1、第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù),一、點態(tài)收斂的概念 二、一致收斂性及其判別法 三、一致收斂的函數(shù)列 與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì),1 一致收斂性,一、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 二、函數(shù)列一致收斂性 三、函數(shù)項級數(shù)一致收斂性,一、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的的概念,1. 函數(shù)列的定義:,收斂數(shù)列(數(shù)項級數(shù))可表示、定義一個數(shù)；,試用函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)來表示、定義一個函數(shù)。,(1) 定義1,(2) 定義2,(3) 定義3,(4) 定義4,例1 試求下列函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù),解,顯然,解,顯然,問題：,是不是所有的連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù) 在其收斂域上也連續(xù)。,？,結(jié)論是：不一定,因此，保持連續(xù)性只有收斂的條件是不夠的。,(

2、1) 定義5,稱為E上的函數(shù)項無窮級數(shù)或簡稱為級數(shù)。,部分和實際是一個函數(shù)列.,同時稱,2. 函數(shù)項級數(shù)的概念,對其各項依次用“+”連接起來的表達式,記為,部分和.,特別地,(2) 定義6,(3) 定義7,(4) 定義8,余項,可通過部分和函數(shù)列討論級數(shù)的收斂域與和函數(shù).,例2 試求下列級數(shù)的收斂域與和函數(shù),解,解,收斂域,問題：(1) 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)； (2) 和函數(shù)的分析性質(zhì)。,對有限個連續(xù)、可積、可導(dǎo)函數(shù)的和仍相應(yīng)是連續(xù)、可積、可導(dǎo),有很好的運算法則.,對無限個連續(xù)、可積、可導(dǎo)函數(shù)的和仍相應(yīng)是連續(xù)、可積、可導(dǎo)？,由上例(2)知,進一步討論和函數(shù)的性質(zhì)只在收斂條件下進行不夠。,

3、結(jié)論：即使和函數(shù)可積，求和函數(shù)的積分時也不能先 對每個函數(shù)積分后，再和.,為此引進一致收斂的概念,二、函數(shù)列的一致收斂,回顧：,1 定義9,命題：,則,由定義顯然可得.,(2) 反之不真.,例3 判斷下列函數(shù)列在給定的區(qū)間上的一致收斂性,解,解,2. 幾何意義,x,o,y,x0,f(x0),的幾何意義呢？,3. 函數(shù)列一致收斂的判別法,(1) Cauchy準則,定理1,證,3. 函數(shù)列一致收斂的判別法,(1) Cauchy準則,定理1,雖然Cauchy準則，較用定義判別改進一步，應(yīng)用時往往也需要較復(fù)雜的技巧，操作上不理想的弱點。,(2) 上確界判別法,定理2,證,(2) 上確界判別法,定理2,

4、證,此判別法涉及上確界的求法。,當然也可以適當放大，如下所述：,例3 求下列函數(shù)列的收斂域，并討論一致收斂性,解,進一步考察一致收斂,也可以利用一致收斂的定義驗證.,解,進一步考察一致收斂,內(nèi)閉一致收斂,完全與一致連續(xù)性質(zhì)相似,例4 證明,證,三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂,函數(shù)列一致收斂是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，收斂僅僅是局部性質(zhì)。,下面介紹函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.,1 定義10,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂歸結(jié)為部分和函數(shù)列的一致收斂.,由前討論可得：,以上方法只有在級數(shù)的部分和函數(shù)列能求得時可用，然而有時求部分和函數(shù)列非常困難.,2 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法,(1) 必要條件,定理3,事實上,(2) 優(yōu)級數(shù)法Weierstrass法,定理4,此法類似于正項級數(shù)的比較法，將一致收斂轉(zhuǎn)化為尋找一個收斂的正項級數(shù),稱為M-審斂法.,證,由柯西收斂準則即得,例5 討論下列函數(shù)級數(shù)在給定的區(qū)間上的一致收斂性,解,解,一致收斂,例5 討論下列函數(shù)級數(shù)在給定的區(qū)間上的一致收斂性,一致收斂,一致收斂,類似于數(shù)項級數(shù)，有方法可以判別形如,定理5,(3) 阿貝爾判別法,定理6,(4) 狄利克雷判別