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文檔簡介

1、,一、弧微分,二、曲率及其計算公式,三、曲率圓與曲率半徑,3.7 曲率,曲線的彎曲線程度與哪些因素有關. 怎樣度量曲線的彎曲程度？,一、弧微分,曲線的基點與正向 設函數f(x)在區(qū)間(a b)內具有連續(xù)導數 在曲線yf(x)上取固定點M0(x0 y0)作為度量弧長的基點 并規(guī)定依 x 增大的方向作為曲線的正向,s0,s0,顯然 弧 s 是 x 的單調增加函數 ss(x),一、弧微分,弧微分公式 設x xDx為(a b)內兩個鄰近的點 它們在曲線yf(x)上的對應點為M N 并設對應于x的增量Dx 弧 s 的增量為Ds.,因為當Dx0時 Ds MN 又Dx與Ds同號 所以,由此得弧微分公式:,二

2、、曲率及其計算公式,提示： 可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.,觀察與思考： 觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關. 怎樣衡量曲線的彎曲程度？,平均曲率：,曲率：,曲率 設曲線C是光滑的 曲線上點M對應于弧s 在點M處切線的傾角為a 曲線上另外一點N對應于弧sDs 在點N處切線的傾角為aDa ,曲率：,曲率的計算公式,設曲線C的方程為yf(x) 且f(x)具有二階導數 因為tan ay 所以 sec 2adaydx,曲率的計算公式,例1 計算等邊雙曲線xy1在點(1, 1)處的曲率.,曲率的計算公式：,曲線在點(1 1)處的曲率為,因此y|x11 y|x12,解,例2

3、 拋物線yax2bxc上哪一點處的曲率最大？,解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得,顯然 當2axb0時曲率最大,因此 拋物線在頂點處的曲率最大 此處K|2a|,曲率的計算公式：,討論：,提示：,1. 設直線方程為y=ax+b, 則y=a, y= 0. 于是K=0.,3. 圓的參數方程為x=R cos t, y=R sin t .,2.,三、曲率圓與曲率半徑,上述圓叫做曲線在點M處的曲率圓 其圓心叫做曲率中心 其半徑r叫做曲率半徑,曲率與曲率半徑關系,曲率圓與曲率半徑 設曲線在點M處的曲率為K(K0).,在曲線凹的一側作一個與曲線相切于M且半徑為r=K-1的圓.,曲率圓,曲率半徑,曲率中心,例3 設工件表面的截線為拋物線y0.4x2. 現在要用砂輪磨削其內表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？,解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑,拋物線頂點處的曲率半徑為 r=K-11.25,因此, 選用砂輪的半徑不得超過1.25單位

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