1、,多元函數(shù)微分學,習題課(6),課件制作：易學軍 胡合興,1、隱函數(shù)的導數(shù)：,一、內(nèi)容總結(jié), 一個方程的情形,定理1 設(shè)函數(shù) 在點 的鄰域 內(nèi)有 連續(xù)偏導數(shù)，且 ，則方程 在點 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有 連續(xù)導數(shù)的（單值）函數(shù) ，它滿足 ，且：,定理2 設(shè)三元函數(shù) 在 的鄰域 內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)， ，則方 程 在 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù) 偏導的（單值）函數(shù) ，滿足 ， 且：, 方程組的情形,定理3 設(shè) ，若 （1） ， （2） ， （3）雅克比行列式在 的值不為0，即 則方程組（3）在 的某鄰域內(nèi)唯一確定兩個二元函 數(shù) ，滿足 且, 設(shè)多元函數(shù) ，則在 內(nèi)，任一 階混合偏導數(shù)的值與求導的次序

2、無關(guān).,2、高階偏導數(shù)：, 若 的兩個混合偏導數(shù) 和 在 的某鄰域 內(nèi)存在且在 連續(xù)，則,3、多元函數(shù)的泰勒公式：, 設(shè) ， ， ， 則 其中 稱為拉 格朗日型余項.,4、方向?qū)?shù)與梯度：, 若 在點 處可微，則 在 沿任一方向 的方向?qū)?shù)存在,且： 其中 為單位向量，最后兩式為數(shù)量積., 記grad 稱為 在點 處的梯度.,二、作業(yè)講析 略,三、典型例題講解,例 1 設(shè)方程 y + x exy = 0 確定了函數(shù) y = y(x)，,解 方程兩邊求微分，得,d(y + x exy) = d0，,即,dy + dx - dexy = 0，,dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0

3、.,當 1 - xexy 0 時，解得,即,解 用全微分形式不變性，得,故,求得：,解,所以,例 3 求函數(shù) 的所有二階偏導數(shù).,因為,例 4 設(shè) ，試求 .,解,解 因為,所以,例 5 設(shè) ， 求 .,例 6 將函數(shù) 展成麥克勞林公式.,解 函數(shù) 在 存在任意階連續(xù)偏導數(shù)， 且,和 是任意非負整數(shù)，則有：,故所求方向?qū)?shù)為：,例 7 求函數(shù) 在點 處沿從點 到點 的方向的方向?qū)?shù).,解 由梯度計算公式得：,例 8 求函數(shù) 在點 處 的梯度，并問在哪些點處梯度為零？,4、 .,四、練習題,1、設(shè) ，求,2、,設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù),已知方程,3、設(shè) ，求,5、設(shè) ，（ 具有二階連續(xù)偏導數(shù)），求：,6、求函數(shù) 在點 沿與 軸方向夾 角為 的方向射線 的方向?qū)?shù)，并問在怎樣的方向上此 方向?qū)?shù)有： （1）最大值 （2）最小值 （3）等于零？,7、求 在點 處沿點的向徑 的 方向?qū)?shù)，問 具有什么關(guān)系時此方向?qū)?shù)