1、專題14 閱讀理解問題1（2017河北?。τ趯崝?shù)，我們用符號表示，兩數(shù)中較小的數(shù)，如，因此 ；若，則 【答案】；2或-1考點：1新定義；2實數(shù)大小比較；3解一元二次方程-直接開平方法三、解答題2（2017四川省達(dá)州市）設(shè)A=（1）化簡A；（2）當(dāng)a=3時，記此時A的值為f（3）；當(dāng)a=4時，記此時A的值為f（4）；解關(guān)于x的不等式：，并將解集在數(shù)軸上表示出來【答案】（1） ；（2）x4【解析】試題分析：（1）根據(jù)分式的除法和減法可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以解答題目中的不等式并在數(shù)軸上表示出不等式的解集試題解析：（1）A= =；（2）a=3時，f（3）=，a=4時，f（4）=，a

2、=5時，f（5）=，即，解得，x4，原不等式的解集是x4，在數(shù)軸上表示如下所示：考點：1分式的混合運(yùn)算；2在數(shù)軸上表示不等式的解集；3解一元一次不等式；4閱讀型；5新定義3（2017四川省達(dá)州市）探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標(biāo)公式：，（1）請你幫小明寫出中點坐標(biāo)公式的證明過程；運(yùn)用：（2）已知點M（2，1），N（3，5），則線段MN長度為 ；直接寫出以點A（2，2），B（2，0），C（3，1），D為頂點的平行四邊形頂點

3、D的坐標(biāo)： ；拓展：（3）如圖3，點P（2，n）在函數(shù)（x0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請在OL、x軸上分別找出點E、F，使PEF的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值【答案】（1）答案見解析；（2）；（3，3）或（7，1）或（1，3）；（3）【解析】試題分析：（1）用P1、P2的坐標(biāo)分別表示出OQ和PQ的長即可證得結(jié)論；（2）直接利用兩點間距離公式可求得MN的長；分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式可求得D點坐標(biāo)；試題解析：（1）P1（x1，y1），P2（x2，y2），Q1Q2=OQ2OQ1=x2x1，Q1Q=，OQ=OQ1+Q1Q=x1+

4、= ，PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線，PQ= =，即線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標(biāo)公式為x=，y=；（2）M（2，1），N（3，5），MN=，故答案為：；A（2，2），B（2，0），C（3，1），當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標(biāo)為（0，1），設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（1）=2，解得x=3，y=3，此時D點坐標(biāo)為（3，3），當(dāng)AC為對角線時，同理可求得D點坐標(biāo)為（7，1），當(dāng)BC為對角線時，同理可求得D點坐標(biāo)為（1，3），綜上可知D點坐標(biāo)為（3，3）或（7，1）或（1，3），故答案為：（3，3）或（7，1）或（1，3）；（3）如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M，

5、關(guān)于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點F，又對稱性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN，PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，此時PEF的周長即為MN的長，為最小，設(shè)R（x，），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，=2，解得x=（舍去）或x=，R（，），解得n=1，P（2，1），N（2，1），設(shè)M（x，y），則=， =，解得x=，y=，M（，），MN= =，即PEF的周長的最小值為考點：1一次函數(shù)綜合題；2閱讀型；3分類討論；4最值問題；5探究型；6壓軸題4（2017山東省棗莊市）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解

6、：n=pq（p，q是正整數(shù)，且pq），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解并規(guī)定：F（n）=例如12可以分解成112，26或34，因為1216243，所以34是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1xy9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的

7、最大值 【答案】（1）證明見解析；（2）15，26，37，48，59；（3）【解析】試題分析：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可；（3）利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進(jìn)而確定出F（t）的最大值即可試題解析：（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），|nn|=0，nn是m的最佳分解，對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；（2）設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t，則t=10y+x，t是“吉祥數(shù)”，tt=（10y+x）（10x+y）=9（yx）=36，y=x+4，1xy9，x，y為自然數(shù)，滿足“吉祥數(shù)”

8、的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F(xiàn)（26）=，F(xiàn)（37）=，F(xiàn)（48）=，F(xiàn)（59）=，所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為考點：1因式分解的應(yīng)用；2新定義；3因式分解；4閱讀型5（2017山東省濟(jì)寧市）定義：點P是ABC內(nèi)部或邊上的點（頂點除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一個三角形與ABC相似，則稱點P是ABC的自相似點例如：如圖1，點P在ABC的內(nèi)部，PBC=A，PCB=ABC，則BCPABC，故點P是ABC的自相似點請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題：在平面直角坐標(biāo)系中，點M是曲線（x0）上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點（1）如圖2

9、，點P是OM上一點，ONP=M，試說明點P是MON的自相似點；當(dāng)點M的坐標(biāo)是（，3），點N的坐標(biāo)是（，0）時，求點P的坐標(biāo)；（2）如圖3，當(dāng)點M的坐標(biāo)是（3，），點N的坐標(biāo)是（2，0）時，求MON的自相似點的坐標(biāo)；（3）是否存在點M和點N，使MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）【解析】試題分析：（1）由ONP=M，NOP=MON，得出NOPMON，證出點P是MON的自相似點；過P作PDx軸于D，則tanPOD= =，求出AON=60，由點M和N的坐標(biāo)得出MNO=90，由相似三

10、角形的性質(zhì)得出NPO=MNO=90，在RtOPN中，由三角函數(shù)求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；（2）作MEx軸于H，由勾股定理求出OM=，直線OM的解析式為y=x，ON=2，MOH=30，分兩種情況：作PQx軸于Q，由相似點的性質(zhì)得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的縱坐標(biāo)即可；求出MN=2，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出PN=，在求出P的橫坐標(biāo)即可；（2）作MEx軸于H，如圖3所示：點M的坐標(biāo)是（3，），點N的坐標(biāo)是（2，0），OM= =，直線OM的解析式為y=x，ON=2，MOH=30，分兩種情況：如圖3所示：P是MON的相似點，PONNOM，作PQx軸于Q，PO=PN，OQ=O

11、N=1，P的橫坐標(biāo)為1，y=1=，P（1，）；如圖4所示：由勾股定理得：MN=2，P是MON的相似點，PNMNOM，即，解得：PN=，即P的縱坐標(biāo)為，代入y=x得： =x ，解得：x=2，P（2，）；綜上所述：MON的自相似點的坐標(biāo)為（1，）或（2，）；（3）存在點M和點N，使MON無自相似點，M（，3），N（，0）；理由如下：M（，3），N（，0），OM=ON，MON=60，MON是等邊三角形，點P在ABC的內(nèi)部，PBCA，PCBABC，存在點M和點N，使MON無自相似點考點：1反比例函數(shù)綜合題；2閱讀型；3新定義；4存在型；5分類討論；6壓軸題6（2017江蘇省鹽城市）（探索發(fā)現(xiàn)】如圖，是

12、一張直角三角形紙片，B=60，小明想從中剪出一個以B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 【拓展應(yīng)用】如圖，在ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 （用含a，h的代數(shù)式表示）【靈活應(yīng)用】如圖，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積 【實際應(yīng)用】如圖，現(xiàn)

13、有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】1944【拓展應(yīng)用】：由APNABC知，可得PN=aPQ，設(shè)PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN，據(jù)此可得；【靈活應(yīng)用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K，由矩形性質(zhì)知AE=EH20、CD=DH=16，分別證AEFHED、CDGHDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

14、利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；【實際應(yīng)用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EHBC于點H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，繼而求得BE=CE=90，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得試題解析：【探索發(fā)現(xiàn)】EF、ED為ABC中位線，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90，四邊形FEDB是矩形，則 =，故答案為：；【拓展應(yīng)用】PNBC，APNABC，即，PN=aPQ，設(shè)PQ=x，則S矩形PQMN=PQPN=x（ax）= =，當(dāng)PQ=時，S矩形PQMN最大值為，故答案為：；【靈活應(yīng)用】如圖1，延長BA、DE

15、交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K，由題意知四邊形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中，F(xiàn)AE=DHE，AE=AH，AEF=HED，AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI=（AB+AF）=24，BI=2432，中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，過點K作KLBC于點L，由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為BGBF=（40+20）（32+16）=720，答：該矩形的面積為720；【實際應(yīng)用】如圖2，延長BA、CD

16、交于點E，過點E作EHBC于點H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=54=72cm，在RtBHE中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中點Q在線段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中點P在線段CD上，中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2答：該矩形的面積為1944cm2考點：1四邊形綜合題；2閱讀型；3探究型；4最值問題；5壓軸題7（2017江蘇省連云港市）問題呈現(xiàn)：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD

17、的邊AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求證：（S表示面積）實驗探究：某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AHBF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1如圖2，當(dāng)AHBF時，若將點G向點C靠近（DGAE），經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S如圖3，當(dāng)AHBF時，若將點G向點D靠近（DGAE），請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由遷移應(yīng)用：請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題：（1）如圖4，點E、F、G

18、、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AHBF，AEDG，S四邊形EFGH=11，HF=，求EG的長（2）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE=1，DH=2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG=，連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值【答案】問題呈現(xiàn)：；實驗探究：；遷移應(yīng)用：（1）EG=；（2）【解析】試題分析：問題呈現(xiàn)：只要證明SHGE=S矩形AEGD，同理SEGF=S矩形BEGC，由此可得S四邊形EFGH=SHGE+SEFG=S矩形BEGC；實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD根據(jù)=， =， =，

19、 =，即可證明；遷移應(yīng)用：（1）利用探究的結(jié)論即可解決問題（2）分兩種情形探究即可解決問題試題解析：問題呈現(xiàn)：證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABCD，A=90，AE=DG，四邊形AEGD是矩形，SHGE=S矩形AEGD，同理SEGF=S矩形BEGC，S四邊形EFGH=SHGE+SEFG=S矩形BEGC實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD理由： =， =， =， =，S四邊形EFGH=+，2S四邊形EFGH=2+2+2+22，2S四邊形EFGH=S矩形ABCD遷移應(yīng)用：解：（1）如圖4中，2S四邊形EFGH=S矩形ABCD， =25211=3=A1B1A1D1，正方形的面積

20、為25，邊長為5，A1D12=HF252=2925=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=（2）2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大如圖51中，當(dāng)G與C重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大此時矩形A1B1C1D1面積=1（2）=如圖52中，當(dāng)G與D重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大此時矩形A1B1C1D1面積=21=2，2，矩形EFGH的面積最大值=考點：1四邊形綜合題；2最值問題；3閱讀型；4探究型；5壓軸題8（2017浙江省臺州市）在平面直角坐標(biāo)系中

21、，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根比如對于方程，操作步驟是：第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1）；第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個實數(shù)根（1）在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；（2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程的一個實數(shù)根；（3）

22、上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a0，0）的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo)；（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對，一般地，當(dāng)m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點？【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）A（0，1），B（，）或A（0，），B（，c）等；（4），=【解析】試題分析：（1）根據(jù)“第四步”的操作方法作出點D即可；（3）方程（a0）可化為，模仿研究小組作法可得一對固定點的坐標(biāo)；（4）先設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)，可得，最后比較

23、系數(shù)可得m1，n1，m2，n2與a，b，c之間的關(guān)系試題解析：（1）如圖所示，點D即為所求；（2）如圖所示，過點B作BDx軸于點D，根據(jù)AOC=CDB=90，ACO=CBD，可得AOCCDB，m（5m）=2，m是方程的實數(shù)根；（4）如圖，P（m1，n1），Q（m2，n2），設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得，上式可化為，又，即，比較系數(shù)可得，=考點：1三角形綜合題；2一元二次方程的解；3相似三角形的判定與性質(zhì)；4閱讀型；5操作型；6壓軸題9（2017浙江省紹興市）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，ABC=90

24、若AB=CD=1，ABCD，求對角線BD的長若ACBD，求證：AD=CD；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長【答案】（1）；證明見解析；（2）5或6.5【解析】試題分析：（1）只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；只要證明ABDCBD，即可解決問題；試題解析：（1）AB=AC=1，ABCD，S四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，四邊形ABCD是菱形，ABC=90，四邊形ABCD是正方形，BD=AC=（2）如圖1中，連接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，則AEEF，BFEF，四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=