1、在第三章，求解線性代數(shù)方程的直接方法，3.1高斯消去法，3.2矩陣的三角分解，3.3三對角方程的追趕法，3.4喬萊斯基分解和改進(jìn)的喬萊斯基分解，3.5線性代數(shù)方程，自然科學(xué)和工程計(jì)算中的許多問題往往歸結(jié)為求解線性方程。如三次樣條插值函數(shù)問題、用最小二乘距離確定擬合曲線、微分方程的數(shù)值解等。最終將轉(zhuǎn)化為求解線性方程。為了求解線性方程，方程的精確解可以通過有限步算術(shù)運(yùn)算的直接方法獲得(如果在計(jì)算過程中沒有舍入誤差)。一個已知的直接解決方案是格拉姆定律。迭代法構(gòu)造一個迭代格式，并利用其極限過程逐步逼近線性方程的精確解。設(shè)線性方程組為，或?qū)懗删仃囆问剑蚝唵蔚貙懗桑?.1高斯消去法3.1.1對角方程組

2、的三角形方程組的解，如果為，則Xi=bi/AII，I=1，2，n。下三角方程，運(yùn)算量：因?yàn)閤i需要I倍的乘法和除法，所以上三角方程，運(yùn)算量：因?yàn)閤i需要n -i倍的乘法和1倍的除法，也就是N-I倍的乘法和除法，所以3.1.2高斯消去法和列主成分消去法消去法的基本思想是通過初等變換把一般的線性方程變換成等價(jià)的且容易求解的三角方程。高斯消元法高斯消元法是一種求解線性方程組的古老方法，它通過一系列初等變換(消元)將線性方程組(3.1)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的上三角方程組(3.5)，然后通過逆生成法得到原方程組的解。等價(jià)于(3.1)的上三角方程可以通過重復(fù)上述過程來獲得，或者以矩陣形式A(n-1)x=b(n-1)

3、來書寫，其中，一致認(rèn)為(3.1)的解可以通過將(3.8)逐一代入高斯消去算法來獲得。消去過程：乘法：除法：反推過程：計(jì)算量：高斯消去的限制：在高斯消去過程中，我們假設(shè)對角元素每次消去都是按照未知量的自然順序進(jìn)行的，順序消去并不改變a的主子形式的值，所以高斯消去的充要條件是a的每階主子形式都不為零。事實(shí)上，只要有0，方程組就有解。2.即使高斯消去法是可行的，如果它很小，在運(yùn)算中用它作為分母將會導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量的嚴(yán)重增加和舍入誤差的擴(kuò)散。在例3.1中，方程組的精確解是x1=1/3，x2=2/3。計(jì)算5個有效數(shù)字。解的消元順序：交換方程的順序：高斯消元后：列主成分消元法，稱為高斯消元過程中的主成分。

4、如果選擇模數(shù)最大的元素作為列中的主元素，并將其替換到主方程的位置，然后將其消除，則稱為列主成分消除法。具體來說，第一步是選擇第一列中絕對值最大的元素，交換第一行和第m行中的所有元素，然后進(jìn)行消去操作。在第二步中，在每個k=1、2和n被消除之前，具有最大絕對值的元素被選擇，并且k線和m線被交換，然后被消除。與高斯消去法相比，列主成分消去法只增加了選擇列主成分和交換兩個方程(即兩行元素)的過程。因此，在高斯消去算法中加入主成分選擇和交換過程就足夠了。選擇主成分的三角分解：3.2矩陣，用矩陣乘法解釋高斯消去過程，取n=4。將(3.1)轉(zhuǎn)換成等式(3.6)的過程相當(dāng)于L1A=A(1)，L1b=b(1)

5、，也就是說，將(3.6)轉(zhuǎn)換成等式(3.7)的過程相當(dāng)于L2a (1)=A (2)，L2b (1)=B (1)。該過程導(dǎo)致用于求解線性等式的直接分解方法。一旦實(shí)現(xiàn)了A=LU，Ax=b就可以變成LUx=b.假設(shè)Ux=y，那么ly=b。Y由Ly=b求解(3.4)；x由Ux=y(即(3.5)求解。如果A的各階主子公式不為零，可以實(shí)現(xiàn)如下：杜利特爾分解：如果L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣；庫朗分解：如果l是下三角矩陣，u是單位上三角矩陣。3.2.1杜利特爾分解法，讓A的每階主子公式為非零，并將A分解為A=LU，即首先計(jì)算U的元素，然后計(jì)算L的元素：第一行U，第一列L，然后計(jì)算第二行U的元素；計(jì)算L

6、的第二列元素；計(jì)算U的第k個元素：計(jì)算L的第k個元素：Ax=b計(jì)算A=LUx=b分解的運(yùn)算量：從(3.17)，計(jì)算U的第二行中的n-1個元素：(n-1)1(1項(xiàng)的乘積)第三行中的n-2個元素：(n-2)2(2項(xiàng)的乘積)第n行中的1個元素：讓Ux=y，然后ly=b。Yi:由Ly=b(即(3.4)求解Doritos直接分解算法：輸入：n，a，b，計(jì)算u的第k行元素和l的第k列元素；例3.2用多里托斯分解法解方程：讓A=LU被解。與Dolly分解方法類似，對于k=1，2和n，如果實(shí)現(xiàn)了A=LU，Ax=b可以轉(zhuǎn)化為lux=b。讓Ux=y，那么ly=b。Yi :由Ly=b求解，xi:由UX=y求解。注意

7、：為了保證LU分解，要求A的所有階主子公式都不為零，并且線性方程有解，只需要|A| 0。為了取消這一限制，采用了相似列主成分消除法。Courand列主成分直接分解算法輸入：n，A，b計(jì)算l的第k列元素和u的第k行元素，例3.3利用Courand分解求解方程：求解A=LU，即求解下三角方程Ly=b，即求解(單位)上三角方程Ux=y，即3.3求解三對角方程的追趕法考慮三對角矩陣3360， 并且從庫朗分解中的(3.22)和(3.23)的直接計(jì)算中很容易知道，L和U有以下形式：比較A=LU兩邊的元素，通過規(guī)定c1=0，我們可以得到ui和vi的計(jì)算公式； 考慮Ax=f，其中A是(5.26)形式的三對角矩

8、陣。假設(shè)Ux=y，那么l y=f。一致認(rèn)為c1=0，vn=0，結(jié)合(3.27)和(3.28)，可以得到求解三對角系數(shù)矩陣線性方程的計(jì)算公式，而計(jì)算公式(3.29)和(3.30)稱為追趕法。定理1如果A是一個對稱矩陣，那么多莉分解A=LU可以表示。證明了定理1中的引理A是正定的，那么對角矩陣D中的元素不是負(fù)的。定理2如果A是一個對稱正定矩陣，有一個下三角矩陣U，所以A=UUT。(喬萊斯基分解)證明：因?yàn)锳是對稱的，所以從定理1可以知道，其中L是單個下三角矩陣，D是對角矩陣。如果A是正定的，由引理可知D中的元素不是負(fù)的。記住，通過矩陣的乘法，我們可以得到在A=LDLT中分解L和D的元素：讓我取i=

9、k，然后我們可以求解方程組Ax=b，并成為LDL TX=B。對稱矩陣的LDLT分解算法：注：數(shù)據(jù)輸入和求解三角方程的步驟被省略。例3.4用LDLT解出方程，所以Ax=b LDLTx=b解出方程如下：3.5根據(jù)計(jì)算機(jī)上的數(shù)學(xué)公式對線性代數(shù)方程編程是否能得到正確的結(jié)果？研究示例：求解線性方程組，其精確解為x1=x2=x3=1。如果方程組的系數(shù)四舍五入到兩位有效數(shù)字，其解為x1=-6.222.x2=38.25 x3=-33.65.諾姆。在實(shí)軸上，任意兩點(diǎn)A和B之間的距離可以表示為絕對值| ab |三維空間中向量長度的向量范數(shù)用來度量向量的大小，這是三維空間中向量長度概念的一個推廣。向量范數(shù)的定義定義

10、了任意向量x=(x1，x2，xn) trn，它根據(jù)一定的規(guī)則對應(yīng)于非負(fù)實(shí)數(shù)，并被記錄為x，如果：(1)非負(fù)x=0；并且x=0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí));(2)齊次xRn，r，其中x=| a | x(3)三角不等式稱X為向量X的范數(shù)，即Rn中常用的定義形式：讓x=(x1，x2，xn)T，1-范數(shù)：x1=|x1| |x2| |xn|=2-范數(shù)：x2=-范數(shù)：x=max | x1 |，|x2|，|xn|。例如，x=(1，-1，0)，顯然，x=0，但x0。示例2 x=(1，3，-5)是已知的，并且獲得了1，2，-范數(shù)。x1=1 3 5=9；x2=(12 32 52)1/2；X=max1，3，|-5|=5。模

11、的等價(jià)和等價(jià)定理，把和定義為Rn上定義的兩種模，如果C2的C1C1有非負(fù)常數(shù)，那么和就叫做Rn上的等價(jià)模。定理1有限維空間Rn中的所有范數(shù)都是等價(jià)的。易于驗(yàn)證：(1)X2x 1N 1/2x 2；(2)xx2 n1/2x；(3)xx1 nx .這三個規(guī)范是相互等價(jià)的，而且證明表明：(1)第一個公式是由x12 x22 xn2(|x1| |x2| | xn|) 2建立的。第二個公式由(| x1 | | x2 | | xn |)2n(| x1 | 2 | x2 | 2 | xn | 2)建立。向量范數(shù)的收斂性定義了如果向量序列x(k) Rn和向量xRn滿足，那么x(k)收斂到x(根據(jù)范數(shù))，并且注意到

12、定理2 Rn中向量序列x(k)收斂到x(根據(jù)范數(shù))的充要條件是在例子3中找到向量序列的極限向量。解：矩陣范數(shù)，定義讓ARnn是N階的實(shí)矩陣，按照一定的規(guī)則對應(yīng)一個非負(fù)實(shí)數(shù)，并記錄為A。如果A，BRnn滿足：(1)非負(fù)性：A=0；并且當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)，A=0；(2)同質(zhì)性：A=| | A，C；(3)三角不等式：(4)甲乙雙方；(5)兼容性：Ax，Ax，Rn；矩陣范數(shù)可以用向量范數(shù)來定義。設(shè)ARnn為n階實(shí)矩陣，將矩陣范數(shù)定義為三個公共矩陣范數(shù)：(1)(列向量范數(shù)的最大值)(2)(行向量范數(shù)的最大值)(3)(其中1是ATA的最大特征值)、歐幾里德范數(shù)或舒爾范數(shù)：定義為例4解：a1=max | 1 | 3，27；a=最大|1| 2，3 710；ATA的特征值為1=60.19，2=2.81 A2=11/2=60.191/2，AE=(1 4 9 49)1/2=631/2。定義了矩陣范數(shù)的收斂性。如果n階矩陣序列A(k) Rnn和矩陣ARnn滿足，那么A(k)收斂到A(根據(jù)范數(shù))。注意，定理3中矩陣序列A(k)收斂到矩陣A的充要條件是(A(k)=(aij(k)nn，A=(aij)nn。2，n，矩矩陣的譜半徑由2-范數(shù)定義，譜半徑與矩陣范數(shù)的關(guān)系