1、1.對稱的概念。晶體3中允許的對稱操作。晶體宏觀對稱性的表達(dá)：點(diǎn)群4。七個晶體系統(tǒng)和14個晶格。晶體的微觀對稱性：空間群6。點(diǎn)群對稱性與晶體的物理性質(zhì)。除了晶格，還有什么語言可以方便地描述晶體的結(jié)構(gòu)？1.2對稱和格子的分類，對稱操作：保持整個物體不變的操作稱為對稱操作。也就是說，在操作前后，對象的任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變。點(diǎn)對稱操作：在對稱操作過程中至少有一點(diǎn)保持不動的操作。有限大小的物體只能對稱操作。對稱元素：在對稱操作期間保持不變的幾何特征：點(diǎn)、反轉(zhuǎn)中心；線，旋轉(zhuǎn)軸；表面、反射面等。對稱的概念：一個物體(或圖形)具有對稱性，這意味著該物體(或圖形)由兩個或多個部分組成，經(jīng)過一定的空間運(yùn)算

2、(線性變換)，整個物體(或圖形)在每個部分改變其位置后保持不變。如何科學(xué)地總結(jié)和區(qū)分四種圖形的對稱性？從旋轉(zhuǎn)的角度來看，圓對于圍繞中心的任何旋轉(zhuǎn)都是不變的；正方形只能旋轉(zhuǎn)以保持不變；只有最后兩個數(shù)字的旋轉(zhuǎn)。圓的任何直徑都是對稱線；一個正方形只有四條連線是對稱的；只有等腰梯形兩個底部中心之間的連線是對稱的。以上，為了研究對象在某些幾何變換下的不變性，所使用的幾何變換(旋轉(zhuǎn)和反射)是正交變換，以保持兩點(diǎn)之間的距離不變：其中Aij是正交矩陣。從解析幾何可知，正交變換符合繞軸旋轉(zhuǎn)和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角度，數(shù)學(xué)上可以寫成：反演：(反演)，反射，恒等式運(yùn)算，(Z=0平面)，對稱運(yùn)算有兩個符號，這里使用國際符號。

3、如果一個對象在正交變換下保持不變，我們稱這種變換為對象的對稱運(yùn)算。一個物體的對稱操作越多，它的對稱性就越高。立方體有很高的對稱性，它有48個對稱操作：它可以繞身體的4條對角線旋轉(zhuǎn)，總共有8個對稱操作；它可以圍繞三個立方體旋轉(zhuǎn)，總共進(jìn)行九次對稱操作；它可以圍繞6條邊的對角線旋轉(zhuǎn)，共6次對稱操作；總共有24個相同的操作。立方體的中心是中心反轉(zhuǎn)，所以在加上中心反轉(zhuǎn)后，上面的每個操作仍然是對稱操作，所以立方體有48個對稱操作。通過仔細(xì)分析，可以看出正四面體只允許24種對稱運(yùn)算；正六邊形柱只有24個對稱運(yùn)算，它們不像立方體那樣對稱。請考慮一下它們的對稱操作？從數(shù)學(xué)上來說，一個群代表一組元素，這些元素被賦

4、予一定的乘法規(guī)則，并滿足以下性質(zhì)：如果是，那么它就是群的閉包。有一個單位元素E，所以所有元素都滿足AE=任意元素A，還有一個逆元素：AA-1=E，它滿足關(guān)聯(lián)定律：A(BC)=(AB)C，對稱運(yùn)算群：一個對象的所有對稱運(yùn)算的集合，它構(gòu)成一個對稱運(yùn)算群。要描述一個對象的對稱性，必須找出該對象的所有對稱運(yùn)算，即找出其對稱運(yùn)算群。一個對象的所有對稱運(yùn)算的集合，它也滿足群的上述定義。算法是連續(xù)運(yùn)算，固定運(yùn)算是單位元。注意：在解釋一個物體的對稱性時，為了簡單起見，有時沒有必要一一列出所有的對稱運(yùn)算，而是指出它的對稱元素。如果一個物體繞某一軸旋轉(zhuǎn)，而它的多個物體保持不變，這就叫做N軸旋轉(zhuǎn)，它被記錄為N；如果

5、一個物體繞某個軸旋轉(zhuǎn)進(jìn)行反演，并旋轉(zhuǎn)其倍數(shù)進(jìn)行反演，當(dāng)該物體保持不變時，這個軸稱為N旋轉(zhuǎn)反演軸，它被記錄為。立方體的對稱元素是：正四面體的對稱元素是：但這并不明顯。枚舉系統(tǒng)晶體中允許的對稱操作長期以來，人們一直指出晶體的形狀(宏觀)對稱是其原子周期性排列的結(jié)果。原子排列的周期性用晶格來表示。晶體本身在對稱操作后保持不變，其晶格在對稱操作后應(yīng)該保持不變，這限制了晶體可能的點(diǎn)對稱操作的數(shù)量?？梢宰C明，無論任何晶體，其宏觀對稱元素最多只能有10種對稱元素，表明它是反射面M，而不是獨(dú)立的。八種說法指：對稱操作符號。除了上面使用的國際符號之外，通常還使用雄富力符號。旋轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)軸的對稱操作：第一個反軸是對稱

6、中心；第二反軸是對稱平面；三階反軸為三階軸加對稱中心，旋轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)軸的對稱運(yùn)算為：六階反軸為三階軸加對稱平面；四個反軸可以獨(dú)立存在。見黃昆書第30頁。晶體中只有2、3、4和6個軸，但沒有5個軸和超過6個軸?？梢灾庇^地理解，只有正方形、矩形、正三角形和正六邊形可以重復(fù)填充平面，而五邊形和n (6)邊不能填充平面空間。因此，人們普遍認(rèn)為固體中不可能有五次軸。然而，1984年，美國科學(xué)家謝赫曼在結(jié)晶學(xué)中發(fā)現(xiàn)了被禁的二十面體的五次對稱，這是對傳統(tǒng)晶體概念的沖擊。二十面體的對稱性，黃昆書，第47頁。目前，人們普遍認(rèn)為晶體的必要條件是它構(gòu)成原子的長程有序，而不是平移對稱。五次對稱準(zhǔn)晶屬于原子位置順序嚴(yán)格但沒有

7、平移對稱性的晶體。它的形象可以從二維彭羅斯拼圖中理解。實(shí)際上，它是一種準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，是周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的材料形式。見峰端書p72，這是黃金的比例。3.晶體宏觀對稱性的表述：點(diǎn)群：晶體中只有八個獨(dú)立的對稱元素：C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、(m)，實(shí)際晶體的對稱性是來自上述八個獨(dú)立點(diǎn)的對稱元素，對稱軸之間的夾角和對稱軸的數(shù)量將受到嚴(yán)格限制。例如，如果有兩個2軸軸，它們之間的夾角只能是，并且可以證明總共只有32種不同的組合，稱為32點(diǎn)組。就宏觀對稱性而言，各種晶體只有32種，每種晶體都必須屬于這32個點(diǎn)群中的一個，這是根據(jù)晶體的對稱

8、性對其進(jìn)行分類的第一步。7種晶體系統(tǒng)和14種布朗菲晶格：在1.1中，我們討論了晶體的周期性，現(xiàn)在我們分析了晶體的宏觀對稱性，這是晶體中原子有序排列所反映的兩個相互關(guān)聯(lián)和相互制約的方面。任何晶體都具有以晶格為代表的基本周期性，由此我們導(dǎo)出了晶體宏觀對稱的32種點(diǎn)群。現(xiàn)在我們反過來問這個問題，如果晶體有一些宏觀對稱性，它應(yīng)該有什么樣的晶格？也就是說，如果要求晶格的陣列矢量具有某個點(diǎn)群的對稱性，那么它的基矢量應(yīng)該滿足什么樣的要求呢？首先，通過分析發(fā)現(xiàn)，一些不同的點(diǎn)群之間有一些共同的特征，例如，三個四面體群和兩個八面體群都包含四個三軸，可以歸類為包含上述五個點(diǎn)群的晶體系統(tǒng)。通過類比，根據(jù)某些特征對稱元

9、素，32種點(diǎn)群可以合并成7個晶系。這是晶體對稱性的一個更一般的分類。對應(yīng)于這七個晶體系統(tǒng)的晶格和選定的晶格原始細(xì)胞(通過選擇晶體軸的相對取向)也應(yīng)該反映這些晶體系統(tǒng)的對稱性，我們稱之為習(xí)慣細(xì)胞。它們都是簡單的格子。例如，簡單的立方晶格包含四個3軸和三個4軸，它們可以代表立方系統(tǒng)的單元。因此，下表顯示了七種晶體系統(tǒng)的名稱及其對晶胞的要求和包含的點(diǎn)群類型。除了第一軸或中心反轉(zhuǎn)，三斜線沒有其他對稱元素。單斜單斜具有最高對稱元素，即二次軸或鏡正交，以及最高對稱元素，即兩個以上的二次軸或鏡。4.四方正方具有最高的對稱元素，即四次軸或四次反軸立方立方體。Ic有四個立方三角(菱面體)最高對稱，具有唯一的立方

10、軸或立方反軸。六邊形最高對稱，具有唯一的第六軸或第六反軸，以及14種布拉瓦晶格：根據(jù)晶體的對稱特性，我們把晶體分成七個晶系，每個晶系都有一個能反映其對稱特性的晶胞，每個晶胞的末端都有一個晶格點(diǎn)。現(xiàn)在，考慮到將陣列點(diǎn)添加到原始單元中心、面中心和單面中心的可能性，新圖像必須滿足平移對稱性和晶體系統(tǒng)對稱性的要求，并且它不同于上述七個簡單的晶格。結(jié)果，給出了7種新的晶格類型，因此有14種晶格既能反映平移對稱性，又能反映它們所屬的晶體系統(tǒng)的對稱性特征，它們的常規(guī)晶格如下頁所示：簡單晶格；c:底部中心網(wǎng)格；I:身體中心網(wǎng)格；f:面心型晶格，三角體系的菱形原始細(xì)胞用r表示。任何一種晶體對應(yīng)的晶格都是14種晶

11、格之一。指出晶體所屬的晶格類型不僅表征了晶格的周期類型，而且可以從晶體所屬的晶體系統(tǒng)中知道晶體宏觀對稱性的基本對稱性。然而，為了徹底闡明晶體結(jié)構(gòu)，我們不僅要確定晶格類型，還要知道原子在本原中的類型、數(shù)量、相對取向和位置，并畫出含有本原內(nèi)容的慣用晶格單元。然而，一些相對簡單的晶體在確定其晶格類型和晶胞參數(shù)后，可以完全掌握其結(jié)構(gòu)，如銅；si；氯化鈉。CsCl。硫化鋅等。14種晶格有自己的慣用細(xì)胞，也可以選擇自己的原始細(xì)胞和基礎(chǔ)載體。每個格可以用其基向量表示的格向量來表示：每個格的所有平移向量之和構(gòu)成一個平移操作組。因此，晶體有14個平移操作組。用于恢復(fù)晶體的所有旋轉(zhuǎn)和平移操作組的集合構(gòu)成空間組。晶

12、體的微觀對稱性：在晶體的微觀結(jié)構(gòu)中，必須考慮與平移相關(guān)的空間群、對稱元素。平移操作和平移軸。2.螺桿旋轉(zhuǎn)和螺桿軸。3.滑動反射和滑動面有32種點(diǎn)群，加上這3種可能的運(yùn)算可以導(dǎo)出230種空間群?？臻g群是晶體對稱性的一個更詳細(xì)的分類，它反映了晶體中原子的位置和環(huán)境特征，對于深入分析晶體性質(zhì)非常重要。就其對稱性而言，有230種晶體結(jié)構(gòu)，這是理論分析的結(jié)果。到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)幾十個具體的晶體例子。除了常見的三個空間維度(即位置坐標(biāo))，還可以考慮具有不連續(xù)性的另一個維度，例如原子上下自旋。此時，這個空間的對稱群稱為色群，理論分析中應(yīng)該有1651種類型。(見馮端書p51-52)。六.點(diǎn)群的對稱性和晶體的物理性質(zhì)：物體的物理性質(zhì)通常由兩個物理量之間的關(guān)系來定義。例如，下面的關(guān)系分