1、推理是人們思維活動(dòng)的過(guò)程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。 從結(jié)構(gòu)上說(shuō),推理一般由前提和結(jié)論兩個(gè)部分組成; 前提是推理所依據(jù)的命題,是已知的事實(shí)(或假設(shè)),結(jié)論是根據(jù)前提推得的命題(即由已知推出的判斷).,1.什么叫推理?推理由哪幾部分組成?,推理,合情推理,演繹推理,合情推理,歸納推理,類(lèi)比推理,合情推理：,前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理。,哥德巴赫猜想,世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一,1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的數(shù)）之和。如633，1257等等。猜想,(a) 任何一個(gè)6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)

2、之和。 (b) 任何一個(gè)9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。,有人對(duì)33108以?xún)?nèi)且大過(guò)6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。,目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明的，稱(chēng)為陳氏定理(Chens Theorem).“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積”,通常都簡(jiǎn)稱(chēng)這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “1+2”的形式。,1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。 1924年，德國(guó)的拉特馬赫證明了“7 + 7”。 1932年，英國(guó)的埃斯特曼證明了“6 + 6”。 ,200年過(guò)去了，沒(méi)有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。

3、到了20世紀(jì)20年代，才有人開(kāi)始向它靠近。,1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出： “將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪的和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪的和，這是不可能的.”,費(fèi)馬猜想,數(shù)論中最著名的世界難題之一,300多年來(lái)，這個(gè)問(wèn)題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國(guó)也于1908年懸賞十萬(wàn)馬克征解。,經(jīng)過(guò)三百多年來(lái)歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.,1852年，弗南西斯格思里搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不

4、同的顏色?！?世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一,四色猜想,1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。,不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。,這種由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）.,歸納推理,部分整體,特殊 一般,不完全歸納推理得到的結(jié)論是否正確還有待嚴(yán)格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.,歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.,例1.已知數(shù)列an的第

5、1項(xiàng)a1=1，且 （n=1 , 2 , ),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,分別把n=1,2,3,4代入 得:,歸納:,可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想是正確的.,取倒數(shù)得：,解法2、構(gòu)造法,例2.如圖,在圓內(nèi)畫(huà)一條線(xiàn)段,將圓分成兩部分;畫(huà)兩條線(xiàn)段,彼此最多分割成4條線(xiàn)段,同時(shí)將圓分割成4部分;畫(huà)三條線(xiàn)段,彼此最多分割成9條線(xiàn)段,同時(shí)將圓分割成7部分.那么 (1)在圓內(nèi)畫(huà)四條線(xiàn)段,彼此最多分割成 條線(xiàn)段?同時(shí)將圓分割成 部分?,(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線(xiàn)段,彼此最多分割成 條線(xiàn)段?同時(shí)將圓分割成 部分?,累加得:,例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全

6、部移到另一根針上. 1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片; 2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面. 試推測(cè):把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?,n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:,例、數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1， an+1 =2an+1 ，求通項(xiàng)公式an .,an+1 +1=2（an+1）,數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列,構(gòu)造法,(2004春季上海)根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖形中有 個(gè)點(diǎn).,(1),(2),(

7、3),(4),(5),練習(xí),(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(xiàn)(n3),其中有且僅有兩條直線(xiàn)互相平行,任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)= ,當(dāng)n4時(shí),f(n)= .(用n表示),累加得:,小結(jié),2.歸納推理的一般步驟:,(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);,(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想).,1.什么是歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）?,部分整體,個(gè)別 一般,練習(xí),1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn , 且 計(jì)算S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想Sn的表達(dá)式.,猜想:,計(jì)算得:,復(fù)習(xí),2.歸納推理的一般步驟:,(1)通過(guò)觀察個(gè)

8、別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);,(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想).,1.什么是歸納推理?,部分整體,特殊 一般,1.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸,2.仿照魚(yú)類(lèi)的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑?發(fā)明了潛水艇.,3.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類(lèi)似的特征: 1)火星也繞太陽(yáng)運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星; 2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更; 3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.,科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.,4.利用平面向量的基本定理類(lèi)比得到空間向量的基本定理.,由兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似（或一致）性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具

9、有與另外一類(lèi)事物類(lèi)似的性質(zhì)的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理.(簡(jiǎn)稱(chēng):類(lèi)比),類(lèi)比推理的幾個(gè)特點(diǎn),1.類(lèi)比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類(lèi)比出新的結(jié)果.,2.類(lèi)比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性.,3.類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.,類(lèi)比推理,圓的概念和性質(zhì),球的概念和性質(zhì),與圓心距離相等的兩弦相等,與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長(zhǎng),以點(diǎn)(x0,y0)為圓心, r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦,球心與不過(guò)球心的截面(圓面)的圓心的連線(xiàn)垂直于截面

10、,與球心距離相等的兩截面面積相等,與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大,以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心, r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,利用圓的性質(zhì)類(lèi)比得出球的性質(zhì),球的體積,球的表面積,圓的周長(zhǎng),圓的面積,利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比等比數(shù)列性質(zhì),n+m=p+q時(shí), am+an= ap+aq,n+m=p+q時(shí), aman= apaq,任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中項(xiàng) ，為,當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng) ，為,成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,下標(biāo)等差,項(xiàng)等差,下標(biāo)等差,項(xiàng)等比,例1.(2003年新課程)在平面幾何里,有勾股定理: “設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則 .,圖(1),圖(2),平面與空間中的余弦定理,平面：,三角形ABC中，,空間：,四面體A-BCD中，,設(shè)二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次為,例2：(2005年全國(guó))計(jì)