1、20140107，拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表，拉普拉斯變換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出和輸入之間的關(guān)系。經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法和頻域法。數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)、頻域分析是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛應(yīng)用。該方法間接利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來(lái)分析閉環(huán)響應(yīng)。復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)函數(shù)的概念復(fù)數(shù)s=j(有一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部，兩個(gè)和都是實(shí)數(shù))兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部相等。復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。2.2拉普拉斯變換稱為虛部，復(fù)數(shù)的表示是復(fù)數(shù)s=j的復(fù)平面：橫坐標(biāo)(實(shí)軸)和縱坐標(biāo)(虛軸)的平面稱為復(fù)平面或S平面。復(fù)數(shù)s=j可以用復(fù)平面s中的一個(gè)點(diǎn)(，)來(lái)表示：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)

2、平面上的一個(gè)點(diǎn)。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)，復(fù)數(shù)s=j的向量表示可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)(，)的向量來(lái)表示。向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)函數(shù)，向量與軸的夾角稱為復(fù)數(shù)的復(fù)角。復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示和指數(shù)表示可以根據(jù)復(fù)平面的圖形表示得到：復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示：s=r (cos j sin)，2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)函數(shù)，歐拉公式：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示：復(fù)函數(shù)，極點(diǎn)和零點(diǎn)的概念；以復(fù)數(shù)s=j為自變量的函數(shù)G(s)稱為復(fù)變函數(shù)：G(s)=u jv，其中U和V分別是復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.2.1復(fù)變函數(shù)，當(dāng)s=-zi，G(s)=0時(shí)，則si=-zi稱為G(s)的零點(diǎn)；通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)函數(shù)G(s)是復(fù)數(shù)S

3、的單值函數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)于S的給定值，G(s)具有對(duì)應(yīng)于它的唯一確定的值。當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示為(b)時(shí)，s=-pj，G(s)，那么sj=-pj就叫做G(s)的極點(diǎn)。當(dāng)s=j時(shí)，求復(fù)函數(shù)G(s)=s2 1的實(shí)部u和虛部v。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的實(shí)部，復(fù)變函數(shù)的虛部，解：G(s)s2 1(j)2 1 2 j(2)-2 1 (2-2 1) j(2)，拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換是控制工程中的一種基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是可以用來(lái)計(jì)算時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2拉普拉斯變換，復(fù)變函數(shù)，原函數(shù)，鏡像函數(shù)，拉普拉斯變換符號(hào)：在一定條件下，實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)被變換成與時(shí)間函數(shù)f(t)一起，當(dāng)t 0

4、時(shí)，f(t)0；在t0，定義函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換為：拉普拉斯變換的存在取決于定義的積分是否收斂。拉普拉斯變換的存在條件如下：當(dāng)t0，f(t)是分段連續(xù)的，只有有限數(shù)量的間斷；當(dāng)t時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)率不超過(guò)某個(gè)指數(shù)函數(shù)，即2.2.2拉普拉斯變換的定義。在復(fù)平面上，積分公式對(duì)所有復(fù)數(shù)S都是絕對(duì)收斂的(Res代表S的實(shí)部)，所以Res a是拉普拉斯變換的域，A稱為收斂坐標(biāo)。其中m和a是實(shí)常數(shù)。典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換(1)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義：2.2拉普拉斯變換，(2)單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換，(3)單位速度函數(shù)(單位斜坡函數(shù))單位速度函數(shù)定義：2.2.

5、3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換，(4)(5)正弦信號(hào)函數(shù)的定義：2.2.3歐拉公式和正弦函數(shù)表示的典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換：(6)余弦信號(hào)函數(shù)的定義：2.2.3歐拉公式和余弦函數(shù)表示的典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換：拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(1)線性定理if，是任意兩個(gè)2.2拉普拉斯變換，證明：(2)平移定理if:2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，證明：那么，(3)微分定理if:2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，證明：那么當(dāng)t=0 (3)時(shí)，f(0)是f(t)微分定理推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。 如果函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)的初始值都是零，那么，(4)積分定理如果，2

6、.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，那么，證明，(4)積分定理是相同的2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，如果函數(shù)f(t)的多重積分的初始值都是零，那么，是的，注意：時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換可以利用積分定理得到；利用微分定理和積分定理，微分積分方程可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。(5)終值定理如果：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，那么：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有，寫左積分，(6)初值定理如果：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，那么：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有，或其公式：2.2拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換可以用許多方法計(jì)算。如果是簡(jiǎn)單的圖像函數(shù)，可以直接查拉普拉斯變換表；對(duì)于復(fù)雜的，可以使用部

7、分分?jǐn)?shù)展開。如果f(t)的拉普拉斯變換F(s)被分解成每個(gè)部分的和，即2.2.5拉普拉斯逆變換，如果F1(s)，F(xiàn)2(s)，F(xiàn)n(s)的拉普拉斯逆變換可以通過(guò)拉普拉斯變換表容易地找到，那么當(dāng)F(s)不能被容易地分解成每個(gè)部分的和時(shí)，(2)部分分?jǐn)?shù)展開法在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，F(xiàn)(s)通常具有以下形式：2.2.5拉普拉斯逆變換，其中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式對(duì)于這個(gè)被稱為有理真分?jǐn)?shù)的鏡像函數(shù)F(s)，應(yīng)該首先對(duì)分母B(s)進(jìn)行因子分解，然后通過(guò)部分分?jǐn)?shù)展開得到F(s)的拉普拉斯逆變換函數(shù)。拉普拉斯逆變換，從圖像函數(shù)中求原始函數(shù)的方法：(1)利用公式，(2)在部分分式中展開F(S)，圖像函數(shù)的一般形

8、式：利用部分分式將F(S)分解為：例13-6，解法：讓D(s)=0，然后s1=0，S2=1。從F(S)2中找出f(t)的步驟。)求分?jǐn)?shù)分母的根并確定分解單位，3。)求出每個(gè)部分分?jǐn)?shù)的系數(shù)，以及4。)為每個(gè)部分分?jǐn)?shù)和多項(xiàng)式逐項(xiàng)尋找拉普拉斯逆變換。2。拉普拉斯變換分析電路，正變換，逆變換，相量形式KCL，KVL，復(fù)阻抗，復(fù)導(dǎo)納，運(yùn)算電路，類似地，運(yùn)算阻抗，運(yùn)算導(dǎo)納，運(yùn)算形式KCL，KVL，2。電路元件的操作形式，r:u=ri，1。運(yùn)算形式的電路定律，L : 3。算術(shù)電路，如果有L和C的初始值，初始值應(yīng)視為附加電源，物理量用鏡像函數(shù)表示，元素用運(yùn)算式表示。電路分析采用拉普拉斯變換法。具體步驟如下：1 .在切換之前，通過(guò)電路計(jì)算UC (0-)和iL (0-)值；2.繪制操作電路圖；3.用電路分析法求鏡像函數(shù)；4.，V，(2)畫出運(yùn)算電路，(4)逆變換找到原始函數(shù)，并找到UL(S)，例13-10計(jì)算脈沖響應(yīng)，例13-11說(shuō)明電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)s閉合。已知us=1V=2e-2tv，us2=5v，R1=R2=5，L1=1h，在t0計(jì)算u1(t)。示例13-12示出了該電路，并且已知R1=R2=，t=0，接通開關(guān)k，并且計(jì)算電流I。切換前通過(guò)電路計(jì)算uc(0-)，iL(0-)。2.繪制操作電路圖