1、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理(一),岳,問題1 從岳陽(yáng)到長(zhǎng)沙，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從岳陽(yáng)到長(zhǎng)沙共有多少種不同的走法？,長(zhǎng),3+2=5（種）,情景探究,分類計(jì)數(shù)原理,分類計(jì)數(shù)原理又稱“加法原理”,問題2 從岳陽(yáng)到益陽(yáng)，要從岳陽(yáng)先乘火車到長(zhǎng)沙，再于次日從長(zhǎng)沙乘汽車到益陽(yáng)。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從岳陽(yáng)到益陽(yáng)共有多少種不同的走法？,火車1汽車1 火車1汽車2 火車2汽車1 火車2汽車2 火車3汽車1 火車3汽車2,分步計(jì)數(shù)原理,完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法做第步有種不同的

2、方法那么完成這件事共有 N種不同的方法,分步計(jì)數(shù)原理又叫作“乘法原理”,理解分步計(jì)數(shù)原理,各個(gè)步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，所以這個(gè)原理又叫做乘法原理 ；,（2）完成這件事的任何一種方法必須連續(xù)完成每一個(gè)步驟,分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別,聯(lián)系：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題。,區(qū)別：分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)， 各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成。,例1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2

3、本不同的體育書。 （1）從書架上任取一本書，有多少種取法？ （2）從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?,注意區(qū)別“分類”與“分步”,典例分析,解 : (1)從第1層任取一本,有4種取法,從第2層任取一本,有3種取法,從第3層任取一本,有2種取法,共有 4+3+2=9 種取法。 答：從書架上任意取一本書，有9種不同的取法。,(2) 從書架的1 、 2 、 3層各取一本書,需要分三步完成, 第1步,從第1層取1本書,有4種取法,第2步,從第2層取1本書,有3種取法,第3步, 從第3層取1本書,有2種取法.由分步計(jì)數(shù)原理知,共有 432=24 種取法。 答：從書架上的第1、2、3層

4、各取一本書，有24種不同的取法。,分類時(shí)要做到不重不漏,分步時(shí)做到不缺步,例2 一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共10個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼?,本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如0000，1111，1212等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù) m=10，有n=4個(gè)步驟,結(jié)果是總個(gè)數(shù),N=10101010=104,解：由于號(hào)碼鎖的每個(gè)撥號(hào)盤有0到9這10個(gè)數(shù)字，每個(gè) 撥號(hào)盤的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥 號(hào)盤上各取1數(shù)字組成的個(gè)數(shù)是,答：可以組成10000個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼。,N=104 。,典例分析,3. 四名研究生各從A、B、 C

5、三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有_種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有_種選法。,2. 在120共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?,答.：(109+109)/2=90（種）.,43,1. 逸夫教學(xué)樓共有3處樓梯口,問從1樓到5樓共有多少種不同的走法?,答： 3333=34=81（種）,34,變式訓(xùn)練,例3 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？,解：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個(gè)步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚

6、班的工人有2種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是,答：有6種不同的選法。,典例分析,日班 晚班,相應(yīng)的排法,不同排法如下圖所示,甲 乙,甲 丙,乙 甲,乙 丙,丙 甲,丙 乙,日班 晚班,例4 用數(shù)字 1，2，3，4，5 可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？,解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法；,第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有5種選法；,第三步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法。,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是： N = 5 5 5 = 53 = 125,答：可以組成1

7、25個(gè)三位數(shù)。,1 一件工作可以用兩種方法完成。有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成。選出一個(gè)人來完成這件工作，共有多少種選法？ 2乘積( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展開后共有項(xiàng)？,4 + 5 = 9,3、把四封不同的信任意投入三個(gè)信箱中,不同投法種數(shù)是( ) A. 12 B.64 C.81 D.7,4、火車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有 （ ）種 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不對(duì),C,A,練習(xí)鞏固,總結(jié)： 分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有m2種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。 分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ，做第n步有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1