1、2020/8/5,1,關(guān)于虛擬因變量的回歸：線性概率模型、對數(shù)單位、概率單位及托比模型,1、虛擬應(yīng)變量 2、線性概率模型(LPM) 3、線性概率模型的估計問題 4、一個線性概率模型的例子 5、線性概率模型的應(yīng)用 6、線性概率模型以外的其他方法 7、對數(shù)單位模型 8、對數(shù)單位模型的估計 9、對數(shù)單位模型例子 10、概率單位模型 11、概率單位模型的例子 12、托比模型,2020/8/5,2,12.1虛擬應(yīng)變量,在前面所考慮的虛擬變量回歸模型中，我們隱含 假定應(yīng)變量Y是定量的，而解釋變量是定量的、定 性的或二者兼有。然而有的應(yīng)變量可以是二分性質(zhì) 的。如一個人或者在勞動力行列中或者不在，從而 勞動力

2、參與這個應(yīng)變量只能取兩個值：如果這個人 在勞動力行列中，則取值1；如果不在其中則取值 0。又如考察學(xué)院教授是不是屬于工會成員，因此 工會會員資格這個應(yīng)變量就是一個取值0或1的虛擬 變量：0表示非工會會員，1表示工會會員。,2020/8/5,3,1虛擬因變量,這些例子的一個特性是，因變量屬于僅要求 回答是或否這樣一種類型；就是說它是二分 類的。處理二分類變量有四種模型： 1.線性概率模型 2.對數(shù)單位模型 3.概率單位模型 4.托比單位模型,2020/8/5,4,2線性概率模型,為了建立概念，考慮如下模型： （12.2.1） 其中 X=家庭收入 Y=1 如果該家庭擁有住宅 =0 如果該家庭不擁有

3、住宅 該模型把二分變量 表達(dá)為解釋變量 的函數(shù)。像（12.2.1）這樣的模型，稱為線性概率模型。因為， 在給定 下的條件期望 可解釋為在給定 下事件（家庭擁有住宅）將發(fā)生的條件概率，即,2020/8/5,5,2線性概率模型,假定 ,我們得到： （12.2.2） 現(xiàn)在，令 （即事件發(fā)生）的概率，而 （即事件不發(fā)生）的概率。 由數(shù)學(xué)期望定義有： （12.2.3） 比較（12.2.2）和（12.2.3）得： （12.2.4）,2020/8/5,6,2線性概率模型,就是說，模型（12.2.1）的條件期望事實上 可解釋為Y的條件概率。條件概率必須落在0 與1之間。即：,2020/8/5,7,3線性概率模

4、型的估計問題,我們不能用標(biāo)準(zhǔn)的OLS法去估計線性概率模型。因 為有以下一些問題： 1.干擾項 的非正態(tài)性 為了統(tǒng)計推斷的目的我們假設(shè)干擾項服從正態(tài)分布。 但在線性概率模型中干擾項的正態(tài)性不成立。我們把 （12.2.1）寫為： （12.3.1） 當(dāng) 時： 當(dāng) 時： （12.3.2）,2020/8/5,8,3線性概率模型的估計問題,顯然，我們不再可能假定干擾項是正態(tài)分布的：實際 上，它遵循二項分布。 2.干擾項的異方差性 由（12.3.2）中可以得到 的概率分布： 當(dāng) 概率為 ； 當(dāng) 概率為 ，進(jìn)而可得到： (12.3.4),出現(xiàn)異方差時，OLS估計雖然無偏，但不是有效，即OLS估計量不具有最小方

5、差性。,2020/8/5,9,3線性概率模型的估計問題,方程（12.3.4）表明 誤差項的方差為異方差性。解決異方差問題的一個方法是進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，將模型 （12.2.1）的兩邊除以 即， 得： (12.3.5),2020/8/5,10,3線性概率模型的估計問題,（12.3.5）中的干擾必定是同方差性的了。 真 是不知道的，從而權(quán) 是不知 道的，為了估計 ，可采用如下兩步法： 1。對（12.2.1）作最小二乘回歸，暫且撇 開異方差性問題。于是得到 真 的OLS估計值。再由此求 的估計值 2。用估計值 做如同（12.3.5）的數(shù)據(jù)變換，然后對變換后的數(shù)據(jù)做OLS回歸。,2020/8/5,11,3線

6、性概率模型的估計問題,3.不被滿足 在線性概率模型中 的估計量 不一定在0和1之間，解決的辦法是當(dāng) 小于0時取0，大于1時取1。 4.可疑的擬合優(yōu)度： 值 在二分模型中計算出來的 值較低。,2020/8/5,12,4線性概率模型：一個數(shù)值例子,我們用一個數(shù)值例子來說明線性概率模型的一 些問題。表16.1給出40各家庭的住宅所有權(quán)Y （1擁有住宅，0不擁有住宅）和家庭收入 X（千美元）的虛構(gòu)數(shù)據(jù)。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用 OLS估計的線性概率模型如下： （0.1128）（0.0082） t（-7.6984）（12.515） （12.4.1）,2020/8/5,13,4線性概率模型：一個數(shù)值例子,首先我們

7、來解釋這一回歸。截距值-0.9457給出 零收入的家庭擁有自己的住房的概率。由于是 負(fù)值，而概率又不可能是負(fù)值，我們就把該值 當(dāng)作零看待，這樣做在本例中是說得過去的。 斜率值0.1021意味著收入每增加1單位，平均地 說擁有住宅的概率增加0.1021或約10。當(dāng) 然，對某一給定的收入水平，我們可以從 （12.4.1）估計出擁有住宅的實際概率。例 如，對于X12（12000美元），估計擁有住宅 的概率是,2020/8/5,14,4線性概率模型：一個數(shù)值例子,0.2795 就是說，收入為12000 美元的家庭擁有住宅的 概率為28。 對于上面的估計受異方差的影響，因此我們可 以用WLS來獲得更有效

8、的估計值。由于某些是 負(fù)的，和某些 大于1，對于這些 來說， 將 是負(fù)的，因此刪去這些值 。得到的WLS回歸為：,2020/8/5,15,4線性概率模型：一個數(shù)值例子,（0.1206） （0.0069） t（-10.332） （17.454）（16.4.2）,2020/8/5,16,5線性概率模型的應(yīng)用,例16.1：科恩-雷-勒曼研究 在為美國勞工部做的一項研究工作中，科恩、雷和勒 曼把各類勞工的“勞動力參與”當(dāng)作一些社會人口 統(tǒng)計變量的函數(shù)來分析。在所有的回歸中應(yīng)變量都是 一個虛擬變量：如果一個人參與勞動隊伍，它就取值 1；如果不參與取值0。在表16.3中我們復(fù)制了他們幾 個虛擬變量回歸中的

9、一個。 上述回歸是用OLS估計的，后又對它進(jìn)行異方差校 正，由于是大樣本所以結(jié)果相差不大，t檢驗和F檢驗,2020/8/5,17,5 線性概率模型的應(yīng)用,現(xiàn)在轉(zhuǎn)到對結(jié)果的解釋，每一斜率系數(shù)都給出 對應(yīng)于解釋變量的一個給定單位變化，事件發(fā) 生的條件概率的變化率。比如說，變量“65歲及 以上”的系數(shù)-0.2753表示在保持其他因素不變 的情況下，該年齡組的婦女參與勞動的概率要 低出27。 現(xiàn)在考慮婚姻狀況和年齡的交互作用。表中數(shù) 據(jù)表明，從未結(jié)婚的女人（和基底類相比），,2020/8/5,18,5線性概率模型的應(yīng)用,其勞動力參與概率要高出29，而年齡為65歲 及以上的婦女，勞動參與概率要低出28。

10、以 下依此類推。仿照以上的程序，不難解釋表 16.3中其余系數(shù)。 例16.2 對債券評級的預(yù)測（P545) 例16.3 預(yù)測債券違約（P546）,2020/8/5,19,6線性概率模型以外的其他方法,線性概率模型的根本問題在于其在邏輯上不是 一個很有吸引力的模型，因為它假定 隨X而線性地增加，即X的邊際或增補(bǔ)效應(yīng)一直 保持不變。這顯然不現(xiàn)實。 因此我們需要的是具有如下二分性質(zhì)的模型： （1）隨著 增加， 也增加，但不超出0-1這個區(qū)間。 （2） 和 之間是非線性的，即”隨著 變 小概率趨于零的速度越來越慢，,2020/8/5,20,6線性概率模型以外的其他方法,而隨著 變得很大，概率趨于1的速

11、度也 越來越慢”。因此下面我們將討論滿足這 些條件的對數(shù)單位模型和概率單位模型。,2020/8/5,21,7對數(shù)單位模型,我們用住房所有權(quán)的例子說明對數(shù)單位模型的基 本概念。解釋住房所有權(quán)對收入的線性關(guān)系時的 線性概率模型曾是： （12.7.1） 其中X為收入，而Y1表示家庭擁有住房，但現(xiàn) 在考慮如下住房所有權(quán)的表達(dá)式: （12.7.2）,2020/8/5,22,7對數(shù)單位模型,（12.7.2）可以寫成： （12.7.3） 其中 方程（12.7.3）代表一個（累積）邏輯斯蒂分布函 數(shù)為名的模型。 隨著 從 變到 ， 從0變到1，而且 對 有非線性關(guān)系，這樣就滿足了上述兩點要求。,2020/8/

12、5,23,0,P,1,CDF,-, X,圖16.2 累計分布函數(shù)（CDF),2020/8/5,24,在進(jìn)行估計時我們可以將（12.7.2）化成線性形式進(jìn)行估計,擁有住房的概率為 ，則不擁有住房的 概率 是： （12.7.4） 因此，可得： （12.7.5）,2020/8/5,25,7對數(shù)單位模型,現(xiàn)在 就是有利于擁有住房的機(jī)會比 率一個家庭將擁有住房的概率對不擁有住 房的概率之比。 對（12.7.5）取自然對數(shù)得： （12.7.6） 即機(jī)會比率的對數(shù) 不僅對 為線性，而且對 參數(shù)也是線性。 被稱為對數(shù)單位模型（Logit)。,2020/8/5,26,7對數(shù)單位模型,像（12.7.6）這樣的模型

13、取名為對數(shù)單位模型 對數(shù)模型的特點： 1、 從0變到1，對數(shù)單位從 變到 2、雖然 對 為線性，但概率本身卻不然。 對LPM模型，概率隨X而線性地增大。 3、斜率系數(shù)給出 每單位變化的 的變化，它告知人們隨著收入變化一單位，有利于擁有住房的對數(shù)機(jī)會比率是怎樣變化的。截距是當(dāng)收入為零時的有利于擁有住房的對數(shù)機(jī)會比率的值。,2020/8/5,27,7對數(shù)單位模型,4、對給定的某個收入水平，我們其實想 估計的并不是有利于擁有住房的機(jī)會比， 而是擁有住房本身的概率。但根據(jù)1和2的估計值很容易求出擁有住房的概率P. 5、對數(shù)單位模型假定機(jī)會比率的對數(shù)與 有線性關(guān)系。,2020/8/5,28,8對數(shù)單位模

14、型的估計,把對數(shù)單位模型寫成如下形式： 如果對這個模型用微觀數(shù)據(jù)直接估計會遇到一 些問題，例如當(dāng)或時，取不到有意義 的值，在這種情形下只有用最大似然估計求解。 另外的一種估計方法，當(dāng)我們擁有的數(shù)據(jù)如下表 所示時可以用OLS求解。,2020/8/5,29,8對數(shù)單位模型的估計,表16.4,2020/8/5,30,8對數(shù)單位模型的估計,根據(jù)上表的數(shù)據(jù)求出 利用估計的可以得到估計的對數(shù)單位線性 模型。 這時還不能用OLS直接估計，因為隨機(jī)誤差項的 性質(zhì)還沒考慮。,2020/8/5,31,8對數(shù)單位模型的估計,隨機(jī)誤差項的滿足如下分布： 顯然模型中存在異方差，因此我們考慮使用加權(quán)最小 二乘法，權(quán)重取。

15、用代替則可求出。,2020/8/5,32,8對數(shù)單位模型的估計,總結(jié)估計對數(shù)單位模型的各個步驟： 1、對每一收入水平，計算擁有住房的概率。 2、求每一 的對數(shù)單位 3、作如下變換 消除異方差，其中。 4、用過原點回顧的OLS估計上式。 5、按普通最小二乘法建立置信區(qū)間和假設(shè)檢驗。,2020/8/5,33,（加權(quán)最小二乘法：教材11.6,P371),對于對數(shù)單位模型,2020/8/5,34,9對數(shù)單位模型的例子,這里只是通過演算一個數(shù)值問題，以促進(jìn)對 對數(shù)單位模型的理解(具體數(shù)據(jù)見表16.5)。 用加權(quán)最小二乘法可以求出如下結(jié)果： 對于系數(shù)經(jīng)濟(jì)意義的解釋可以參照書上的解釋。,2020/8/5,3

16、5,10概率單位模型,為了解釋二分應(yīng)變量，有必要使用適當(dāng)CDF。 對數(shù)單位模型使用的是累積邏輯斯蒂函數(shù)。在 實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)正態(tài)CDF效果也不錯。使用正 態(tài)CDF的估計模型通常稱為概率單位模型。 引入概率單位模型有兩種途徑：一是模仿前面 邏輯斯蒂函數(shù)的形式，直接用正態(tài)分布函數(shù)替 換；二是依據(jù)麥克法登的效用理論或行為的理 性選擇引入概率單位模型。,2020/8/5,36,10概率單位模型,下面根據(jù)效用理論闡明使用概率單位模型的 動機(jī)。 表示一種不可觀測的效用指數(shù)，表示收入，仍然研究家庭擁有住房的概率。 當(dāng)越大時，認(rèn)為擁有住房的概率越大。 現(xiàn)在假定有這樣一個臨界值，當(dāng)時，該 家庭擁有住房，否則不擁有

17、。,2020/8/5,37,10概率單位模型,在正態(tài)性假定下，的概率可由標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài) CDF算出。 t是標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)變量，。,2020/8/5,38,10概率單位模型,1,(a),(b),2020/8/5,39,10概率單位模型,根據(jù)獲得關(guān)于效用函數(shù)以及和的信息，可 得到： 如果我們掌握了表16.7的分組數(shù)據(jù)，便可由計 算出，一旦有了，就可很輕松的估計和 在對數(shù)單位分析中，被稱為正態(tài)等效離差(n.e.d.)。當(dāng)時，將是負(fù)數(shù)，在實際 中通常把5加到上，其結(jié)果稱為概率單位.,2020/8/5,40,10概率單位模型,現(xiàn)在估計和。通過下面的式子： 概率單位模型的估計步驟： 1、從分組數(shù)據(jù)中估計出。 2、

18、根據(jù)，從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)CDF中求出n.e.d. 3、用最為回歸的應(yīng)變量。 4、由于隨機(jī)誤差項存在異方差，因此還要進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或用WLS估計出最后結(jié)果。 5、用普通方式進(jìn)行假設(shè)檢驗，但得到的結(jié)果只在大樣本下有效，同時已沒有多大價值,2020/8/5,41,11概率單位模型的例子,根據(jù)表16.8所給的數(shù)據(jù)，可以估計出如下結(jié)果。 以n.e.d.作為應(yīng)變量： 以概率單位作為應(yīng)變量： 除截距外，兩種回歸結(jié)果沒有差別。,2020/8/5,42,11概率單位模型的例子,比較對數(shù)單位與概率單位的估計值 雖然對數(shù)單位模型和概率單位模型給出性質(zhì) 相同的結(jié)果，但是兩個模型參數(shù)的估計值不 可直接比較。一般兩者參數(shù)有如下關(guān)系： 另外，LPM的系數(shù)與對數(shù)單位模型的系數(shù)有如下 關(guān)系： 不含截距項時 含有截距項時,2020/8/5,43,圖16.6對數(shù)單位與概率單位的累計分布圖,概率單位累計分布,對數(shù)單位累計分布,2020/8/5,44,三類模型回歸系數(shù)比較,線性概率模型LPM,對數(shù)單位模型logit-M,概率單位模型probit-M,線性概率模型LPM，斜率系數(shù)直接測出X 單位變化引起的事件發(fā)生