1、考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,返回目錄,考 綱 解 讀,考 向 預(yù) 測(cè),從近兩年的高考試題來(lái)看,求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)、半徑等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題；客觀題突出了“小而巧”，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，主觀題往往在知識(shí)交匯處命題，除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等. 預(yù)測(cè)2012年高考仍將以求圓的方程為主要考查點(diǎn),重點(diǎn)考查運(yùn)算能力以及邏輯推理能力.,返回目錄,返回目錄,1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)圓心為C(a,b)，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2=r2,2

2、.圓的一般方程 （1）當(dāng) 時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，它表示圓心 為 ，半徑為 的圓. （2）當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 一個(gè)點(diǎn) ; （3）當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 .,返回目錄,D2+E2-4F0,( ),不表示任何圖形,( ),返回目錄,3.點(diǎn)P（x0,y0）與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系 (1)當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí)，點(diǎn)P在圓外; (2)當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí),點(diǎn)P在圓上; (3)當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2 r2時(shí)，點(diǎn)P在圓內(nèi).,

3、=,返回目錄,2010年高考天津卷已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程為 .,【分析】先由條件確定選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,后由條件確定圓心坐標(biāo)與半徑.,考點(diǎn)1 求圓的方程,返回目錄,【解析】直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),即圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,0).又圓C與直線x+y+3=0相切, 圓C的半徑為 . 圓C的方程為(x+1)2+y2=2.,返回目錄,求圓的方程時(shí)，據(jù)條件選擇合適的方程形式是關(guān)鍵. （1）當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般式，通過(guò)解三元一次方程組來(lái)得相應(yīng)系數(shù). （2）當(dāng)條件中給出的圓心坐標(biāo)或圓心在某直線上、

4、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式.,根據(jù)下列條件求圓的方程: (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn),并且圓心在直線2x+3y+1=0上; (2)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2); (3)過(guò)三點(diǎn)A(1,12),B(7,10),C(-9,2).,返回目錄,【解析】 (1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, a2+b2=r2 (a-1)2+(b-1)2=r2 2a+3b=1=0， a=4 b=-3 r2=25. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-4)2+(y+3)2=25.,返回目錄,解得,由題意列出方程組,(2)解法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2

5、+(y-b)2=r2, b=-4a (3-a)2+(2-b)2=r2 =r, 解得a=1,b=-4,r=2 . 圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.,返回目錄,則有,返回目錄,解法二：過(guò)切點(diǎn)且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3, 與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為（1，-4）.半徑r=2 , 所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. (3)解法一:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 1+144+D+12E+F=0 49+100+7D+10E+F=0 81+4-9D+2E+F=0, 解得D=-2,E=-4,F=-95. 所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0.

6、,則,解法二:由A(1,12),B(7,10), 得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11),kAB=- , 則AB的中垂線方程為3x-y-1=0. 同理得AC的中垂線方程為x+y-3=0. 3x-y-1=0 x=1 x+y-3=0, y=2, 即圓心坐標(biāo)為(1,2), 半徑r= 所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=100.,返回目錄,聯(lián)立,得,返回目錄,考點(diǎn)2 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值.,【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圓心為(2,0)，半徑為 的

7、圓; 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線 的 斜率，y-x可看作直線y=x+b在y軸上的截距,x2+y2 可看作是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方 ， 可借助于平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求解.,【解析】解法一:（1）原方程化為(x-2)2+y2=3，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以3為半徑的圓，設(shè) =k，即 y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小 值，此時(shí) ，解之得k= . 故 的最大值為 ，最小值為- . (2)設(shè)y-x=b，即y=x+b，當(dāng)y=x+b與圓相切時(shí)，縱 截距b取得最大值和最小值，此時(shí) ，即b=-2 . 故y-x的最大值為-2+ ，最小值為-2- .,返回目錄,(3)x2+y2

8、表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)及圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為2, 故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 , (x2+y2)min=(2- )2=7-4 .,返回目錄,解法二:（1）同上. x=2+ cos y= sin y-x= sin- cos-2= sin（- ）-2. y-x的最大值為 -2,最小值為- -2. (3)由(2)知x2+y2=（2+ cos）2+( sin)2 =4+4 cos+3=7+4 cos. x2+y2的最大值為7+4 ，最小值為7-4 .,返回目錄,(2)令,(R).,返回目錄,與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

9、，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地:形如 的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題;形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題;形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題等.,已知點(diǎn)P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點(diǎn). （1）求P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小 值. （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求 的最大值和最小值.,返回目錄,(1)圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為 P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為 d+r= +1= ，最小值為d - r= -1= .,

10、返回目錄,（2）設(shè)t=x-2y，則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1 有公共點(diǎn). 1.- -2t -2, tmax= -2,tmin=-2- . （3）設(shè)k= ，則直線kx-y-k+2=0與圓 （x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)， 1. k , kmax= ,kmin= .,返回目錄,2009年高考上海卷點(diǎn)P（4，-2）與圓x2+y2=4上任 一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是 .,【分析】用代入法求解.,考點(diǎn)3 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題,返回目錄,返回目錄,【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則x02+y02=4,連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 2x=x0+4 x0=2x-4 2y=y0-2 y0

11、=2y+2， 代入x02+y02=4中得 (x-2)2+(y+1)2=1.,則,返回目錄,求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法： 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等. 此外還有交軌法、參數(shù)法等.不論哪種方法，充分利用圓與圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.,返回目錄,設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以 OM,ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.,【解析】如圖所示，設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn) 坐標(biāo)為 線段MN的中點(diǎn)坐 標(biāo)為,返回目錄,因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故 x0=x+3 y0=y-4. N(x+3,y-4)在圓上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P點(diǎn)的軌