1、,5.2 一階微分方程（80）,3,5.2.1 變量可分離的微分方程,形如 的微分方程成為變量可 分離的微分方程.,解法,分離變量法,5.2 一階微分方程（80）,4,例1 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,5.2 一階微分方程（80）,5,通解為,解,5.2 一階微分方程（80）,6,例 3,求解微分方程：,解,兩端作不定積分，得,所求解為：,5.2 一階微分方程（80）,7,解,由題設(shè)條件,衰變規(guī)律,衰變速度,（衰變系數(shù)）,5.2 一階微分方程（80）,8,解,設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后 分后 的含量為,在 內(nèi),的通入量,的排出量,車間內(nèi) 的改變量為,5.2 一階微分方程（80）,9,答：6分鐘后

2、, 車間內(nèi) 的百分比降低到,5.2 一階微分方程（80）,10,分離變量法步驟:,1.分離變量;,2.兩端積分-隱式通解.,5.2.5 小結(jié)與思考題1,5.2 一階微分方程（80）,11,思考題,求解微分方程,5.2 一階微分方程（80）,12,思考題解答,為所求解.,5.2 一階微分方程（80）,13,課堂練習(xí)題,5.2 一階微分方程（80）,14,課堂練習(xí)題答案,5.2 一階微分方程（80）,15,5.2.2 齊次微分方程,形如 的方程稱為齊次微分方程.,解法,作變量代換,代入原式，得,變量可分離方程,5.2 一階微分方程（80）,16,方程的奇解,5.2 一階微分方程（80）,17,例

3、6 求解微分方程：,微分方程的解為,解,5.2 一階微分方程（80）,18,例 7 求解微分方程,解,5.2 一階微分方程（80）,19,微分方程的解為,5.2 一階微分方程（80）,20,例 8 拋物線的光學(xué)性質(zhì),實(shí)例: 車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面,解,(如圖),5.2 一階微分方程（80）,21,所以由夾角正,切公式得：,5.2 一階微分方程（80）,22,從而得微分方程：,5.2 一階微分方程（80）,23,分離變量,積分得,5.2 一階微分方程（80）,24,平方化簡(jiǎn)得,拋物線,5.2 一階微分方程（80）,25,稱為可化為齊次方程的微分方程.,（其中h和k是待定的常數(shù)）,解法,1、可

4、化為齊次的微分方程,形如 的微分方程,5.2 一階微分方程（80）,26,有唯一一組解.,得通解代回,上述方法不能用.,5.2 一階微分方程（80）,27,可分離變量的微分方程.,可分離變量的微分方程.,可分離變量.,否則,5.2 一階微分方程（80）,28,解,代入原方程得,5.2 一階微分方程（80）,29,分離變量法得,得原方程的通解,方程變?yōu)?5.2 一階微分方程（80）,30,2、利用變量代換求解微分方程,解,代入原方程,原方程的通解為,5.2 一階微分方程（80）,31,5.2.5 小結(jié)與思考題2,齊次方程,齊次方程的解法,可化為齊次方程的方程,5.2 一階微分方程（80）,32,

5、思考題,方程,是否為齊次方程?,5.2 一階微分方程（80）,33,思考題解答,方程兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo):,原方程是齊次方程.,5.2 一階微分方程（80）,34,課堂練習(xí)題,5.2 一階微分方程（80）,35,課堂練習(xí)題答案,5.2 一階微分方程（80）,36,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上方程稱為齊次的，,上方程稱為非齊次的.,5.2.3 一階線性微分方程,例如,線性的;,非線性的.,5.2 一階微分方程（80）,37,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,一階線性微分方程的解法:,分離變量并積分：,5.2 一階微分方程（80）,38,2. 線性非齊次方程,討論：,兩邊積分,令,5.2 一階

6、微分方程（80）,39,即，常數(shù)變易法：,把齊次方程通解中的常數(shù)易為函數(shù)的方法.,實(shí)質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:,5.2 一階微分方程（80）,40,積分得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,5.2 一階微分方程（80）,41,解,例11,5.2 一階微分方程（80）,42,例12 如圖所示，平行于 軸的動(dòng)直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,兩邊求導(dǎo)得,解,解此微分方程,5.2 一階微分方程（80）,43,所求曲線為,5.2 一階微分方程（80）,44,伯努利(Bernoul

7、li)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為線性微分方程,方程為非線性微分方程.,解法: 需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.,1、可化為一階線性的微分方程：伯努利方程,5.2 一階微分方程（80）,45,求出通解后，將 代入即得,代入上式,令,5.2 一階微分方程（80）,46,解,例 13,5.2 一階微分方程（80）,47,2、 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求解微分方程,解1,所求通解為,5.2 一階微分方程（80）,48,解2,所求通解為,5.2 一階微分方程（80）,49,解1,代入原式,分離變量法求解得,所求通解為,解2,5.2 一階微分方程（80）,50,解,分離變量法求解得：,所求通解為,5.2 一階微分方程

8、（80）,51,5.2.5 小結(jié)與思考題3,1.一階線性非齊次方程,2.伯努利方程,5.2 一階微分方程（80）,52,思考題,求微分方程 的通解.,5.2 一階微分方程（80）,53,思考題解答,5.2 一階微分方程（80）,54,課堂練習(xí)題,5.2 一階微分方程（80）,55,5.2 一階微分方程（80）,56,課堂練習(xí)題答案,5.2 一階微分方程（80）,57,5.2.4 一階微分方程,前面主要討論了顯式形式,一階微分方程的一般形式,的求解問(wèn)題，這里介紹兩類特殊情形：,5.2 一階微分方程（80）,58,引入?yún)⒘?p , 即令,1、情形：,方程化為,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得,對(duì)此方程求解即可

9、.,5.2 一階微分方程（80）,59,解,從微分方程中解出 y , 得,令 ，則,例17,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得變量可分離方程,5.2 一階微分方程（80）,60,分離變量并積分, 得,于是,原方程的通解可由下面參數(shù)方程表示：,5.2 一階微分方程（80）,61,解,從微分方程中解出 y , 得,令 ，則,例18,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得變量可分離方程,5.2 一階微分方程（80）,62,分離變量并積分, 得,于是,原方程的通解可由下面參數(shù)方程表示：,5.2 一階微分方程（80）,63,引入?yún)⒘?p , 即令,2、情形：,方程化為,兩邊對(duì) y 求導(dǎo)，得,對(duì)此方程求解即可.,5.2 一階微分方程

10、（80）,64,解,微分方程的參數(shù)表達(dá)形式為,例19,微分上式第一函數(shù), 得,將此結(jié)果代入第二個(gè)函數(shù), 得,5.2 一階微分方程（80）,65,于是, 上式兩邊積分，得,因此, 方程的通解可表為：,5.2 一階微分方程（80）,66,解,令 ，則,例20,兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 得,積分得,通解為：,5.2 一階微分方程（80）,67,3、全微分方程或恰當(dāng)方程,則微分方程,若有全微分形式,稱為全微分方程或恰當(dāng)方程. 其通解為,全微分方程 或恰當(dāng)方程,5.2 一階微分方程（80）,68,例如,所以，此方程是全微分方程.,5.2 一階微分方程（80）,69,解法:,應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)：,通解：, 用直接湊全微分的方法.,全微分方程,5.2 一階微分方程（80）,70,解,是全微分方程,原方程的通解為,例21,5.2 一階微分方程（80）,71,解,是全微分方程,將左端重新組合,原方程的通解為,例22,5.2 一階微分方程（80）,72,解,將方程左端重新組合,有,例23 求微分方程,原方程的通解為,5.2 一階微分方程（80）,73,解1,整理得,A 常數(shù)變易法:,B 公式法:,例24,5.2 一階微分方程（80）,74,解2,整理得,A 曲線積分法:,B 湊微分法:,5.2 一階微分方程（80）,75