1、第10章 變形能法,U=W (8-1) 變形能原理：在整個(gè)加載過程中，物體的變形能在數(shù)值上等于外力做的功。 變形能法:采用與變形能的概念有關(guān)的定理和原理來解決問題的方法。,外部：外力做功W,內(nèi)部：,勢(shì)能 變形能U,10、1 桿件變形能的計(jì)算 10、2 莫爾定理 10、3 計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法 10、4 卡氏定理 10、5 功的互等定理和位移互等定理,10.1 桿件變形能的計(jì)算,一、基本變形時(shí)的變形能 現(xiàn)在來研究在幾種基本變形下的變形能計(jì)算。 1.軸向拉伸或壓縮 對(duì)于等直桿的軸向拉伸或壓縮，在線彈性范圍內(nèi)，外力與桿件的軸向變形量呈線性關(guān)系。,(a),p,l,a. N為恒值：桿件的變形能為,b

2、.若內(nèi)力是呈階梯形變化的結(jié)構(gòu)的變形能,m: 結(jié)構(gòu)的拉壓桿件的數(shù)目。,拉壓桿件的單位體積內(nèi)的變形能（比能或能密度）為,c. 若內(nèi)力沿桿件的軸線連續(xù)變化，即 N=N(x), 此時(shí)桿件的變形能為,2.圓軸扭轉(zhuǎn),外力偶矩所做的功 (b) 根據(jù)U=W，此功等于儲(chǔ)存于圓軸中的扭轉(zhuǎn)變形能。圓軸只在兩端受外力矩作用時(shí)，扭矩為,a. Mn為恒值：圓軸的扭轉(zhuǎn)變形能可寫為,b.若內(nèi)力偶矩沿圓軸的軸線連續(xù)變化，即 ，可得到整個(gè)圓軸的變形能為 (8-4b),c.若內(nèi)力偶矩沿軸線階梯形變化，得到整個(gè) 圓軸的變形能為,(8-4c),圓軸單位體積內(nèi)的變形能，即純剪切狀態(tài)下的比能為 (8-5) 3.平面彎曲 等直懸臂梁的純彎曲

3、。 當(dāng)集中力偶矩從零開始逐漸增至最終值時(shí)，懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角也從零逐漸增至最終值圖(a)。,(b),q,集中力偶矩在梁變形過程中所作的功 a. 純彎曲梁的變形能為 (8-6a),討論：,b.橫力彎曲情況的變形能為,在線彈性范圍內(nèi)，且在靜載荷情況下，桿件的變形能可統(tǒng)一表示成 (8-7) P：廣義力 ：與其相應(yīng)的廣義位移。 P：力 ：位移； P：力偶矩 ：角位移。,二、彈性變形能的主要特征 (1)一般情況下，變形能不能簡(jiǎn)單疊加。說明：若用 和 分別表示由外力P1和P2單獨(dú)作用時(shí)梁的橫截面彎矩，那么當(dāng)共同作用時(shí)，梁的彎矩為 ，變形能為,(2)變形能僅與外力和位移的最終值有關(guān)，而與加載次序無關(guān)。 (3

4、)當(dāng)桿件的各段截面不相同或內(nèi)力由不同函數(shù)表示時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算變形能。 (4)桿件是滿足虎克定律的線彈性體,如對(duì)非線彈性體變形能將變?yōu)?(5)變形能總是正的,三、變形能的普遍表達(dá)式 表示廣義力作用點(diǎn)沿其作用方向上的廣義位移，可以寫成 式中 代表由廣義力 引起的在 的作用點(diǎn)沿作用方向上的廣義位移，余下類同。而 為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。,1,p,2,p,1,d,2,d,m,p,m,d,.,各載荷所作功之和在數(shù)值上等于結(jié)構(gòu)的變形能，即 (8-8) 這一結(jié)論稱之為克拉貝隆原理。 它可敘述為線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。,四、組合變形時(shí)的變形能 利用變形能的普遍表達(dá)式，可得到承受

5、彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向拉壓聯(lián)合作用的桿件變形能。 現(xiàn)于桿件中截取一長(zhǎng)為dx的微段， 若兩端橫截面上的軸力、彎矩 和扭矩分別 、 和 (對(duì)微段dx而言， 、 和 應(yīng)看成外力),兩個(gè)端截面間的相對(duì)軸向位移、相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)扭轉(zhuǎn)角分別為 、 和 。 由于 、 和 各自引起的變形是相互獨(dú)立的，那么按式（8-8），微段dx內(nèi)的變形能應(yīng)為 于是整個(gè)組合變形桿件的變形能為上式的積分，即 （8-9）,例1:試求圖所示的正方形桁架結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點(diǎn)的相對(duì)位移。已知各桿的抗拉壓剛度EA相同。,解： 軸力為： 變形能為：,例1:試求圖所示的正方形桁架結(jié)構(gòu)的變形能，并求A、C兩點(diǎn)的相對(duì)位移。已知各桿的抗拉壓剛度EA

6、相同。,外力做的功為 因?yàn)閁=W,故有 由此可以求出,例2:圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。,解AB段： BC段： 變形能為：,剛架的抗彎剛度與抗拉剛度分別為EI和EA,變形能： A截面豎直位移：,例2:圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。,若a=l,且各桿橫截面為直徑等于d的圓形，l=10d,得：,例2:圖為一平面剛架，試求A端的豎直位移。,上式括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)小于0.05%，故在求解抗彎桿件結(jié)構(gòu)的變形或位移時(shí)，一般可 以不考慮軸力的影響。,例3:圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。,解： 由圖b可以看出，截面mn上的扭矩和彎矩分別為,變形能為: 整

7、個(gè)曲桿的變形能:,例3:圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。,設(shè)A的豎直位移為 ,在變形過程中，外力所做的功在數(shù)值上等于曲桿的變形能，即: 由此求得:,例3:圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。,10.2 莫爾定理,莫爾定理是一種能夠求解在復(fù)雜載荷作用下的結(jié)構(gòu)任一處廣義位移的有效工具。 現(xiàn)在以梁為例，利用變形能的概念和特性來導(dǎo)出莫爾定理。 假設(shè)梁在外力 , 作用下發(fā)生彎曲變形，如圖a所示。今要確定在上述外力作用下，梁上任意一點(diǎn)C的撓度 。,C,A,B,(a),首先由外力可求得梁的彎矩M(x),進(jìn)而求出變形能U,.,

8、在C點(diǎn)作用一個(gè)單位力 此時(shí)梁的彎矩為 而梁內(nèi)儲(chǔ)存的變形能為 接著將 ， 重新加到梁上。在 ， 重新加載的過程中，單位力 又完成了數(shù)值為 的功。于是在圖c的情況下，梁的變形能為,因?yàn)樵?和 共同作用下的彎矩為 ，所以還可以表示為 兩式是相等的，即：,考慮 可得： 這就是莫爾定理也稱莫爾積分。 莫爾定理還可以求解平面曲桿的彎曲變形，對(duì)于小曲率曲桿，可把莫爾積分推而廣之，得到求曲桿彎曲變形的莫爾積分,利用莫爾定理計(jì)算桁架節(jié)點(diǎn)位移公式 （8-12） 計(jì)算組合變形結(jié)構(gòu)位移的莫爾公式：,使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：, M0(x)與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可 自由建立。,莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)

9、。, M0(x)去掉主動(dòng)力，在所求 廣義位移 點(diǎn)，沿所求 廣義位移 的方向加廣義單位力 時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。, M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。, 所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。,例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,x,l,q,A,(a),由單位力引起的彎矩為,解 懸臂梁的彎矩方程為,按莫爾定理得A截面的撓度為,x,l,q,A,(a),例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,由單位力偶引起的彎矩為:,由莫爾定理得,例：已知梁的抗彎剛度EI為常量，試用莫爾定理計(jì)算自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,例：桁架中

10、各桿的抗拉(壓)剛度EA均相同，試求B、D兩點(diǎn)間的相對(duì)位移。,例 圓截面鋼架受力如圖a所示，整個(gè)鋼架的抗扭剛度分別為 和EI，若不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，試求鋼架C截面沿豎直方向的位移。,在計(jì)算鋼架內(nèi)力時(shí)，各段內(nèi)力的正負(fù)可仍遵循桿件在各種基本變形下的內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定。 BC段 AB段,可以求得C截面的數(shù)值位移為,例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常數(shù),解 曲桿由載荷引起的彎矩為,在A點(diǎn)作用一個(gè)集中力得彎矩,例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常數(shù),A點(diǎn)的豎直位移為,例 試求A的豎直位移及轉(zhuǎn)角?？箯潉偠菶I為常數(shù),在A點(diǎn)施加一單位力偶矩，可求出:,103 計(jì)算莫爾積分的圖形互乘法,對(duì)于等

11、截面直梁的彎曲變形，在這種情況下,抗彎剛度EI為常數(shù) 變?yōu)?（a） 由于式中的 是由單位力引起的內(nèi)力 因而必定由直線或折線組成。,設(shè)在載荷與單位力作用下的一段長(zhǎng)為l的直桿的M(x)和 圖分別為如圖的形式。 其中 的圖為一段 斜直線。 此直線方程為,將上式代入（a）式得 (b),第二項(xiàng)：,表示M(x)圖形的面積,第一項(xiàng)：,形心坐標(biāo),上式中的,實(shí)際上是 圖中與M(x) 圖的形心C相對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，用 表示,將莫爾積分運(yùn)算簡(jiǎn)化為圖形間的代數(shù)運(yùn)算的方法稱為圖形互乘法，簡(jiǎn)稱圖乘法。,（3）只要是求等直桿（包括分段等直桿）的變形或位移，都可以使用圖乘法。,說明： （1）w與 都是代數(shù)量，他們的符號(hào)w與M(x

12、)一致， 與 一致。,（2）如果M(x)為分段光滑的曲線，或者 為折線，則應(yīng)分段使用圖成法，然后求和。,l,C,三角形 ：,二次拋物線：,二次拋物線：,n 次拋物線：,例 1 外伸梁受載如圖所示。若抗彎剛度EI為 常量，試求外伸端C的撓度。,A,q,B,C,e,M,l,a,解 ： 梁在荷載作用下的彎矩圖，如圖所示。,2,8,ql,其中面積為 的拋物線部分是由均布載荷引起的，面積為 和 的折線部分是由集中力偶引起的。由圖給出。,圖中三部分圖M(x) 的形心對(duì)應(yīng)的 的值可利用線段之間的比例關(guān)系求出。 可求的C截面的撓度為,a,由單位力作用引起的 圖,2,8,ql,例2 抗彎剛度EI為常量的鋼架如圖

13、a所示，不計(jì)剪力和軸力，試求A截面的豎直位移。,解:首先畫出鋼架在載荷作用下的彎矩圖，如圖所示。,計(jì)算A截面的豎直位移，需要在A截面作用一個(gè)豎直方向的單位力,然后畫出相應(yīng)的 圖。,如圖， 并利用相應(yīng)的公式，可以求出AB和BC兩桿的彎矩圖面積為,在圖d中與和的形心對(duì)應(yīng)的 為,于是由式 可求出A截面的豎直位移,例3:已知抗彎剛度EI為常量，試求中間鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。,解: 在利用莫爾定理計(jì)算中間鉸C兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角時(shí)，應(yīng)該在C鉸的兩側(cè)截面上各作用一個(gè) 單位力偶矩，且方向相反（圖b）。,(a),由荷載引起的子母梁的彎矩已按疊加法畫成圖c的形式 由單位力偶矩引起 圖，則在圖 d中給出。,q,a

14、,a/2,a/2,a/2,計(jì)算莫爾積分的圖乘法公式 求得C鉸兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為,8.4 卡氏定理,一、卡氏定理及其證明 設(shè)一抗彎剛度為EI的等直懸臂梁的自由端A受集中力P的作用，不難求出懸臂梁內(nèi)儲(chǔ)存的變形能為 梁內(nèi)的變形能在數(shù)值上等于外力功W，即,由此求出懸臂梁自由端的撓度為 若將梁的變形能U對(duì)A截面處的集中力PA求偏導(dǎo)數(shù)則有 這正好等于自由端撓度。,即梁的變形能對(duì)集中力P的偏導(dǎo)數(shù)等于P力作用點(diǎn)沿P力作用方向的位移。此即為卡氏定理。 卡氏定理可以敘述為：彈性體內(nèi)的變形能對(duì)任一載荷的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移。即 （8-15）,現(xiàn)在以梁為例來證明這一定理。設(shè)作用在梁上的一組靜載

15、荷 使梁發(fā)生彈性變形。與這些載荷相應(yīng)的位移為 。 在變形過程中，上述載荷所做的功等于梁內(nèi)儲(chǔ)存的變形能，即變形能U為載荷 的函數(shù)，可以表示為 (a),(a),.,如果給上述載荷中的某一個(gè) 以增量 ，則變形能U也將有一增量 ，這樣梁的彈性變形能可以寫成 (b),改變加載次序，首先在梁上加 ，然后再作用 首先加 時(shí)， 引起其作用點(diǎn)沿著與其同方向的位移 此時(shí)梁內(nèi)的變形能應(yīng)為,作用載荷 的變形能仍為U，同時(shí) 在 方向上引起了位移 ，因此又繼續(xù)完成了 的做功。 (c),因?yàn)閺椥泽w內(nèi)的變形能只取決于載荷與變形的最終值，而與加載次序無關(guān)，所以 忽略二階微量，即可得 （8-15） 這是卡氏定理的表達(dá)式。 卡氏定

16、理只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。,二、卡氏定理的特殊形式 1、桁架 若整個(gè)桁架由m根桿組成，那么整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形能可用式（8-2c）計(jì)算，即 按照卡氏定理有 （8-16）,2、直梁 對(duì)于發(fā)生平面彎曲的直梁，變形能可以用式（8-6b）計(jì)算，即 應(yīng)用卡氏定理得,上式中只有彎矩M（x）與載荷 有關(guān)，積分變量x和 無關(guān)，因而可以將被積函數(shù)先對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，然后再積分。 （8-17）,3、平面曲桿 平面小曲率曲桿，其應(yīng)力分布與直梁很相似。彎曲變形能可以寫成 按照卡氏定理得 （8-18）,4、組合變形桿件 對(duì)于承受拉伸（壓縮）、彎曲和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用的桿件，變形能即 應(yīng)用卡氏定理得 （8-19）,解： AC段 ：,例1:

17、A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。,BC段 ：,例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。,C截面的撓度為:,例1: A截面的轉(zhuǎn)角和梁的中點(diǎn)C的撓度。,三、卡氏定理的特殊處理 卡氏定理計(jì)算結(jié)構(gòu)某處沿某一方向的廣義位移，需要有與所求廣義位移的形式及方向相應(yīng)的廣義外力。 附加力法: 即設(shè)想在所求的廣義位移處附加一個(gè)與所求位移相應(yīng)的廣義力，然后再應(yīng)用卡氏定理進(jìn)行求解。,例2 求剛架B點(diǎn)的水平位移和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。,解: AB段： BC段：,B截面的水平位移為 令Pf =0，B截面的水平位移為 (e),B,A,C,p,(b),求C截面的轉(zhuǎn)角時(shí)，在c處附件集中力偶Mf,AB段： BC段：,應(yīng)用卡氏定理，并在積分

18、前令Mf =0,求得C截面的轉(zhuǎn)角為 和 為正值，說明其方向與附加 力、附加力偶矩方向相同。,B,A,C,p,(b),例3 求B點(diǎn)的豎直和水平位移。,解: 任意橫截面mm上的彎矩為 所以,利用計(jì)算曲桿變形的卡氏定理表達(dá)式得:,此時(shí)曲桿的任意截面mn上的彎矩及其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)分別為: 應(yīng)用卡氏定理,j,A,p,B,(b),pf,卡氏定理應(yīng)用注意： （1）卡氏定理只適用于線彈性且變形很小的結(jié)構(gòu)； （2） 用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的廣義位移時(shí)，該處需要有與所求位移相應(yīng)的廣義力；若該處沒有相應(yīng)的廣義力，則需采用附加力法； （3）結(jié)果為正，表明所求位移方向與相應(yīng)力方向一致；若結(jié)果為負(fù)，則方向相反。,莫爾定理與卡氏定理比較： 二者都是用來求解線彈性桿件結(jié)構(gòu)的變形或位移的，兩者實(shí)質(zhì)上是相同的。 就梁的彎曲變形來說： 用卡氏定理求解位移的表達(dá)式為 莫爾積分表達(dá)式為,當(dāng)結(jié)構(gòu)所求廣義位移處有與之相應(yīng)的廣義力時(shí)，用卡氏定理進(jìn)行求解比較方便； 當(dāng)結(jié)構(gòu)所求廣義位移處沒有與之相應(yīng)的廣義力時(shí)，采用莫爾定理則比較簡(jiǎn)單。,莫爾定理與卡氏定理比較：,8.5 功的互等定理和位移互等定理 一、功的互等定理 圖示梁在支座約束下無剛體位移，并設(shè)1、2為梁上的任意兩個(gè)點(diǎn)。單獨(dú)作用于1點(diǎn)的載荷 引起1點(diǎn)的位移是 ，引起2點(diǎn)的位移是 ；單獨(dú)作用于2點(diǎn)的載荷 引起1點(diǎn)的位移是 ，引起2點(diǎn)的位移是 。,改變