1、高二數(shù)學(xué)常用邏輯用語(yǔ) 蘇教版一. 本周教學(xué)內(nèi)容：常用邏輯用語(yǔ)教學(xué)目的：了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系理解必要條件、充分條件與充要條件的意義；會(huì)判斷必要條件、充分條件與充要條件了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容（對(duì)真值表不作要求）理解全稱量詞與存在量詞的意義；能用全稱量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容理解對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定教學(xué)重點(diǎn)：理解充分必要條件的判斷及命題之間的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：“或”“且”“非”的邏輯關(guān)系的理解一、知識(shí)點(diǎn)歸納：命題：可以判斷真假的語(yǔ)句； 邏輯聯(lián)結(jié)詞

2、或、且、非； 簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題； 復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題 三種形式：p或q、p且q、非p真假判斷：p或q，同假為假，否則為真；p且q，同真為真， 否則為假；非p，真假相反原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p；互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的反證法步驟：假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立充要條件：條件p成立結(jié)論q成立，則稱條件p是結(jié)論q的充分條件結(jié)論q成立條件p成立，則稱條件p是結(jié)論q的必要條件條件p成立結(jié)論q成立，則稱條件p是結(jié)論q的充要條件全稱量詞：短語(yǔ)“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“x”表示，含有全

3、稱量詞的命題叫做全稱命題，全稱命題“對(duì)于M中的任意一個(gè)x，p（x）M”，簡(jiǎn)記xM，p（x）存在量詞：短語(yǔ)“對(duì)存在一個(gè)”“有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“x”表示，含有存在量詞的命題叫做存在命題，存在命題“存在M中的一個(gè)x，p（x）”，簡(jiǎn)記為“xM，p（x）” 例1. 分別寫出由下列命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形成的命題：（1）p：是無(wú)理數(shù) q：是實(shí)數(shù)（2）p：5是15的約數(shù) q：5是20的約數(shù)解：（1）p或q：是無(wú)理數(shù)或?qū)崝?shù)p且q：是無(wú)理數(shù)且為實(shí)數(shù)非p：不是無(wú)理數(shù)（2）p或q：5是15或20的約數(shù)p且q：5是15且也是20的約數(shù)非p：5不是15的約數(shù)例2. 寫出命題“

4、當(dāng)abc=0時(shí)，a=0或b=0或c=0”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假剖析：把原命題改造成“若p則q”形式，再分別寫出其相應(yīng)的逆命題、否命題、逆否命題在判斷真假時(shí)要注意利用等價(jià)命題的原理和規(guī)律解：原命題：若abc=0，則a=0或b=0或c=0，是真命題逆命題：若a=0或b=0或c=0，則abc=0，是真命題否命題：若abc0，則a0且b0且c0，是真命題逆否命題：若a0且b0且c0，則abc0，是真命題例3. 用反證法證明：如果分析：注意反設(shè)時(shí)有兩種情況證明：假設(shè)由于則由，有 均與條件“”相矛盾例4. 設(shè)集合那么“”是“”的（ ）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D

5、 既不充分又不必要條件解：“”即“”“”即“”，所以選B例5. 下列各小題中，p是q的什么條件？p：是整數(shù); q：有且僅有整數(shù)解 （1）p： q：解：（1）必要條件qp成立而pq不成立設(shè)的解是，由是整數(shù)，得是整數(shù)（2）充分條件即成立 而不成立例6. 如果是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（ ）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件 D 既不充分又不必要條件解：同正或同負(fù)當(dāng)?shù)粗荒芡瞥觯绠?dāng)，有成立，卻沒(méi)有成立，所以選A例7. 至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是（ ）A B C D. 或解一：當(dāng)時(shí)，原方程變形為一元一次方程，有一個(gè)負(fù)的實(shí)根當(dāng)時(shí)，原方程為一元二次方程，有實(shí)根的充要條件是即設(shè)兩根，則有

6、一負(fù)實(shí)根 ，有兩負(fù)實(shí)根綜上，解二：排除法當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，可以排除A、D當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以排除B，所以選C例8. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)（1，0），是否存在常數(shù)使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由解：的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），又 ，令得，令得，即由上式得：即的解集為（1）當(dāng)（2）當(dāng)不等式組的解集為，因此存在常數(shù)，其中例9. 在中，“”是“”的什么條件？解：在中，角A、B的對(duì)邊分別是是的外接圓的半徑一方面，因?yàn)?AB，所以ab ， 即 ，亦即 ，從而中AB另一方面，因?yàn)椋?，即 ，得AB，從而中，AB故中，“”是“” 的充要條件例10. 已知

7、命題p:當(dāng)x1，時(shí)，函數(shù)f（x）=（0a1）有意義，命題q:數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn=n2，且對(duì)于任意的正整數(shù)n均有，如果p和q中有且僅有一個(gè)正確，求t的范圍解：要使 p正確：應(yīng)該有atax0，x1，）恒成立t1命題q為真：an=n2（n1）2=2n1， n2p和q中有且僅有一個(gè)正確，則t的范圍是t=1或t0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0a0對(duì)xR恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)有：即 0a4（2）充分性：若0a0 ax2ax+10（xR）恒成立由（1）（2）命題得證12. （）解：集合不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合是；（）證明：首先由中的元素構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對(duì)共有個(gè)，因?yàn)椋忠驗(yàn)楫?dāng)，所以當(dāng)，于是集合中的元素的個(gè)數(shù)最多為，即.（）解：，證明如下：對(duì)于，根據(jù)定義如果是中的不同元素，那么中至少有一個(gè)不成立，于是與中至少有一