1、第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 課堂練習 小結(jié) 布置作業(yè),在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:,當隨機變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 獨立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函數(shù).,解,=a0br+a1br-1+arb0,由獨立性,r=0,1,2, ,一、 的分布,解 依題意,例2 若 X 和 Y 相互獨立,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布, 證

2、明Z=X+Y服從參數(shù)為,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服從參數(shù)為 的泊松分布.,例3 設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函數(shù)是:,它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令 x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和

3、的概率密度的一般公式.,特別地，當 X 和 Y 獨立，設(shè) (X,Y) 關(guān)于 X , Y 的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.,卷積公式,例4 若X和Y 是兩個相互獨立的隨機變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷積公式,令,得,可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,用類似的方法可以證明:,若X和Y 獨立,結(jié)論又如何呢?,此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.,若X和Y 獨立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 則Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0

4、,2).,更一般地, 可以證明:,有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,休息片刻再繼續(xù),二、 商(Z=X/Y)的分布:,特別地, 當X,Y相互獨立時,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設(shè) X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分 布函數(shù)分別為FX(x) 和 FY(y),我們來求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù).,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數(shù)為:,1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 F

5、N(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù),由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)為:,設(shè) X1,Xn 是 n 個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù).,(i = 1, , n),用與二維時完全類似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是,M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為:,特別地，當X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有,例6 設(shè)系統(tǒng) L 由兩

6、個相互獨立的子系統(tǒng) 連接而成,連接的方式分別為 (i) 串聯(lián), (ii) 并聯(lián), (iii) 備用 (當系統(tǒng) 損壞時, 系統(tǒng) 開始工作) , 如下圖所示.設(shè) 的壽命分別為 已知它們的概率密度分別為,其中 且 試分別就以上三種連接方式寫出 的壽命 的概率密度.,解,(i) 串聯(lián)的情況,由于當系統(tǒng) 中有一個損壞時, 系統(tǒng) L 就停止工作,所以此時 L 的壽命為,因為 X 的概率密度為,所以 X 的分布函數(shù)為,當 x 0 時 ,當 x 0 時 ,故,類似地 ,可求得 Y 的分布函數(shù)為,于是 的分布函數(shù)為,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度為,(ii) 并聯(lián)的情況,由于當且僅當系統(tǒng) 都損壞時, 系統(tǒng) L 才停止工作,所以此時 L 的壽命為,故 的分布函數(shù)為,于是 的概率密度為,(iii) 備用的情況,因此整個系統(tǒng) L 的壽命為,由于當系統(tǒng) 損壞時, 系統(tǒng) 才開始工作,當 z 0 時 ,當 z 0 時 ,當且僅當,即 時,