1、第十章 線性電路過渡過程的時域分析,內(nèi)容提要,1.初始值、換路定律、時間常數(shù)等概念。 2.一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)、一階電路全響應(yīng)的三要素法。 3.一階電路階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng) 。 4.簡介二階電路的零輸入響應(yīng)。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,一電路的過渡過程, 穩(wěn)定狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）：電路中所有的響應(yīng)或是恒定不變，或是按周期規(guī)律變化的這種工作狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)。, 過渡過程（動態(tài)、暫態(tài)）：電路由原來的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個穩(wěn)態(tài)，這種轉(zhuǎn)變一般說來不是即時完成的，需要一個過程，這個過程稱為電路的過渡過程。,任何系統(tǒng)的狀態(tài)都有相對穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種狀態(tài)在電路中，穩(wěn)定狀態(tài)是指在給定條件下電

2、路中電壓、電流已達(dá)到穩(wěn)定值。不穩(wěn)定狀態(tài)是指動態(tài)。例如：電容C 的充電過程。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,三分析暫態(tài)的方法,二產(chǎn)生暫態(tài)的原因,內(nèi)因：電路為動態(tài)電路，即電路中含儲能元件L，C ； 外因：電路換路，即開關(guān)通斷、電源變化、元件參數(shù)變化等。,暫態(tài)分析中的電路方程是以電流、電壓為變量的微分方程。因此，暫態(tài)的分析有兩種方法：, 經(jīng)典法（時域分析）：以時間作為變量，直接求解微分方程的方法。, 運算法（復(fù)頻域分析）：采用積分變換求解微分方程的方法。例如通過拉普拉斯變換，將自變量轉(zhuǎn)換為復(fù)頻率變量。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.1 換路定律和初始條件的計算,一 換路定律, 換路

3、：電路中支路的接通、切斷、短路或電路參數(shù)的突然改變及電路連接方式改變的統(tǒng)稱。并認(rèn)為換路是即時完成的。, 能量只能連續(xù)變化而不能躍變,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,原因是：儲能元件中能量的改變是需要時間的。即動態(tài)電路在換路后一般不能由原來的穩(wěn)定狀態(tài)立刻到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài) 。, 換路定律,在換路瞬間，當(dāng)電容元件的電流為有限值時，電容電壓一般不能躍變；當(dāng)電感元件的電壓為有限值時，電感電流一般不能躍變。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,換路定律的數(shù)學(xué)表達(dá)為：,二 初始條件的計算, 初始值：電路中的響應(yīng)在換路后的最開始一瞬間（即 時）的值。初始值組成解電路微分方程的初始條件。,相關(guān)初始值：用獨立

4、初始值及KCL，KVL和歐姆定律來確定的其它初始值。,獨立初始值： 和 。由換路前決定。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,電容元件用值為 的電壓源代替,電感元件用值為 的電流源代替, 等效電路畫法：,解：換路前,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,根據(jù)換路定律得： ，,可畫 電路圖。從而可計算其它相關(guān)初始值，即：,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.2 一階電路的零輸入響應(yīng),一 電路的零輸入響應(yīng),零輸入響應(yīng)：僅由儲能元件初始儲能所引起的響應(yīng)。,在圖示電流、電壓的參考方向下，由KVL得換路后的電路方程,將元件的電壓電流關(guān)系,代入方程得,一階電路：可用一階微分方程描述的電路。,第十章 線

5、性電路過渡過程的時域分析,這是一階常系數(shù)線性齊次常微分方程，它的通解為,特征方程為,特征根為,所以,將初始條件 ，代入得積分常數(shù),第十章 線性電路過渡過程的時域分析,求得滿足初始條件的微分方程的解，即電容的零輸入響應(yīng)電壓、電流分別為,換路后，電容電壓和電流均按指數(shù)規(guī)律衰減到0。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析, 時間常數(shù),在響應(yīng)表達(dá)式中，令 ，則有,SI單位：,稱 為電路的時間常數(shù)。 的大小反映了電路過渡過程的進(jìn)展速度，它是反映過渡過程特征的一個重要的量。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,在時間坐標(biāo)軸上次切距的長度等于時間常數(shù),時間常數(shù)就是按照指數(shù)規(guī)律衰減的量衰減到它的初始值的36.8

6、% 時所需時間。, 時間常數(shù)的意義,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,將不同時刻的電容電壓值列于下表,工程上認(rèn)為：經(jīng)過 時間過渡過程即告結(jié)束。,時間常數(shù)越大，衰減越慢，過渡過程持續(xù)的時間越長。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為,說明：電容在放電過程中釋放的能量的全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。,例：一組 的電容器從高壓電路斷開，斷開時電容器電壓 ，斷開后，電容器經(jīng)它本身的漏電阻放電。如電容器的漏電阻 ，問斷開后經(jīng)過多長時間，電容器的電壓衰減為 ？,解：電路為零輸入響應(yīng)，所以有,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,將 代入，得,例：圖示電路中，換路前電路已處于

7、穩(wěn)態(tài)。在 時將開關(guān)閉合，求 時電壓 和電流 、 及 。,解：,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,二 電路的零輸入響應(yīng),將元件的電壓電流關(guān)系,代入方程得,圖示電路，原已處于穩(wěn)態(tài)， 時開關(guān)閉合。在圖示電流、電壓的參考方向下，由KVL得換路后的電路方程,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,這是一階常系數(shù)線性齊次常微分方程，它的通解為,特征方程為,特征根為,所以,將初始條件 ，代入得積分常數(shù),第十章 線性電路過渡過程的時域分析,求得滿足初始條件的微分方程的解，即電感的零輸入響應(yīng)電壓、電流分別為,換路后，電感電壓和電流均按指數(shù)規(guī)律衰減到0。其曲線如圖所示。,第十章

8、線性電路過渡過程的時域分析, 時間常數(shù),令 ，則有,SI單位：,稱 為 電路的時間常數(shù)。同樣 的大小反映了電路過渡過程的進(jìn)展速度。時間常數(shù)越大，過渡過程持續(xù)的時間越長。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,在過渡過程中，電感不斷放出能量為電阻所消耗，最后，原來儲存在電感中的磁場能量全部被電阻吸收而轉(zhuǎn)換成熱能。,例： 圖示電路中，一個繼電器線圈的 ， ，電源電壓 ， ，已知此繼電器釋放電流為 ，問開關(guān)S閉合后，經(jīng)過多少時間，繼電器才能釋放？,解： 時,將 代入，得,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng),一 電路的零狀態(tài)響應(yīng),直流電壓源通過電阻對電容充電如圖。在圖示電

9、流、電壓的參考方向下，由KVL得換路后的電路方程,零狀態(tài)響應(yīng)：由外施激勵所引起的響應(yīng)。,把元件約束關(guān)系 、 代入，得,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,其解有兩部分組成,方程的通解,第一部分為方程的特解,將初始條件 ，代入得積分常數(shù),又稱強(qiáng)制分量 或穩(wěn)態(tài)分量,又稱自由分量 或瞬態(tài)分量,第二部分為對應(yīng)齊次方程的通解,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,最后得到響應(yīng)的完全解為,響應(yīng)過程：電容電壓由零初始值開始以指數(shù)形式趨近于它的最終值，即直流電壓源電壓US，而電流在換路后瞬間，躍變到最大值，然后以此初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減到零。,電路接通直流電壓源的過程也即是電源通過電阻對電容充電的過程。在充電

10、過程中，電源供給的能量一部分轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中，一部分被電阻轉(zhuǎn)換為熱能消耗。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,充電效率,在充電過程中，電源提供的能量只有一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存于電容中，另一半則為電阻所消耗，也就是說，充電效率為有50%。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,例：圖示電路中，換路前電容為充電。于 時將開關(guān)閉合，求 時電壓 。,解：對換路后的電路求電容兩端的戴維寧等效電路，如圖。,其中,于是，得電路響應(yīng)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,二 電路在直流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng),把元件約束關(guān)系 、 代入，得,圖中換路前電感無電流， 時閉合開關(guān)。在圖示電流、電壓的參考方向下，

11、由KVL得換路后的電路方程,其解仍由兩部分組成,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,其中穩(wěn)態(tài)分量,其瞬態(tài)分量形式為,所以,代入初始條件 ，得 ，故,并得,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,響應(yīng)過程：電感電流由零初始值開始以指數(shù)形式趨近于它的穩(wěn)態(tài)值，而電壓在換路后，電壓達(dá)到最大值，并以此初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減到零。到達(dá)該值后，電壓和電流不再變化，電感相當(dāng)于短路，其電壓為零，達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。此時， 電感的磁場儲能為 。,注意：直流激勵下的 及 電路的零狀態(tài)響應(yīng)，若外加激勵增加K倍，則其零狀態(tài)響應(yīng)也增加K倍，即零狀態(tài)響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系或稱零狀態(tài)線性。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：

12、對換路后的電路求電感支路兩端的戴維寧等效電路，如圖。,例：圖示電路中，已知 ，設(shè)開關(guān)在 時接通，電感電流的初值為零，求電流 和 。,其中,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,于是，得電路響應(yīng)為,及,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,三 電路在正弦激勵下的零狀態(tài)響應(yīng),圖中， 時閉合開關(guān)，使電路與正弦電壓 接通。電路的初始狀態(tài)為零。 為接入相位角（合閘角）。,換路后的電路方程為,其解仍由兩部分組成,其中穩(wěn)態(tài)分量 按正弦電流電路計算。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,所以,電路阻抗為,于是，穩(wěn)態(tài)分量為,瞬態(tài)分量為,代入初始條件 ，得,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,最后得響應(yīng)為, 方程的穩(wěn)

13、態(tài)分量與外加激勵具有相同的形式，即按與外加激勵同頻率的正弦規(guī)律變化。而暫態(tài)分量仍按指數(shù)規(guī)律衰減，隨時間增長趨于零。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,兩種特殊情況：, ，,響應(yīng)：, ，,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：合閘后的電路的阻抗為,例：有一電磁鐵，其電路模型如圖所示，已知：正弦工頻電源電壓 及 ，若接通電源的瞬時電壓初相角 ，求接通電源后電路電流 。,電路的時間常數(shù)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,穩(wěn)態(tài)分量為,合閘后瞬態(tài)分量為,電路零狀態(tài)響應(yīng)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.4 一階電路的全響應(yīng),全響應(yīng)：當(dāng)非零初始狀態(tài)的電路受到外加激勵作用時，電路的響應(yīng)。,

14、一 電路的全響應(yīng),如圖電路中，設(shè) ，電壓源電壓為 ，換路后 的方程仍為,其解仍為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,代入初始條件 ，得,故電容電壓的全響應(yīng)為,及電流,時的全響應(yīng)曲線,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,二 一階電路全響應(yīng)的兩種分解,全響應(yīng) = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量,全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) + 零狀態(tài)響應(yīng),第十章 線性電路過渡過程的時域分析,三 分析一階電路全響應(yīng)的三要素法,無論是把全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和，還是分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，都不過是不同分法，而且上述的分量或響應(yīng)均是全響應(yīng)的特例。全響應(yīng)，它是由初始值、特解和時間常數(shù)三個要素決定的。,在同一個一階

15、電路中的各響應(yīng)的時間常數(shù)都是相同的。對只有一個電容（或電感）元件的電路， （ ）， 為換路后該電容（或電感）元件 所接二端電阻性網(wǎng)絡(luò)除源后的等效電阻。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析, 直流電源激勵下的三要素法公式,全響應(yīng) = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量,設(shè)：電路響應(yīng)為 ，其中,則：一階電路全響應(yīng)為,代入初始值 ，有 ，從而得全響應(yīng)為,三要素法 公式,三要素,第十章 線性電路過渡過程的時域分析, 正弦電源激勵下的三要素法公式,全響應(yīng) = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量,正弦激勵時全響應(yīng)仍是穩(wěn)態(tài)分量與暫態(tài)分量之和，但此時,穩(wěn)態(tài)分量： ，是同頻率的正弦量。,暫態(tài)分量：,所以：一階電路全響應(yīng)為,代入初始值

16、，有 ，從而得全響應(yīng)為,穩(wěn)態(tài)分量 的初始值,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：,例：圖中，設(shè)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。于 時斷開開關(guān)，求斷開開關(guān)后電流 。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：,例：圖中，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。于 時開關(guān)閉合，求 。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：先求電感中電流。,例：圖示電路， 時開關(guān)由1投向2，設(shè)換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求電流 和 。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,求電流,列 電路左邊網(wǎng)孔KVL方程,得,所以，響應(yīng)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,換路前的穩(wěn)態(tài)電路中的電流為,故電感電流初始值為,解：,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,換路后的穩(wěn)態(tài)電

17、路中的電流為,穩(wěn)態(tài)電流為,其初始值為,換路后的電流為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.5 階躍函數(shù)和一階電路的階躍響應(yīng),一 階躍函數(shù),階躍幅度等于1,階躍幅度等于,單位階躍函數(shù)：是一種奇異函數(shù)，其數(shù)學(xué)定義和波形如下,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,階躍幅度等于, 單位階躍函數(shù)可以用來“起始”任意一個函數(shù),第十章 線性電路過渡過程的時域分析, 單位階躍函數(shù)可以用來表示階梯波形,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,階躍函數(shù)在電路中的作用,階躍函數(shù)的“起始”性在電路中表現(xiàn)為具有開關(guān)特性，故又稱為開關(guān)函數(shù)。,例如，電路在 時接通到一個電壓為 的直流電壓源，則此換路動作可用階躍函數(shù)表示為

18、。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,二 一階電路的階躍響應(yīng),把直流激勵下電路的零狀態(tài)響應(yīng)中的激勵量改為階躍量，其響應(yīng)就成為階躍響應(yīng)。,例：RC串聯(lián)電路在階躍電壓 激勵下，電路的零狀態(tài)響應(yīng)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：脈沖電壓可以分解為兩個階躍電壓之和，即,例：求脈沖電壓 在 電路中產(chǎn)生的響應(yīng) 。,兩個階躍響應(yīng)分別為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,電路的零狀態(tài)響應(yīng)為兩個階躍響應(yīng)的疊加，即,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,10.7 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),二階電路：可用二階微分方程描述的電路。,在二階電路中，給定的初始條件應(yīng)有兩個，它們由儲能元件的初始值決定。RLC串聯(lián)電

19、路是最典型的二階電路。,一 方程和特征根,設(shè)各元件電壓與電流的參考方向如圖所示，換路后由KVL得,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,其中,代入方程中，得,其特征方程為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,兩個特征根為,零輸入響應(yīng)為,這里只分析電路的一種初始條件情況，即,兩個特征根僅與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，與激勵無關(guān)。 特征根的不同情況，響應(yīng)的形式也隨著不同。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,特征的三種情況,二 ，非振蕩放電,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,方程通解：,代入初條件得,電壓為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,電路響應(yīng)為,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,響應(yīng)過程： 電

20、容電壓和電流始終不改變方向，表明電容在整個過渡過程中恒處于放電狀態(tài)，其電壓單調(diào)地下降到零。 電流的初始值為零，穩(wěn)態(tài)值也為零，放電過程中電流必然要經(jīng)歷一次最大值。電流達(dá)最大值的時間發(fā)生在電感電壓為零的時刻。 電感電壓的初始值為U0，穩(wěn)態(tài)值為零，在電流達(dá)到最大值時，電感電壓為0。所以電感電壓必有一個負(fù)的最大值，發(fā)生在2tm處。,電流達(dá)到最大值的時間,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,能量轉(zhuǎn)換情況：在整個過渡過程中，電容一直釋放其電場能量。 以前，電流增加，電容釋放的能量除一部分被電阻消耗外，另有一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡姼械拇艌瞿芰俊?時電感儲能達(dá)到最大，電感電壓為零。 以后，電流減小，電感釋放其存儲的磁場

21、能量，電容仍繼續(xù)放電，直到電場儲能和磁場儲能全部被電阻所耗盡，放電結(jié)束，。 在過渡過程中，電感的能量沒有回饋給電容，不存在電場與磁場之間能量往返授受，即不能形成振蕩。因此稱為非振蕩放電放電。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,解：,是非振蕩放電。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,三 ，振蕩放電,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,代入初始條件,得：,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,于是，電路響應(yīng)為：,衰減系數(shù)：越大，衰減越快。 自由振蕩角頻率 ：是一個與電路參數(shù)有關(guān)與激勵無關(guān)的量，表明衰減振蕩快慢。 諧振角頻率0：是RLC串聯(lián)電路在正弦激勵下的諧振

22、角頻率。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,、 都是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦函數(shù)，這種放電過程稱為振蕩放電。在整個過渡過程中，電壓、電流將周期性地改變方向，儲能元件也將周期性地交換能量。,第十章 線性電路過渡過程的時域分析,振蕩放電過程：在0tt1 期間，uC 減小，i 增大，電容釋放的能量 除被電阻消耗外，一部分轉(zhuǎn)換磁場能量存儲于電感中； 在 t1tt2 期間， uC及i及都在減小，電容和電感都釋放其儲能。此時間內(nèi)的情況與非振蕩放電過程相似。在 t = t2 時， uC為零，i 的量值不為零,即，此瞬間，電容儲能已完全釋放，但電感儲能尚未放盡； 在 t2tt3 期間， uC反向增大，i減小，電感釋放能量，一部分被電阻所