1、,復(fù)變函數(shù)與積分變換,以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。,研究對(duì)象,復(fù)變函數(shù)的起源,復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。,復(fù)變函數(shù)的起源,1、16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者Cardan在1545年發(fā)表的重要的藝術(shù)一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家。,復(fù)變函數(shù)的起源,2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾

2、，他在幾何學(xué)（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來(lái)。,復(fù)變函數(shù)的起源,2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在幾何學(xué)（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來(lái)。,復(fù)變函數(shù)的起源,3、數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。,復(fù)變函數(shù)的起源,4、瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（17071783）說(shuō)；“一切形如，-1，-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這

3、類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！?復(fù)變函數(shù)的起源,5、法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是a+ib的形式（a、b都是實(shí)數(shù)。 6、法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛（16671754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的棣莫佛定理。,7、歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位?！疤摂?shù)”實(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的。,復(fù)變函數(shù)的起源,8、挪威的測(cè)量學(xué)家成塞爾在1779年試圖給于

4、這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。,復(fù)變函數(shù)的起源,9、德國(guó)數(shù)學(xué)家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示。由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來(lái)又稱“阿甘得平面”。,復(fù)變函數(shù)的起源,復(fù)變函數(shù)的起源,10、高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。,復(fù)變函數(shù)的起源,統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種

5、形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了。,經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。,復(fù)變函數(shù)的起源,隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，

6、并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。,復(fù)變函數(shù)的起源,復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用,1、系統(tǒng)分析、信號(hào)分析； 2、流體力學(xué)； 3、反常積分； 4、量子力學(xué)； 5、相對(duì)論； 6、應(yīng)用數(shù)學(xué)。,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),第一講 復(fù)數(shù)及復(fù)平面,學(xué)習(xí)要點(diǎn),掌握復(fù)數(shù)的意義及代數(shù)運(yùn)算,掌握復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示方法,掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根,1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算,1. 復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)z 的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),一般, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。,復(fù)數(shù)相等,2. 四則運(yùn)算,z1=x1+iy1與

7、z2=x2+iy2的和、差、積和商為：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),定義 若z=x + iy , 稱z=x - iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).,(conjugate),3. 共軛復(fù)數(shù),解：,2 復(fù)數(shù)的幾何表示,1. 點(diǎn)的表示,橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。,2. 向量表示法,z=0時(shí)，幅角無(wú)意義。,幅角無(wú)窮多：Arg z=0+2k， kZ，,當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。,當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加p。,當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減p .,根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識(shí)，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式,3. 三角表示法,可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來(lái)表示非零復(fù)數(shù)z,4. 指數(shù)表示法,例1,例2,例3,例1,解：,例2,解：,例2,解：,例3,證明：,例3,證明：,3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,1. 復(fù)數(shù)的乘積與商,利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法,定理：,對(duì)除法，有,將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。,乘法的幾何意義,例1,解：,2. 復(fù)數(shù)的