1、期末復習,第 1 章 矩陣,一、矩陣 1、矩陣的加法、減法、數乘、乘法、方冪以及轉置運算的運算法則。 2、可逆矩陣的性質與判定（定理 1.5 及其推論） 。 逆矩陣的求法伴隨矩陣法、初等變換法。（對角矩陣的逆矩陣。） 3、求解矩陣方程（先化簡） 。 4、分塊矩陣的加法、減法、數乘、乘法以及轉置運算的運算法則。 利用分塊矩陣求逆矩陣。（分塊對角矩陣的逆矩陣。） 5、矩陣的秩的求法?？赡婢仃嚨闹取?二、行列式 1、行列式的定義（展開式）與性質。 2、行列式的值的計算方法： 二階、三階行列式的對角線法； 有特點的行列式，如：零較多、各行（列）元之和都相等、除某一行（列）以外各行（列）元之和都為零、

2、“ 爪” 型行列式的求法； 范德蒙德行列式的特征與性質。,利用拉普拉斯定理求分塊三角形矩陣的行列式； 利用行列式的性質求分塊矩陣的行列式 （如：練習1.4 的第2題） ； 利用行列式的性質化簡行列式、或將行列式化為三角形行列式； 利用矩陣的特征值計算行列式*。,三、基礎題型 1、練習1. 3 的 1（4）、（6）、（8）； 2、P.25 例 4 ； 3、練習1. 3 的 3（1） ； 4、練習1. 3 的 4（1）、（2）、（5）， P.28 例 7 ； 5、練習1. 3 的 6（1）（5） ； 6、練習1. 4 的 2（2）； 7、練習1. 5 的 2 7 ； 8、練習1. 5 的 8（2）

3、，P. 49 例 5 ；,9、練習1. 6 的 3、求解下列矩陣方程： （3*） （ ）、 （4*）A X + B = X ，其中 ， （ ）， P.58 例 5 ； 10、練習1.7 的 1（6） ； 11、習題一的 1 ； 12、習題一的 13； 13、習題一的 17 18 。,一、線性方程組的解法 1、克拉默法則 適用于 “ 方程個數 = 未知量個數 ” ，且 “ 系數行列式 0 ” 的線性方程組。 2、消元法（用初等行變換法將增廣矩陣化為簡化階梯形矩陣求解） 線性方程組有解與否的判定（用初等行變換法將增廣矩陣化為階梯形矩陣，如：帶有參數的線性方程組的求解 ）。 齊次線性方程組解的性質與

4、結構； 非齊次線性方程組解的性質與結構（導出組的概念）。,第 2 章 線性方程組,二、向量與向量組（熟記相關的定理與結論） 1、向量的線性運算（加法、數乘）及其運算律。 2、向量間的線性關系（線性組合、線性相關、線性無關） 判定一個向量組的線性相關性（三種方法秩、行列式、齊次線性方程組 的解）； 將一個向量表為一個向量組的線性組合； 兩個向量組等價。 3、向量組的極大無關組 求向量組的秩； 求一個向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量表為極大無關組的線性組合；,4、n 維向量空間 Rn 的標準正交基 判斷一個向量組是否為 Rn 的一組基； 向量的坐標、內積與長度的概念及其性質； 用施密特正交

5、化方法把一組線性無關的向量正交化； 求 Rn 的一組標準正交基； 正交矩陣（區(qū)別于正定矩陣的概念，正交矩陣的構成）。,三、基礎題型 1、P.80 例 6 （要求會用兩種方式確定參數的關鍵值，會使用 結構式表示非齊次線性方程組的解） ； 2、P.83 例 7（要求會用兩種方式確定參數的關鍵值，會使用 結構式表示齊次線性方程組的解） ； 3、練習 2.3 的 1（3）； 4、練習 2.3 的 2； 5、 P.95 例 8 ； 6、練習 2.3 的 4； 7、練習 2.3 的 6；,8、練習 2.4 的 11（2）、（3） ； 9、記住并會使用下列結論： 練習 2.4 的 7、8、9、10，練習 2

6、.5 的 3， P.111 例 2 ，習題二的 5、 6； 10、練習 2.5 的 1（2），P.110 例 1 ； 11、練習 2.5 的 2（2）； 12、P.113 例 3 ； 13、練習 2.6 的 1； 14、P.121 例 2 ； 15、P.122 例 3 ；,16、習題二的 8 ： 注： 考題有時會更難，如：1 + 2 = ( 1 , 0 , 1 )T ， ; 題中方程組的兩個解 1 ，2 可能會以另一種形式給出： 設 4 3 矩陣 A 分塊為 A = ( 1 ，2 ，3 ) ，其中 i R4 ，i = 1，2，3， 1 + 2 = ，1 + 3 = ，且線性方程組 A x =

7、滿足 r ( A ) = r (A ) = 2 ，試求出該方程組的全部解。 17、習題二的 10 ； 18、習題二的 12 。,第 3 章 矩陣的特征值和特征向量,一、矩陣的特征值和特征向量 1、特征值和特征向量的定義、性質以及重要結論。 2、全部特征值和特征向量的求法。 3、利用矩陣的特征值計算矩陣的跡和行列式（ & 秩？）。 二、相似矩陣 1、相似矩陣的定義與性質。 2、區(qū)分矩陣相似、矩陣等價（P.54 定義 1. 15） 、矩陣合同的概念。,三、矩陣的對角化 1、矩陣可以對角化的判定（定理 4 . 9 及其推論 、 定理 4 . 10 ） 。 2、當矩陣 A 可以對角化時，求出可逆矩陣

8、P、對角矩陣 ，使 P 1 A P = 。 進而，當矩陣 A 可以對角化時，r ( A ) = 矩陣 A 的非零特征值的個數。 3、實對稱矩陣 A 的對角化：求出正交矩陣 Q、對角矩陣 ，使 Q1 A Q = 。 4、當矩陣 A 可以對角化時，利用矩陣 A 的特征值和特征向量，求出矩陣 A 以及 A k 。,四、基礎題型 1、練習 3.1 的 1（3）， P.131 例 4 ； 2、練習 3.1 的 3； 3、練習 3.1 的 4 *、 如果向量 = ( 1 , k )T 是矩陣 的逆矩陣 A1 （ 或：A* ）的特征向量，求常數 k 的值。 （計算時不要求 A1 （ 或：A* ）。） 4、記

9、住并會使用下面的結論： （練習 3.1 的 5） 設 0 是 n 階矩陣 A 的一個特征值，則 （1）k 0 是 k A 的一個特征值（k 為常數）， （2）0 m 是 Am 的一個特征值（m 為正整數） ，,（3）若 A 可逆，則 1 / 0 是 A1 的一個特征值， （4）若 A 可逆，則 det A / 0 是 A* 的一個特征值 ， （5）k 0 是 k E A 的一個特征值（k 為常數） ， （6）f ( 0 ) = a m 0 m + a m1 0 m1 + + a 1 0 + a 0 是 f ( A ) = a m Am + a m1 Am1 + + a 1 A + a 0 E

10、的一個特 征值（ 其中 a 0 ，a 1 ， ，a m1 ，a m 為常數） ， 進而有，若 f ( A ) = O，則 f ( 0 ) = 0 。 5、練習 3.2 的 2 ； 6、P.139 例 4 ； 7、練習 3.2 的 4（3）、（4）； 8、練習 3.2 的 5（1）、（2）；,9、練習 3.2 的 6 ； 10、練習 3.2 的 7 ，P.140 例 5 ； 11、練習 3.2 的 8 ； 12、練習 3.3 的 1（3）、（4），P.147 例 2 ； 13、練習 3.3 的 2 3 ； 14、習題三的 3 ； 15、習題三的 6 ； 16、習題三的 12 ； 17、習題三的

11、15 16 ； 18、習題三的 20 21 。,第 4 章 二次型,一、二次型的基本概念 1、二次型及其矩陣的一一對應關系。 2、二次型的秩。 3、矩陣合同的概念和性質。 二次型 x T A x（其中 AT = A ） 二次型 y T B y ，則 A B ，且有 B = C T A C ； r ( A ) = r ( B ) ； 二次型 x T A x 與 y T B y 的正定性相同 。,二、二次型的標準形和規(guī)范形 1、化二次型為標準形的方法：正交替換法、配方法、初等變換（合同變換）法。 2、化二次型為規(guī)范形的方法（寫出二次型的規(guī)范形）。 3、二次型的正慣性指數、負慣性指數、符號差、秩的確定。,三、正定二次型與正定矩陣 1、判斷正定二次型與正定矩陣（定義 4.4、定理 4.7 及其推論 1、定理 4.8、定理 4.9 ） 。 2、判斷形如 AT A 和 A AT 的矩陣的正定性。 3、二次型的有定性：正定、負定、半正定、半負定、不定。 4、二次型的正慣性指數、負慣性指數、秩與二次型的有定性的關系。,四、基礎題型 1、練習 4.1 的 3 4 ； 2、練習 4.2 的 1（2），P.178 例 1 ； 3、練習 4.2 的 2（2），P.180 例 3 ； 4、練習 4.2 的 3（3），P.185 例 5 ； 5、練習 4.2 的 4*