1、1.2角的概念的推廣,1.初步理解用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念;理解“正角”“負(fù)角”“零角”“象限角”“終邊相同的角”的含義. 2.掌握所有與角終邊相同的角(包括角)的表示方法.,1,2,3,1.任意角 (1)定義:平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形稱(chēng)為角,所旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)的端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn),開(kāi)始位置的射線(xiàn)叫作角的始邊,終止位置的射線(xiàn)叫作角的終邊,如圖.,名師點(diǎn)撥給定一個(gè)角,就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng).但是,對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條以原點(diǎn)為端點(diǎn)的射線(xiàn),以它為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè).,1,2,3,(2)規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫作正角;按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角;如果一條射線(xiàn)

2、從起始位置沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置與起始位置重合,我們稱(chēng)這樣的角為零度角,又稱(chēng)零角,記作=0.這樣就形成了任意大小的角即任意角.,名師點(diǎn)撥1.規(guī)定了正角、負(fù)角和零角后,角的大小不再局限于0到360的范圍,而是出現(xiàn)了任意大小的角. 2.角的概念是通過(guò)角的終邊的變化來(lái)推廣的,根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)“方向”,得到正角、負(fù)角和零角,由此我們應(yīng)當(dāng)意識(shí)到角的終邊位置的重要性.作圖表示角時(shí),應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉,箭頭的方向代表角的正負(fù).,1,2,3,(3)角的記法:用1個(gè)希臘字母表示,如,;也可用3個(gè)大寫(xiě)的英文字母表示(字母前面要寫(xiě)符號(hào)“”),其中中間字母表示角的頂點(diǎn),如AOB,DEF,. (4)角的分類(lèi):

3、按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、零角和負(fù)角.,【做一做1】 下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是() A.按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角是正角 B.按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角是負(fù)角 C.沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)所成的角是零角 D.終邊和始邊相同的角是零角 答案:D,1,2,3,2.象限角 將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么就把角放在了平面直角坐標(biāo)系中.角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.角的終邊在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),且不與坐標(biāo)軸重合的角稱(chēng)為象限角,名師點(diǎn)撥象限角的集合:(1)第一象限角的集合:|k360k360+90,kZ;(2)第二象限角的集合:|k360+90k360+180,kZ;(3)第三

4、象限角的集合:|k360+180k360+270,kZ;(4)第四象限角的集合:|k360+270k360+360,kZ.,1,2,3,【做一做2-1】 給出下列四種說(shuō)法,其中正確的有() -75角是第四象限角;225角是第三象限角;475角是第二象限角;-315角是第一象限角. A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 答案:D,1,2,3,【做一做2-2】 請(qǐng)你用負(fù)角表示第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角的集合. 解:第一象限角的集合:|k360-360k360-270,kZ; 第二象限角的集合:|k360-270k360-180,kZ; 第三象限角的集合:|k360-180k360-

5、90,kZ; 第四象限角的集合:|k360-90k360,kZ.,1,2,3,3.終邊相同的角 (1)研究終邊相同的角的前提是角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合. (2)一般地,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S=|=+k360,kZ,即任何一個(gè)與角終邊相同的角,都可以表示成角與周角的整數(shù)倍的和.,1,2,3,名師點(diǎn)撥理解集合S=|=+k360,kZ要注意以下幾點(diǎn): (1)式中的角為任意角; (2)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè),它們的度數(shù)相差360的整數(shù)倍,在求終邊相同的角的問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是找到一個(gè)與其終邊相同的某一角(一般找0360的角),再用集合語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái);

6、 (3)kZ這一條件必不可少; (4)k360與之間是“+”,如,k360-30應(yīng)看成k360+(-30),即與-30角終邊相同的角; (5)終邊相同的角不一定相等,但是相等的角,終邊一定相同;,1,2,3,(6)終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合:|=k360,kZ; 終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合:|=k360+180,kZ; 終邊落在x軸上的角的集合:|=k180,kZ; 終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合:|=k360+90,kZ; 終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合:|=k360+270,kZ; 終邊落在y軸上的角的集合:|=k180+90,kZ; 終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合:|

7、=k90,kZ.,1,2,3,【做一做3-1】 在0360內(nèi),與-35角終邊相同的角是() A.325B.-125 C.35D.235 答案:A 【做一做3-2】 若角的終邊落在第二象限的角平分線(xiàn)上,則可用集合表示為. 答案:|=135+k360,kZ,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 在0360范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并指出它們是第幾象限角. (1)-150;(2)650;(3)-95015. 分析:解答本題可先利用終邊相同的角的關(guān)系,即=+k360(kZ),把所給的角轉(zhuǎn)化到0360內(nèi),然后利用0360內(nèi)的角分析該角所在的象限.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:(1)

8、因?yàn)?150=-360+210,所以在0360范圍內(nèi),與-150角終邊相同的角是210角.而210角的終邊在第三象限,所以-150角是第三象限角. (2)因?yàn)?50=360+290,所以在0360范圍內(nèi),與650角終邊相同的角是290角.而290角的終邊在第四象限,所以650角是第四象限角. (3)因?yàn)?95015=-3360+12945,所以在0360范圍內(nèi),與-95015角終邊相同的角是12945角.而12945角的終邊在第二象限,所以-95015角是第二象限角.,反思終邊相同的角相差360的整數(shù)倍.判斷一個(gè)角是第幾象限角,只要找與它終邊相同的0360范圍內(nèi)的角,這個(gè)0360范圍內(nèi)的角所在

9、的象限即為所求角所在的象限.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】 與-457角終邊相同的角的集合是() A.|=k360+457,kZ B.|=k360+97,kZ C.|=k360+263,kZ D.|=k360-263,kZ 解析:方法一:-457=-2360+263,應(yīng)選C. 方法二:-457角與-97角的終邊相同,-97角與263角的終邊相同,又263角與k360+263角的終邊相同, 應(yīng)選C. 答案:C,題型一,題型二,題型三,題型四,分析:解答本題可先把角表示成90+k360180+k360(kZ),再借助初中學(xué)習(xí)的有關(guān)不等式的性質(zhì)對(duì)不等式按題目要求變形,最后利用坐標(biāo)軸

10、加以分析.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 已知集合A=|30+k18090+k180,kZ,B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB. 分析:由角的集合找出角的變化區(qū)域,從而求出兩個(gè)集合的交集.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:由30+k18090+k180,kZ,可得當(dāng)k為偶數(shù),即k=2n(nZ)時(shí),30+n36090+n360,nZ;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),即k=2n+1(nZ)時(shí),210+n360270+n360,nZ,集合A中角的終邊在如圖的陰

11、影()區(qū)域內(nèi). 集合B中角的終邊在如圖的陰影()區(qū)域內(nèi), 集合AB中角的終邊在陰影()和()的公共區(qū)域內(nèi), AB=|30+k36045+k360,kZ.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思解決與角有關(guān)的集合問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清集合中含有哪些元素,其方法有:一是將集合中表示角的式子化為同一種形式(這種方法要用到整數(shù)分類(lèi)的有關(guān)知識(shí),即分類(lèi)討論);二是用列舉法把集合具體化;三是數(shù)形結(jié)合,即在平面直角坐標(biāo)系上分別作出這些角.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練3】 已知集合A=|=k90-36,kZ,B=|-180180,則AB等于() A.-36,54 B.-126,144 C.-126,-3

12、6,54,144 D.-126,54 所以AB=-126,-36,54,144. 答案:C,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯(cuò)點(diǎn)因不理解終邊相同的角而致誤 【例4】 如圖,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合是. 錯(cuò)解:|120225 錯(cuò)因分析:終邊落在陰影部分內(nèi)的角不只有120225范圍內(nèi)的角,還有其他角,它們與120225范圍內(nèi)的角相差360的整數(shù)倍. 正解:|k360+120k360+225,kZ,1,2,3,4,5,1.下列說(shuō)法正確的是() A.角與角k360+(kZ)的終邊相同 B.第二象限角是鈍角 C.第二象限角一定大于第一象限角 D.小于90的角是銳角 答案:A,1,2,3,4,5,A.第一或第三象限角B.第二或第三象限角 C.第一或第四象限角D.第二或第四象限角 解析:,答案:D,1,2,3,4,5,3.把-3 290化為k360+(0360,kZ)的形式為. 答案:-10360+310,1,2,3,4,5,4 已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角組成的集合為. 解析:由圖知,將x軸繞原點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)30與150得邊界,故終邊在陰影內(nèi)的角的集合為|k180+30k180+150,kZ. 答案:|k180+30k180+150,kZ,1,2,3,4,5,5.在0360范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并指出它們是第幾象限角. (1