1、,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,一、偏導(dǎo)數(shù) 二、高階偏導(dǎo)數(shù) 三、全微分 四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,一、偏導(dǎo)數(shù),1、偏導(dǎo)數(shù)的定義,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如函數(shù) 在點(diǎn) 處,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例1 求,解法1,解法2,在點(diǎn)(1 , 2)處的偏導(dǎo)數(shù).,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例2 設(shè),證,例3 求,的偏導(dǎo)數(shù) .,解,求證:,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè),例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證,說(shuō)明

2、:,(R 為常數(shù)) ,不能看作,分子與分母的商 !,此例表明,整體記號(hào),5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如圖,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,（1）幾何意義:,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,（2）偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,？,但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，,多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,則稱(chēng)它們是z = f (x , y),5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo),

3、數(shù):,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如， z = f (x , y)關(guān)于x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y)關(guān)于x的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于y 的一階,偏導(dǎo)數(shù)為,第二、三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù).,二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù).,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,解,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例6 求函數(shù),解,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,問(wèn)題,例如, 對(duì)三元函數(shù)u = f (x , y , z) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有,5.2 二

4、元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,證,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例8 證明函數(shù),滿(mǎn)足,證,利用對(duì)稱(chēng)性,有,方程,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,三、全微分,全增量,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,定義2 如果函數(shù) z = f ( x, y )在點(diǎn)( x , y ),可表示成,其中A , B不依賴(lài)于 x , y ,僅與 x , y 有關(guān)，,稱(chēng)為函數(shù),在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱(chēng)函數(shù),f ( x, y )在點(diǎn)( x, y) 可微，,的全增量,則稱(chēng)此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,證,“可微”與“連續(xù)”的關(guān)系？,5.2 二元函數(shù)的偏

5、導(dǎo)數(shù)與全微分,“可微”與“偏導(dǎo)數(shù)存在”的關(guān)系？,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,同樣可證,證 由全增量公式,得到對(duì)x 的偏增量,因此有,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,反例: 函數(shù),易知,但,注: 定理3 的逆定理不成立 .,偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,因此,函數(shù)在點(diǎn) 不可微 .,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,定理4 (可微的充分條件),若函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù),在點(diǎn),連續(xù)，,在該點(diǎn)可微 . 且,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),.,例如, 三元函數(shù),的全微分為：,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例9 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn)(2,1)處的全微分.,解,例10 計(jì)算函數(shù),的全微分.,

6、解,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,可知當(dāng),*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,近似計(jì)算:,由全微分定義,較小時(shí),及,有近似等式:,(可用于近似計(jì)算; 誤差分析),(可用于近似計(jì)算),5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,例11 計(jì)算,的近似值.,解 設(shè),則,取,則,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,半徑由 20cm 增大,解 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例12 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm ,則,高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量.,求此圓柱體,5.2 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分,偏導(dǎo)數(shù)的定義,偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,高階偏導(dǎo)數(shù),（偏增量比的極限）,純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),（相等的條件）,內(nèi)容小結(jié),