1、第8章 均值方差分析,8.1 偏好與分布 一般來(lái)說(shuō)，僅僅用證券組合的預(yù)期回報(bào)率和預(yù) 期回報(bào)率的方差并不能包含經(jīng)濟(jì)行為主體投資行為 所需的全部信息。 但是馬可維茨通過(guò)效用函數(shù)和投資收益的分布 作了相應(yīng)假設(shè)之后證明，經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效用 能夠僅僅表示為證券組合的預(yù)期回報(bào)率和預(yù)期回報(bào) 率的方差的函數(shù)。 對(duì)于任意的分布和效用函數(shù)，期望效用并不能 僅僅由預(yù)期收益（率）和方差這兩個(gè)元素來(lái)描述。 所以均值方差分析的運(yùn)用是存在限制條件的。,（一）用泰勒展開(kāi)式對(duì)均值方差運(yùn)用的局限性 進(jìn)行說(shuō)明 隨機(jī)變量是經(jīng)濟(jì)行為主體在時(shí)期1的全部 收入或財(cái)富，其效用函數(shù)在的預(yù)期值周 圍展開(kāi)可得 其中 則表示經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效

2、用并 不能僅僅由對(duì)時(shí)期1財(cái)富的期望均值和方差這兩個(gè) 元素完全刻畫(huà)，而是應(yīng)該包括泰勒展開(kāi)式的高階矩,部分。 （二）均值方差分析方法的使用條件和范圍 考察未來(lái)收益分布為任意分布的情況 a）此時(shí)為了使經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好能夠?yàn)榫?和方差完全刻畫(huà)，我們必須假定經(jīng)濟(jì)行為主體的效 用函數(shù)是一個(gè)二次型效用函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)行為主體的 效用函數(shù)或以表達(dá)為。 此時(shí) b）于是經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效用可以由時(shí)期1 的財(cái)富變量的兩個(gè)中心矩來(lái)定義,二次型效用函數(shù)對(duì)于經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好關(guān)系 的刻畫(huà)存在著以下兩個(gè)主要的缺點(diǎn)： a）第一，二次型效用函數(shù)顯示經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì) 于收益或財(cái)富具有饜足性，即個(gè)體收益的總效用存 在著極大值，超過(guò)

3、這點(diǎn)之后，收益增加的邊際效用 為負(fù)。 b）第二，遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與現(xiàn)實(shí)中經(jīng)濟(jì)行 為主體行為存在矛盾。 （三）討論經(jīng)濟(jì)行為主體的效用偏好為任意偏好 的情況 在任意偏好的情況下，如果三階及三階以上高 階矩可以表示為均值和方差的函數(shù)，則我們就可以,使用均值方差分析來(lái)考察經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函 數(shù)。 在正態(tài)分布的條件下，前面泰勒展開(kāi)式的三階 及三階以上高階矩可以表示為一階矩和二階矩（均 值和方差）的函數(shù)。因此，就可以完全地由 均值和方差表示。 這樣，如果經(jīng)濟(jì)行為主體的任意偏好是在正態(tài) 分布的時(shí)期1的財(cái)富上定義的，并且所有證券未來(lái) 收益滿足多元正態(tài)分布，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù) 就都可以由時(shí)期1的收益的期

4、望和方差來(lái)刻畫(huà)。 這種情況下，均值和方差對(duì)個(gè)體行為描述有相 當(dāng)大的局限性，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：,a）第一，資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布的假定與現(xiàn) 實(shí)中資產(chǎn)未來(lái)收益往往偏向正值相矛盾。 b）第二，對(duì)于密度函數(shù)的分布來(lái)說(shuō)，均值方 差分析并沒(méi)有考慮其偏斜度。 c）最后，僅僅用均值和方差也不能刻畫(huà)函數(shù)分 布中的峭度。 8.2 證券組合前沿 假定： 在一個(gè)無(wú)摩擦的經(jīng)濟(jì)中有支風(fēng)險(xiǎn)證券， 這些證券可以自由地賣(mài)空，并且，所有證券的未來(lái) 收益率都具有有限的方差和彼此差異的預(yù)期均值。,任何一支證券的隨機(jī)收益率都不能由其他證券收 益率的線性組合來(lái)表示，即這些證券的隨機(jī)收益率 是彼此線性獨(dú)立的。 在這種假設(shè)的經(jīng)濟(jì)中，向

5、量表示J 種風(fēng)險(xiǎn)證券的隨機(jī)收益率。矩陣V表示J 種風(fēng)險(xiǎn)證 券收益率的方差和協(xié)方差矩陣。 V是非奇異的、對(duì)稱(chēng)的。 矩陣V是正定的。 （一）前沿證券組合 前沿證券組合：如果在所有具有相同預(yù)期收益 率的證券組合中，有一支證券組合具有最小的方差 值，則這支證券組合就定義為前沿證券組合。,證券組合p是一支前沿證券組合的充分必要條 件是它的證券組合權(quán)重hp 是下面二次規(guī)劃問(wèn)題的 解 約束條件為。 其中：e表示J支風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期均值組成的向 量， 表示證券組合的預(yù)期回報(bào)率，1表示分量為 1的J維向量。 構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，是以下函數(shù)式的 解：,（其中， 和是兩個(gè)正值的常數(shù)。） 求解可得 其中 且B0，C0

6、，并且可以斷定D0。 我們可以得出一個(gè)預(yù)期收益率為的前沿 證券組合的唯一權(quán)重集合：,其中 從以上（8.8）式人們可以看出，是預(yù)期 收益率為0的前沿證券組合的權(quán)重向量；是 預(yù)期收益率為1的前沿證券組合的權(quán)重向量。 （二）證券組合前沿 證券組合前沿：經(jīng)濟(jì)中所有的前沿證券組合的 集合，我們稱(chēng)之為證券組合前沿。 命題：全部證券組合前沿上的證券組合都可以 由兩個(gè)前沿證券組合和的線性組合得出。,更強(qiáng)的命題：整個(gè)證券組合前沿可以由任意兩 支收益率不同的前沿證券組合得出。 任意兩支前沿證券組合和之間的協(xié)方 差為：,（三）均值方差平面中的前沿組合 關(guān)系式（8.11a）也可以等價(jià)地寫(xiě)成,最小方差證券組合的收益率和

7、其他任意證券組 合（不單是前沿證券組合）的收益率的協(xié)方差，總 是同最小方差證券組合收益率的方差相等。 有效證券組合：在整個(gè)證券組合前沿曲線中， 所有那些預(yù)期收益率嚴(yán)格大于最小方差證券組合收 益率的證券組合稱(chēng)之為有效證券組合； 無(wú)效證券組合：那些既不是有效證券組合，又 不是最小方差組合的證券組合稱(chēng)之為無(wú)效證券組合。 前沿證券的線性組合也落在證券前沿上。 任意一支有效證券組合的凸組合仍然是一支有 效證券組合。因此有效證券組合的集合是一個(gè)凸組 合。,8.3 證券組合前沿的數(shù)學(xué)構(gòu)造 證券組合前沿的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)就是：除了 最小方差證券組合之外，對(duì)于證券組合前沿上的任 意一支證券組合，都必然存在著唯一

8、的一支前 沿證券組合（即零協(xié)方差證券組合），它 的收益率同證券組合的協(xié)方差為0。 最小方差證券組合與其它任意前沿證券組合之 間的協(xié)方差等于，這也是嚴(yán)格正定的。從而 得到，最小方差證券組合與任意的前沿證券組合的 協(xié)方差都不為0。 假定是有效證券組合，就是一只無(wú),效證券組合。將同的位置互換，則相 反的結(jié)果成立。 從幾何學(xué)的角度看，的位置的確定： 在標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)期收益率的坐標(biāo)系平上 是過(guò)證券前沿組合的切線在預(yù)期收益 率坐標(biāo)軸上的截距。 任意證券組合（不要求是前沿組合）的預(yù) 期收益率同一支前沿證券組合的預(yù)期收益率之間的 關(guān)系特征： 其中：是之外的任意一支前沿證券組合，,（8.20）式也可以寫(xiě)成 關(guān)系式（8

9、.20）、（8.21）、（8.23）是等價(jià)的 關(guān)系式。 我們總可以將證券組合的收益率寫(xiě)成 其中,（二）在引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券情況下進(jìn)行討論 現(xiàn)假定是一支由所有J1種證券組合而成的 前沿證券組合，表示這支前沿證券組合中的風(fēng) 險(xiǎn)證券權(quán)重的J 維向量。這樣， 是以下規(guī)劃問(wèn) 題的一個(gè)解 其中仍然表示風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期收益率的J 維 向量，表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率。 構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，可求得,也即是，在坐標(biāo)平面上，包括無(wú) 風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿是以 為頂點(diǎn)，斜率分別為和的兩條射線。 情形1： 這是圖84表示的圖形。（見(jiàn)page21） a）在圖中點(diǎn)是射線與風(fēng) 險(xiǎn)證券的組合前沿相切的切點(diǎn)。,b）線段上

10、任意一支證券組合都是風(fēng)險(xiǎn)證 券組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的凸組合。 c）在線段之外的射線上證 券組合都涉及賣(mài)空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券并運(yùn)用收益買(mǎi)入風(fēng)險(xiǎn) 證券組合的投資行為。 d）在射線上的證券組合涉及賣(mài) 空風(fēng)險(xiǎn)證券組合，同時(shí)以其收益買(mǎi)入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證 券的投資行為。 e）如果經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，證券投資 組合的有效集位于射線。,情形2： 這是圖85表示的圖形。 （圖見(jiàn)下頁(yè)） a）射線上證券組合是通過(guò)賣(mài)空風(fēng) 險(xiǎn)證券并運(yùn)用收益買(mǎi)入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合而得。 b）在射線上的證券組合涉及正 值地購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)證券組合。 c）如果經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，證券投資 組合的有效集位于射線。,情形3： 這是圖86表示的圖形。 （圖見(jiàn)下頁(yè)） a）包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合 前沿的預(yù)期收益率