1、任意角的三角函數(shù),復(fù)習(xí)引入,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角的三角函數(shù)，如圖：,你能在直角坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?,利用平面直角坐標(biāo)系表示銳角三角函數(shù),設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限. 的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),它與原點(diǎn)的距離是_ 過P作x軸的垂線,垂中為M,則線段OM的長度為_線段MP的長度為_,利用平面直角坐標(biāo)系表示銳角三角函數(shù),將點(diǎn)P取在使線段OP的長r=1的特殊位置上,以原點(diǎn)O為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓,利用單位圓定義任意角的三角函數(shù),設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),(1)y叫做的正弦,記作sin, 即 sin=

2、y (2)x叫做的余弦,記作cos, 即 cos=x,(3) 叫做正切,記作tan, 即,三角函數(shù),正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,三角函數(shù)可以看成自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù),解: 在直角坐標(biāo)系中,作出,練習(xí),利用三角函數(shù)的定義求 的三個(gè)三角函數(shù)值,解:如圖 與單位圓的交點(diǎn)為,例2 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值,解:,設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則,知道終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),就可以求出角的三角函數(shù)值.,練習(xí),已

3、知角的終邊過點(diǎn)P(-12,5),求角的三角函數(shù)值,解:,三角函數(shù)的定義域,R,R,根據(jù)三角函數(shù)的定義,研究三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號,-,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,口答 設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角,在sin,cos,tantan(/2)那些可能取負(fù)值?,練習(xí),例3 求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角為第三角限角, ,證明:如果式都成立,那么為第三象限角. 若sin0,那么角的終邊可能位于第一或第三象限. 因?yàn)槭蕉汲闪?所以角的終邊只能位于第三象限.于是為第三象限角,可以把求任意角的三角函數(shù)值.轉(zhuǎn)化為求0到2(或0至360)角的三角函數(shù)值.,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等,角終邊每繞

4、原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn),例4 確定下列三角函數(shù)值的符號,然后用計(jì)算器驗(yàn)證:,解:(1)因?yàn)?50是第_象限角,所以cos250 0 (2)因?yàn)?是第_象限角,所以 (3)因?yàn)閠an(-670)=tan(48-2360)=tan48而48是第一象限角,所以 tan(-672) 0 (4)因?yàn)閠an3=tan(+2)=tan=0,三,四,確定下列三角函數(shù)值的符號,0,練習(xí),例5 求下列三角函數(shù)值,填表:,下面從圖形角度認(rèn)識一下三角函數(shù),角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M.,|MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos|,思考,(1)為了去掉上述等式中的絕對值

5、符號,能否給線段OM、MP規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?使它們的取值與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致?,|MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos|,當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以O(shè)為始點(diǎn)、M為終點(diǎn),規(guī)定: 當(dāng)線段OM與x軸同向時(shí),OM的方向?yàn)檎?且有正值x;當(dāng)線段OM與x軸反向時(shí),OM的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值x. OM=x=cos 當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以M為始點(diǎn)、P為終點(diǎn),規(guī)定: 當(dāng)線段MP與y軸同向時(shí),MP的方向?yàn)檎?且有正值y;當(dāng)線段MP與y軸反向時(shí)MP的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值y. MP=y=sin,(2)你能借助單位圓,找到一條如OM、MP一樣的線段來表示角的正切嗎?,思考,過點(diǎn)A(1,0)作

6、單位圓的切線,設(shè)它與的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T.,這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線,當(dāng)角的終邊與x軸重合時(shí),正弦線、正切線,分別變成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)角的正弦值和正切值都為0; 當(dāng)角的終邊與y軸重合時(shí),余弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存在,此時(shí)角的正切值不存在.,1.任意角的三角函數(shù)的定義。,2.明確各種三角函數(shù)的定義域。,3.掌握各種三角函數(shù)在不同象限的正負(fù)情況.,小結(jié),單位圓：圓心在原點(diǎn)，半徑等于單位長度的圓。 三角函數(shù)線：用有向線段的數(shù)量來表示。,規(guī)律：三角函數(shù)線是有向線段的數(shù)量，要分清起點(diǎn)、終點(diǎn)。 1）凡含原點(diǎn)的線段，均以原點(diǎn)為起點(diǎn)； 2）不含