1、wang相似模型模型1：A、8模型已知12結(jié)論：ADEABC 模型分析 如圖，在相似三角形的判定中，我們通過做平行線，從而得出A型或8型相似在做題使，我們也常常關(guān)注題目由平行線所產(chǎn)生的相似三角形模型實(shí)例【例1】如圖，在ABC中，中線AF、BD、CE相交于點(diǎn)O，求證：解答：證法一：如圖，連接DED、E是中點(diǎn)，DE/BCEODCOB（8模型）同理：，證法二：如圖，過F作FG/AC交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)是中點(diǎn)，ADCD，F(xiàn)G/AD，GOFDOA（8模型）同理，【例2】如圖，點(diǎn)E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AEDF，BF交DE于點(diǎn)G，延長BF交CD的延長線于H，若2，求的值解答：四邊形ABCD

2、是菱形，ABBCCDAD設(shè)DFa，則DFAEa，AFEB2aHD/AB，HFDBFA，HD15a，F(xiàn)HBHHD/EB，DGHEGB，BGHB，跟蹤練習(xí)：1如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE/AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若SDOE：SCOA1：25則SBDE與SCDE的比是_解答：DE/AC，DOECOA，又SDOE：SCOA1：25，DE/AC，的比是1：4.2如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，此圖中的相似三角形共有_對解：四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC，AB/CD（1）ABDCDB；（2）ABEFDE；（3）AEDG

3、EB；（4）ABGFCGFDA，可以組成3對相似三角形.圖形中一共有6對相似三角形.3如圖，在ABC中，中線BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)F，求證：F是BC的中點(diǎn)證明：連接DE交AF于點(diǎn)G，則DE/BC，DE=BC，G為AF中點(diǎn)，BF=FC，即點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)4在ABC中，AD是角平分線，求證：方法一：過點(diǎn)CCE/AB交AD延長線于點(diǎn)E，1=3，ABDECD，1=2，2=3，AC=CE，方法二：設(shè)ABC中BC邊上的高為h，則，過D分別作DEAB，于E，DFAC于F，則，又1=2，DE=DF，5如圖，ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點(diǎn)，E在AB上，且AE：EB2:1，

4、求證：CEAD證明：過點(diǎn)B做BF/AC，交CE延長線于點(diǎn)F，則CBF=90，AECBEFAE：EB=2：1，BF=AC=BC=CD，又AC=CB，ACD=CBF=90ACDCBF，1=2，1+3=90，2+3-904=90，CEAD模型2 共邊共角型已知： 1=2 結(jié)論：ACD ABC模型分析 上圖中，不僅要熟悉模型，還要熟記模型的結(jié)論，有時候題目中會給出三角形邊的乘積關(guān)系或者比例關(guān)系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中由ACD ABC進(jìn)而可以得到：AC2=ADAB模型實(shí)例例1 如圖，D是ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB=4，AD=2，DAC=B，如果ABD的面積為15那么ACD的面積為 解答

5、：DAC=B，C=C，ACD BCAAB=4，AD=2，SABD=15，SACD=5例2如圖，在RtABC中，BAC=90o，ADBC于D（1）圖中有多少對相似三角形？（2）求證：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD（3）求證：ABAC=BCAD解答（1）三對分別是：ABD CBA；ACD BCA；ABD CAD（2）ABD CBA，AB2=BDBC，ACD BCAAC2=CDCB，ABD CAD，AD2=BCCD（3），ABAC=BCAD跟蹤練習(xí)：1如圖所示，能判定ABCDAC的有 B=DACBAC=ADCAC2=DCBCAD2=BDBC【答案】2已知AMN是等邊三角形，BA

6、C=120o求證：（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC【答案】證明：BAC=120o，B+C=60o.AMN是等邊三角形，B+1=AMN=60o，C+2=ANM=60o.1=C，2=B.(1)1=C，B=B，BAM BCA.AB2=BMBC（2）2=B，C=C，CAN CBA.AC2=CNCB（3）1=C，2=B，BAM ACN.BMCN=ANAMAN=AM=MN，AB2=BMBC3如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，過C作CDAB于D，AC=，AD:DB=4:1求CD的長【答案】連接BC，設(shè)AD=4x，則DB=x.AB=5x.AB是半圓O的直徑，ACB

7、=90o又CDAB.ACDABC.AC2=ADAB，即，解得：x=（舍負(fù)）.AD=.CD=4如圖，RtABC中，ACB=90o，CDAB，我們可以利用ABCACD證明AC2=ADAB，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，結(jié)論運(yùn)用：如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CFBE，垂足為F，連接OF（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明BOFBED；（2）若DE=2CE，求OF的長【答案】（1）四邊形ABCD為正方形，OCBO，BCD=90o.BC2=BOBD.CFBE，BC2=BFBE.BOBD=BFBE.即，又OBF=EBD，BOF BED.（2）BC=CD=6，而DE

8、=2CE，DE=4，CE=2.在RtBCE中，BE=，在RtOBC中，OB=，BOFBED，即，.模型3 一線三等角型已知，如圖中：B=ACE=D結(jié)論：ABCCDE模型分析如圖，ACEDCE=BA，又B=ACE，DCE=AABCCDE圖同理可證ABCCDE在一線三等角的模型中，難點(diǎn)在于當(dāng)已知三個相等的角的時候，容易忽略隱含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似應(yīng)用較多，當(dāng)看見該模型的時候，應(yīng)立刻能看出相應(yīng)的相似三角形模型實(shí)例例1 如圖，在等邊ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且APD=60o，BP=1，CD=則ABC的邊長為 解答ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，B=C=60oAPC

9、=BBAP，即APDDPC=BBAP，又APD=B=60o，DPC=BAP又B=C，PCDABP設(shè)AB=x，則PC=x1，解得x=3例2 如圖，A=B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點(diǎn)P，使得PAD與PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有 個解答設(shè)AP，則有PBABAP7，當(dāng)PDACPB時，即，解得：或，當(dāng)PDAPCB時，即，解得：，則這樣的的點(diǎn)P共有3個練習(xí)：1如圖，ABC中，BAC90，ABAC1，點(diǎn)D是BC邊上一動點(diǎn)（不與B、C點(diǎn)重合），ADE45（1）求證：ABDDCE；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)ADE是等腰三角形時，求AE的長1.解答：（3）當(dāng)ADE是等腰三角

10、形時，第一種可能是AD=DE.當(dāng)ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED=EA.即ADE為等腰直角三角形.當(dāng)AD=EA時，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意，所以舍去.2如圖，在ABC中，ABAC10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），ADEBa，DE交AC于點(diǎn)E，且下列結(jié)論：ADEACD；當(dāng)BD6時，ABD與DCE全等；DCE為直角三角形時，BD等于8或；其中正確的結(jié)論是 （把你認(rèn)為正確的序號都填上）2.解答：故正確.故正確.（3）當(dāng)AED=900時，由可知：ADEACD. ADC=AED. AED=900， ADC=900.即 ADBC. AB=AC， BD=CD.當(dāng)CDE=900時，易得CDE

11、BAD.故正確.（4）易證CDEBAD，由可知BC=16，故正確，故答案為：.3如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，折疊與邊BC交于O，連接AP、OP、OA（1）求證：OCPPDA；（2）若OCP與PDA的面積比為14，求邊AB的長3.解答模型4 倒數(shù)型條件：AFDEBC結(jié)論：模型分析AFDEBC，BDEBAF，ADEABC，即（兩邊同時除以DE）仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)模型中含有兩個A型相似模型，它的結(jié)論是由兩個A型相似的結(jié)論相加而得到的，該模型的練習(xí)有助于提高綜合能力水平模型實(shí)例如圖，AFBC，AC、BF相交于E，過E作EDAF交AB于D求證：

12、證明： 分別過點(diǎn)C、E、F作直線AB的垂線，垂足分別是K、H、G則（模型結(jié)論） 跟蹤練習(xí)1 如圖，在ABC中，CDAB于點(diǎn)D，正方形EFGH的四個頂點(diǎn)都在ABC的邊上.求證： 答案：1、證明：方法一：如圖 四邊形EFGH是正方形， EFAB CDAB， EFCD， AEFACD. EHAB， CEHCAB EH=EF， +得， 方法二：如圖，構(gòu)造模型4過點(diǎn)C作AB的平行線交AH的延長線于點(diǎn)K，依題意有，CKEHAB， CK=CD. 2正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F，交AB于G，連接BF求證： (1) AF+BF=EF； (2) 答案：（1）如圖，在EF上截取

13、FH=AF. EAB=600，BAD=900，AE=AD， 1=2=150. 3=2+4=600. AFH為等邊三角形. EAH=BAF. EAHBAF. EH=BF. AF+BF=FH+EH=EF.（2），如圖，過點(diǎn)G作GKBF交AC于點(diǎn)K.由可得BFC=600， AHGKBF. 由模型4，得 AH=AF，GK=GF， 模型5 與圓有關(guān)的簡單相似模型分析圖中，由同弧所對的圓周角相等，易得PACPDB.圖中，由圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，易得ABDAEC.圖中，已知AB切O于點(diǎn)A，如下圖，過A作直徑AE，連接DE，則有EAD+E=900.又BAD+EAD=900，BAD=E=C.從

14、而BADBCA. 模型實(shí)例如圖，點(diǎn)P在O外，PB交O于A、B兩點(diǎn)，PC交O于D、C兩點(diǎn)求證：PAPB=PDPC.答案：證明：作直線OP交O于C、D兩點(diǎn)，連接BC、AD. B=D，C=A， PBCPDA. PAPB=PDPC=（r+d）（r-d）= r2-d2證明：連接AD、BC四邊形ADCB內(nèi)接于O，12又PP，PADPCB練習(xí)1如圖，P是O內(nèi)的一點(diǎn)，AB是過點(diǎn)P的一條弦，設(shè)圓的半徑為，求證：答案證明：作直線OP交O于C、D兩點(diǎn)，連接BC、ADAD，CA，PBCPDA2如圖，已知AB為O的直徑，C、D是半圓的三等分點(diǎn)，延長AC、BD交于點(diǎn)E（1）求E的度數(shù)；（2）點(diǎn)M為BE上一點(diǎn)，且滿足，連接

15、CM，求證：CM是O的切線答案解：（1）連接OC、ODC、D是半圓的三等分點(diǎn)，AB為O的直徑，AOCCODDOB60 OAOCODOB，AOC、DOB為等邊三角形EABEBA60E60（2）連接BC，EE，CEMBECAB為O的直徑，ACB90ECB90，EMCECB90C、D是半圓三等分點(diǎn)，AOCDOB60，OCBEOCMEMC90OCCMCM為O的切線模型6 相似和旋轉(zhuǎn)如圖，已知DEBC，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BD、CE，得到如圖結(jié)論：ABDACE模型分析DEBC，如圖，DAEBAC，BADCAEABDACE該模型難度較大，常出現(xiàn)在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，對學(xué)生的綜合

16、能力要求較高，考察知識點(diǎn)有相似、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、三角函數(shù)等，是優(yōu)等生必須掌握的種題型模型實(shí)例如圖，在RtABC中，BAC60，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且，PB5，PC2求解答：如圖，作ABQ，使得QABPAC，ABQACP，則ABQACP，即又QAPBAC60，AQPACBAPQ=ACB90AQ2AP，PQAP3APQ與APC的相似比為BQP90過A點(diǎn)作AMPQ，延長BQ交AM于點(diǎn)MAMPQ，MQAP故練習(xí)1如圖，ABC和CEF均為等腰直角三角形，E在ABC內(nèi)，CA E CBE90，連接BF（1）求證：CAECBF；（2）若BE1，AE2，求CE的長解：（1）ABC和CEF均為等腰直角三角形ACBEC

17、F45ACEBCFCAECBFACBECF45ACEBCFCAECBF（2）CAECBF，CAECBF，又，AE2，BF又CAECBE90CBFCBE90EBF90，2已知，在ABC中，BAC60 （1）如圖若ABAC，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且APC150，PA3，PC4，把APC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，得到ADB，連接DP 依題意補(bǔ)全圖1； 直接寫出PB的長；（2）如圖，若ABAC，點(diǎn)P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC 的度數(shù)；（3）如圖，若AB2AC，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且PA，PB5，APC120，請直接寫出PC的長解：（1）如圖，由旋轉(zhuǎn)有，ADAP，BDPC，DAB

18、PAC，DAPBAC60ADP為等邊三角形DPPA3，ADP60ADBAPC150，BDP90，在RtBDP中，BD4，DP3根據(jù)勾股定理得：PB5（2）把APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到ADB，連接PD，APCADBADAP3，DBPC4，PACDAB，APC2DAPBAC，BAC60，DAP60，DAP是等邊三角形PD3，160，PDB90230APC30（3）作ABQ，使得QABPAC，ABQACP，則ABQACP，AQBAPC120AB2AC，ABQ與ACP的相似比為2AQ2AP2，BQ2CP，QAPQABBAPPACBAPBAC60 取AQ中點(diǎn)D，連接PD，AQ2AP，

19、ADAPAPD是等邊三角形DPDQDPQDQP30APQ90PQ3BQPAQBAQP1203090根據(jù)勾股定理得，贈送高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點(diǎn)字母