1、9.8 距離 用向量法求空間距離,上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用立幾的方法求距離，我們來(lái)簡(jiǎn)單回憶一下：,點(diǎn)到平面的距離,直線到與它平行平面的距離,兩個(gè)平行平面的距離,異面直線的距離,如何用向量法求解點(diǎn)到平面的距離呢？,已知點(diǎn)P和面ABCD，,用向量法求解就得構(gòu)造向量，比如說(shuō),過(guò)P點(diǎn)作PH垂直平面并交平面于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)為所求,連AH，我們可以利用直角三角形AHP來(lái)求解PH,這樣求解對(duì)嗎？,向量間的夾角范圍是從0度到180度，而我們只要銳角，如果是鈍角的話是不可能存在直角三角形中的，故應(yīng)該為：,可是 怎么求呢？ 可以求解，可是 呢？,我們發(fā)現(xiàn)， 垂直平面ABCD， 我們可以理解成面ABCD的法向量,對(duì)點(diǎn)

2、到距離的向量公式我們可以這樣去理解：,即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)和這個(gè)平面的任何一點(diǎn)所組成向 量與此平面法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值除于法向量的模，下 面，我們用一個(gè)例題來(lái)理解一下，如何用向量來(lái)求點(diǎn)到平 面的距離,例題1：四面體SABC中，三角形ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，SA=3a，角ABC為120度角，SA垂直面ABC，求點(diǎn)A到面SBC的距離,這道題也是我們上一節(jié)課的例題，當(dāng)時(shí)求解非常的麻煩，首先要找垂線，而找垂線我們要先找垂面，再做兩垂直平面的垂線才找到，找到了垂線還要證明，證明完了還要通過(guò)一連串計(jì)算才把點(diǎn)到平面的距離求解出來(lái)，,今天我們用向量法來(lái)求解，那么，我們來(lái)先想想步驟應(yīng)該怎樣：,

3、1：建立空間直角坐標(biāo)系，并把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出,2：把公式中所需要的向量寫(xiě)出或求出,3：套用公式,例題1：四面體SABC中，三角形ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，SA=3a，角ABC為120度角，SA垂直面ABC，求點(diǎn)A到面SBC的距離,分析：我們首先要建立空間直角坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系，要使各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)捷化，我們一般是觀察有沒(méi)有線面垂直的情況，有的話，那條線一般標(biāo)為z軸，把面放在xoy的平面上，那么，請(qǐng)同學(xué)們思考，這道題應(yīng)該怎么樣來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系呢？,以SA所在直線為z軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建系,接下來(lái)我們就來(lái)寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo),接下來(lái)我們要求面SBC的法向量了,一個(gè)平面的法向量有很多，只要滿

4、足上面的這個(gè)等式即可，為了計(jì)算的方便，我們通常會(huì)要相對(duì)簡(jiǎn)潔的數(shù)字組成的法向量，可以令z=1，則得到平面SBC的一個(gè)法向量了：,接下來(lái)我們要做些什么呢？,求點(diǎn)A到面SBC任一點(diǎn)的向量， 同樣，也是數(shù)字越簡(jiǎn)潔越好,接下來(lái)我們套用公式了：,我們發(fā)現(xiàn)這樣很快可以完成這道看似復(fù)雜無(wú)頭緒的立幾題，既然用向量法那么快能把點(diǎn)到面的距離求解出來(lái)，能不能把線面距離，面面距離，甚至是異面直線間的距離也轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來(lái)求解呢？下面我們來(lái)看這么一道例題：,例題2：已知在邊長(zhǎng)為 的正 中，E，F(xiàn)分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA垂直面ABC，PA=2，設(shè)平面PFD過(guò)PF且與AE平行，交線段BC與點(diǎn)D，求AE與面PFD間的距離,

5、分析：這道題也是我們上一節(jié)課的例題，當(dāng)時(shí)我們解決這道題時(shí)，是先找經(jīng)過(guò)AE且垂直于面PFD的一個(gè)垂面，再在AE上找一點(diǎn)做兩垂面交線的垂線，這條垂線就是AE到面PFD的距離，求解過(guò)程麻煩，今天，我們用向量來(lái)求解的話，我們應(yīng)該怎么樣把線面距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離呢？,由題意可知，AE平行于面PFD，也就是說(shuō)，AE上每一點(diǎn)到面PFD的距離都相等，那么我們可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A 或點(diǎn)E或AE上任一點(diǎn)到面PFD的距離，這樣，我們就可以用上一道例題的解題思路來(lái)進(jìn)行解答了,例題2：已知在邊長(zhǎng)為 的正 中，E，F(xiàn)分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA垂直面ABC，PA=2，設(shè)平面PFD過(guò)PF且與AE平行，交線段BC與點(diǎn)D，求AE與面P

6、FD間的距離,首先，我們建立空間直角坐標(biāo)系，以PA為z軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn),我們先把各點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出， 在求出面PFD的法向量， 最后套用公式,既然可以用向量法來(lái)解決點(diǎn)面，線面的距離，那么是否可以用來(lái)解決兩個(gè)平行平面間的距離和異面直線間的距離呢？,在這里就要用到立體幾何的思想，把兩個(gè)平行平面間的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離就行了，可是，異面直線間的距離又應(yīng)該如何求解呢？請(qǐng)同學(xué)們思考,如何用向量法來(lái)求解異面直線間的距離呢？,a,b,我們可以觀察到，兩異面直線上任意兩點(diǎn)間的連線AB在兩異面直線法向量上的射影d就是兩異面直線間的距離,d,接下來(lái)我們同樣來(lái)看看上一節(jié)課講解異面直線距離時(shí)用的那道例題，看看用向量法是如何求

7、解的,正方體 中，棱長(zhǎng)為1，求異面直線AC和 的距離,首先我們建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩異面直線的法向量,則兩異面直線間的距離d為：,經(jīng)過(guò)了上面幾道例題，我們已經(jīng)熟悉并掌握了用向量法求空間距離的知識(shí)了，接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們完成下面的練習(xí)，同樣也是用向量法解決,Ex1:四面體ABCD中，DAC=BAC=BAD=60，AC=AD=2，AB=3. 求點(diǎn)C到平面ABD的距離.,Ex2:已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求體對(duì)角線BD1與面對(duì)角線B1C的距離.,今天我們學(xué)習(xí)了用向量法求空間距離這個(gè)知識(shí)，其實(shí)，向量法就是將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，用向量法求空間距離重在“轉(zhuǎn)化”上，即將空間距

8、離轉(zhuǎn)化成為平面距離，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的長(zhǎng)度問(wèn)題,課后，請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅嗡伎?，用向量法解決空間距離的本質(zhì)是什么？既然我們可以用向量來(lái)就解決空間距離看似很難的立體幾何問(wèn)題，那我們可不可以用向量來(lái)解決立體幾何中的平行和垂直問(wèn)題呢？這將是我們下一節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真的思考,同學(xué)們，下課,點(diǎn)到平面的距離,一點(diǎn)P到它在一個(gè)平面 內(nèi)的正射影的距離，即：,垂線段PA即為點(diǎn)P到平面的距離,直線到與它平行平面的距離,一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離，叫做這條直線到平面的距離,即是把直線到與它平行平面的距離轉(zhuǎn)化為,點(diǎn)到平面的距離,兩個(gè)平行平面的距離,兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離,AB即為公垂線段,經(jīng)過(guò)上節(jié)課的實(shí)踐，公垂線段難找，找到公垂線段還要證明，證明后還要求公垂線段的長(zhǎng)度，可見(jiàn)有三難：難找，難證，難求，立體幾何真難！,異面直線的距離,求異面直線的距離，我們同樣是找它們的公垂線段公垂線段