1、,第十章 機(jī)械振動(dòng),定義,振動(dòng)：任何一個(gè)物理量在某一數(shù)值附近作周期性的變化，稱為振動(dòng)；,機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回 往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。,簡諧振動(dòng) ；,簡諧振動(dòng)合成；,阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振。,主要內(nèi)容,1,一、簡諧運(yùn)動(dòng)（Simple Harmonic Motion),物體在一定位置附近的位移變化滿足簡諧函數(shù)形式，稱為簡諧運(yùn)動(dòng)。,彈簧振子 單擺 復(fù)擺,二、基本特征,以彈簧振子為例, 振子受力是,由牛頓第二定律得,2,物體受力和加速度與位移 x 成正比, 且方向相反（動(dòng)力學(xué)特征）,式中:,上式可以改寫為微分方程形式,其解為,式中A、是待定常數(shù)，此式稱為簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。,(稱為

2、角頻率）,3,位移 x 按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化（運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）,三、簡諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度,速度：,加速度：,位移x、速度、加速度a三者與時(shí)間t 的關(guān)系如圖所示。,4,四、描述簡諧振動(dòng)的物理量,2. 周期（Priod）,1. 振幅（Amplitude）,離開平衡點(diǎn)的最大量值的絕對(duì)值。,給出振動(dòng)量的變化幅度。,注意：A、A、2A分別是位移、速度、 加速度振幅。,完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間T，單位是秒（s）。,5,表示：由運(yùn)動(dòng)方程,簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是決定于系統(tǒng)自身的常量，又稱為固有周期(natural neriod)。,3.頻率（Frequency）,物體單位時(shí)間內(nèi)做完全振動(dòng)的次數(shù)稱為振動(dòng)頻率，單位

3、是赫茲（Hz）。,表示:由定義可知,6,式中是角頻率, 單位是rads-1,頻率只與振動(dòng)系統(tǒng)自身性有關(guān),也稱為固有頻率(natural frequency) 。,4.相位與初相位(phase and initial phase ）,一是振動(dòng)的周期性由相位來反映； 二是相位確定了振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,t + 稱為相位, 稱為初相位，單位是rad 。,1o 相位的意義是：,7,2o 初相j ，由開始時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)決定,由運(yùn)動(dòng)方程可知：t = 0時(shí)刻,5. 相位差(phase fifference),兩個(gè)簡諧振動(dòng)的相位之差稱為相位差, 用j 表示,8,表示:,1o j 反映兩振動(dòng)的步調(diào)情況：

4、,j =0（或2整數(shù)倍)，同步振動(dòng),j =（或奇數(shù)倍），振動(dòng)步調(diào)相反,j 0, x2振動(dòng)超前; j 0, x1振動(dòng)超前,9,2o 兩振動(dòng)到達(dá)同一狀態(tài)的時(shí)間差是,五、旋轉(zhuǎn)矢量(rotational vector),在 x 軸上的投影為:,矢徑 A 與 x 軸夾角為:,x = Acos(w t+ j ),(w t + j ),10,以彈簧振子為例:,11,1o 動(dòng)能與勢(shì)能均為時(shí)間的函數(shù)，位相差為/2，二者可以相互轉(zhuǎn)化，總能量是與時(shí)間 t 無關(guān)的恒量。,能量隨時(shí)間變化,能量隨空間變化,12,2o,考察一個(gè)周期內(nèi)的動(dòng)能與勢(shì)能平均值,在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相 等，各是總能量的一半。,13,一、

5、同頻率同方向簡諧振動(dòng)合成,合振動(dòng)位移 x 就是 x1 與 x2 的代數(shù)和,特點(diǎn): 1=2= , x1 / x2,表示: 對(duì)如下兩個(gè)振動(dòng),14,合成結(jié)果為頻率 為w 的簡諧振動(dòng),由旋轉(zhuǎn)矢量法得出 A、是：,15,則：,則：,合振幅最大,合振幅最小,16,當(dāng)A1=A2時(shí)：,合振幅最小值是0。,合振幅最大值是2A1 ；,則A在上述兩者之間。,二、相互垂直同頻率簡諧振動(dòng)的合成,特點(diǎn): 1=2= ,對(duì)如下兩個(gè)振動(dòng),合成得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程是,17,質(zhì)點(diǎn)沿1、3(2、4）象限直線作簡諧振動(dòng)。,18,質(zhì)點(diǎn)軌跡正橢圓,質(zhì)點(diǎn)軌跡是任意形狀橢圓。,19,一、阻尼振動(dòng)（damped vibration）,振幅隨時(shí)間減

6、小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。,1. 阻尼模型,摩擦阻尼：,摩擦阻力使振動(dòng)系統(tǒng)能量逐漸轉(zhuǎn)化為熱能,輻射阻尼：,振動(dòng)系統(tǒng)引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使系統(tǒng)能量逐漸向四周輻射,阻尼模型, 稱為阻尼系數(shù),條件：適用于物體低速運(yùn)動(dòng)情況,20,2. 阻尼振動(dòng)方程,以彈簧振子為例,阻尼振動(dòng) 微分方程,或?qū)憺?定義固有角頻率0和阻尼因子，有,21,通解：,（1）欠阻尼振動(dòng),令,A 與 由初始條件確定,方程的解可寫成,3. 三種阻尼形式,這時(shí)是準(zhǔn)周期性振動(dòng):,22,由通解,兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動(dòng)，不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長時(shí)間。,（2）過阻尼振動(dòng),（3）臨界阻尼振動(dòng),方程解, 衰減函數(shù),23,

7、臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過平衡位置。,三種阻尼振動(dòng)比較,欠阻尼,過阻尼,臨界阻尼,24,彈性力,阻尼力,驅(qū)動(dòng)力,二、受迫振動(dòng)（forced vibration）,物體在周期性外力持續(xù)作用下發(fā)生振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)，這個(gè)外力稱為驅(qū)動(dòng)力,以彈簧振子為例，振子受力有,則運(yùn)動(dòng)方程是,25,式中,受迫振動(dòng)方程的解為,此式表明：,第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長時(shí)衰減為0。,第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的簡諧運(yùn)動(dòng)。,當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，方程的解是,26,穩(wěn)定的受迫振動(dòng)是一個(gè)與驅(qū)動(dòng)力同頻率的余弦振動(dòng)，其振幅和初相是,27,二、共振（resonance）,當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)振

8、幅急劇達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為共振，其頻率稱為共振頻率。,由表達(dá)式,利用關(guān)系,28,共振頻率與系統(tǒng)自身性質(zhì)和阻尼常數(shù)有關(guān)。,相應(yīng)的最大振幅和共振頻率是,共振危害；,共振利用。,29,證明：在小角度下單擺作簡諧運(yùn)動(dòng)。,證明:,1、細(xì)線質(zhì)量不計(jì),3、阻力不計(jì),質(zhì)點(diǎn)重力矩：,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩：,由動(dòng)量矩定理,30,方程的解是：,其中，單擺的周期是,31,1. 、 的確定：,2. (結(jié)合周期T,結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量法) ：,3.振動(dòng)方程：,4.振動(dòng)合成：,5.振動(dòng)能量：,32,一水平彈簧振子做簡諧振動(dòng)，振幅A=410-2m，周期T=2s，t=0時(shí)，,試分別寫出這兩種情況下的振動(dòng)方程。,解：1 由初始條件,1 ，且向負(fù)方

9、向運(yùn)動(dòng)；,2 ，且向正方向運(yùn)動(dòng)；,33,2同理：,說明：利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以更方便求解初始相位。,v0 0,v0 0,A/2,-A/2,如圖：,34,已知一簡諧振動(dòng)曲線,求振動(dòng)方程.,解: 由圖可知,t=5, x=0:,35,一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程 （SI），試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)（t=0的狀態(tài)）運(yùn)動(dòng)到x=-0.12， 0的狀態(tài)所需最短時(shí)間t。,解:由振動(dòng)方程可知,36,一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，其圓頻率 ，試寫出以下初始狀態(tài)下的振動(dòng)方程：其初始位移 ，初始速度,解：設(shè)振動(dòng)方程為：,37,位移是振幅一半時(shí), 動(dòng)能和勢(shì)能各是總能量的多少?在什么位置動(dòng)能和勢(shì)能各是總能量的一半?,解：（

10、1）x = A/2代入 中,（2）,38,彈簧振子沿x軸做簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)的最大位移xm=0.3m，最大恢復(fù)Fm=1.2N，最大速度m=1.2 ms-1。t=0時(shí)刻的初位移是 ,且方向同x軸正方向一致。,求:1振動(dòng)能量; 2振動(dòng)方程.,解:1,39,2 由初始條件,一彈簧振子沿x軸做簡諧振動(dòng)，已知其振動(dòng)的最大位移xm=0.3m，最大恢復(fù)力Fm=1.2N，最大速度m=1.2ms-1.當(dāng)t=0時(shí)的初位移 ,且方向同x軸正方向一致.求:1振動(dòng)能量; 2振動(dòng)方程.,40,求：全振動(dòng)表達(dá)式。,一物體同時(shí)參與同一直線上的兩個(gè)簡諧振動(dòng)，其方程分別為：（SI）,解：直接考察兩個(gè)振動(dòng)位相差：,41,一質(zhì)點(diǎn)在x軸做諧振動(dòng)，周期為T，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A/2處運(yùn)動(dòng)到 A處時(shí)經(jīng)歷的最短時(shí)間為 A （A） T/12 （B）T/6 （C）T/8（D） T/24,解：,x,42,一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程 為(SI)，從t=0時(shí)刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在x=-2cm處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間隔為 C s。 （A） 1/8 （B）1/4 （C）1/2 （D） 1/6,解：,43,一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為 ， cm，則關(guān)于合振動(dòng)有結(jié)論 B 。 （A）振幅等于1cm，初相等于 ； （B）振