一個矩形)。在概念教學(xué)中，讓學(xué)生進行這樣的運算活動，會使更多的學(xué)生在計算三角形面積時想到用兩個三角形組成一個平行四邊形的求導(dǎo)方法。你同意這個觀點嗎？為什么？人們還認為，在學(xué)習(xí)三角形面積計算公式的課程開始時，讓學(xué)生進行上述運算，如切割和拼寫，也可以讓更多的學(xué)生想到這種推導(dǎo)方法。如果我們稱前者為遠寢具，后者為近寢具，你喜歡遠寢具還是近寢具？為什么？(3)推導(dǎo)三角形面積計算公式有兩種教學(xué)思路：第一種思路是將平行四邊形分成兩個相同的三角形，根據(jù)平行四邊形面積等于底部乘以高度，三角形面積等于底部乘以高度除以2；第二種思想是用兩個相同的三角形組成一個

9、平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式得到三角形的面積計算公式；你認為這兩個推導(dǎo)過程是一樣的嗎？如果存在差異，主要的差異是什么？7.推導(dǎo)三角形面積計算公式的方法有很多。如果按照“獨立思考-小組交流-課堂報告”的順序進行教學(xué)，你認為學(xué)生報告時有必要特別注意一種或幾種推導(dǎo)方法(如兩個相同的三角形拼接成平行四邊形的方法)嗎？還是每種方法只要求學(xué)生理解，而不要求學(xué)生自己推導(dǎo)？為什么？8.在推導(dǎo)三角形面積計算公式時，能否先解決直角三角形面積的計算問題，然后通過將銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來計算面積，再總結(jié)出三角形面積的計算公式？想想看，如果三角形區(qū)域是根據(jù)這個想法設(shè)計的，那么教學(xué)過程是什么

10、？下面的教學(xué)過程能體現(xiàn)上述設(shè)計思想嗎？(1)開門見山，揭示今天研究的主題：三角形區(qū)域。矩形和平行四邊形都有自己的面積計算公式，即只要知道矩形和平行四邊形中幾條線段的長度，就可以計算它們的面積。有計算三角形面積的公式嗎？今天我們將在這個班一起學(xué)習(xí)。(2)什么樣的三角形可以分成？想想看，什么樣的三角形區(qū)域可能容易找到？用下圖引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直角三角形的面積。(3)在下面的網(wǎng)格中，如果一個小正方形的邊長是1厘米，下圖中兩個直角三角形的面積是多少？如果你想知道矩形和平行四邊形等圖形中幾條線段的長度，并計算面積，那么當(dāng)你計算直角三角形的面積時，你應(yīng)該知道(測量)哪些線段的長度？公式是什么？在求第(1)個直角

11、三角形的面積時，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來求它的面積：計算正方形，這個直角三角形的面積是8平方厘米；通過切割和拼寫得到一個24的矩形，其面積為24=8平方厘米；取這個直角三角形的三個頂點作為一個矩形的三個頂點，然后確定這個矩形的第四個頂點，得到一個44的矩形(正方形)。這個直角三角形的面積是這個矩形的一半，也就是說，442=8平方厘米。然后得出結(jié)論，直角三角形的面積等于底部高度2。然后讓學(xué)生用公式求出(第二個)直角三角形的面積，并用其他方法驗證用公式求面積的正確性。最后，要求學(xué)生找到第三個直角三角形的面積。直角三角形的面積=底部高度2，那么計算其他類型三角形面積的公式是什么？進一步推測：銳角(或鈍

12、角)三角形面積=底部高度2。(4)展示下圖，讓學(xué)生自己研究銳角三角形的面積；學(xué)生求這兩個三角形的面積有不同的方法，其中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過做高把一個銳角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，并通過求直角三角形的面積來求銳角三角形的面積。最后得出結(jié)論，銳角三角形的面積=底部高度2。(5)展示下圖，讓學(xué)生學(xué)習(xí)鈍角三角形的面積。就像求一個銳角三角形的面積一樣，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成直角三角形來求一個鈍角三角形的面積。當(dāng)計算兩個鈍角三角形(2)和(3)的面積時，根據(jù)已知的不同底部和高度有許多方法來計算面積。如果與鈍角相對的邊的長度(作為底部)是已知的，并且其相應(yīng)的高度是高的，那么計算圖(2)或(3)的面積的方法與圖(1)

13、的方法相同。如果你知道面對銳角的邊的長度(作為底部)和它相應(yīng)的高度，你可以從一個大的直角三角形面積中減去一個小的直角三角形面積，得到一個鈍角三角形的面積。最后，得出鈍角三角形的面積=底高2。因此，得到了計算三角形面積的一般公式。(二)乙9.根據(jù)你們學(xué)校使用的這套教材，在學(xué)生學(xué)習(xí)梯形面積計算公式之前，哪些經(jīng)驗、知識和能力與梯形面積計算公式的推導(dǎo)密切相關(guān)？用裁剪和拼寫變換的思想方法，從矩形、平行四邊形和三角形面積公式推導(dǎo)梯形面積公式，有沒有不同的方法？10.在梯形面積的課堂上，你會創(chuàng)設(shè)什么樣的情境，讓學(xué)生感到需要解決梯形面積的計算問題？以下是幾套當(dāng)前的教材，設(shè)計的問題情境，你喜歡哪種情境，為什么？

14、教材問題的設(shè)計人教版窗玻璃是梯形的。面積是多少？青島版魚塘的形狀是梯形的。它的面積是多少？北京師范大學(xué)版水壩的橫截面形狀是梯形的。它的面積是多少？浙江教育版大壩的橫截面是什么？它的面積是多少？蘇教辦剪下梯形，看看哪些可以拼成平行四邊形。拼寫出來。平行四邊形和每個梯形的面積是多少？西南師范大學(xué)版直接給出一個梯形。你會用這個學(xué)習(xí)工具來探索梯形面積的計算嗎？11.想一想，有什么不同的變換方法可以用來推導(dǎo)梯形的面積計算公式？12.如果已知梯形的上底部為4厘米，下底部為6厘米，高度為2厘米，那么以下不同圖表中所表達的所有思想能否用于推導(dǎo)梯形面積的計算公式？請根據(jù)這些圖表寫出相應(yīng)的推導(dǎo)公式。例如，根據(jù)圖(

15、3)，計算梯形面積的公式如下：梯形面積=兩個三角形面積的總和=422 622=上底部高度2下底部高度2=(上底部和下底部)高度2對于另一個例子，根據(jù)圖(9)，梯形面積的計算公式推導(dǎo)如下：梯形面積=平行四邊形面積減去三角形面積=(62)-(6-4)22=(底部高度)-(底部-頂部)高度2=下底部高度-下底部高度2上底部高度2=下底部高度2上底部高度2=(上底部和下底部)高度213.在課堂教學(xué)系統(tǒng)中，有些學(xué)生經(jīng)常知道計算梯形面積的公式，而有些學(xué)生不知道。對于知道公式的學(xué)生來說，有必要驗證公式的正確性，并解釋為什么計算梯形面積的公式可以是這樣的。對于不知道公式的學(xué)生，他們需要探索并找出公式可能是什么樣子。這兩種想法是不同的，前者是尋找公式成立的原因，而后者是尋找公式。你認為如果老師在課堂上考慮這兩個想法，學(xué)生的每個部分都能在原有的基礎(chǔ)上發(fā)展嗎？14.有人認為梯形的面積計算公式可以用來“支配”矩形、平行四邊形和三角形的面積計算公式。也就是說，矩形、平行四邊形和三角形的面積計算公式可以視為梯形面積計算公式的特例。你同意這個觀點嗎？為什么？讀完以下內(nèi)容，你認為這個觀點合理嗎？梯形面積=(上底部和下底部)高度2，當(dāng)(1)當(dāng)上底部等于下底部時，從圖形角度看，梯形變成平行四邊形或矩形；從面積公式的角度來看，梯形面積此時=2底高=2底高或