1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)專題講座專題講座分類討論分類討論人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 專題講座分類討論 （一）學(xué)習(xí)指導(dǎo) 在解（或證）某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)由問(wèn)題的不同情況而采取不同的轉(zhuǎn) 化方法，或得出不同的結(jié)論。因而這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解就必須“分類討論”， 這與我們?nèi)粘９ぷ髦?，要特別注意“分別情況區(qū)別對(duì)待”是完全一致的。 （二）何時(shí)需要分類討論 1. 某種運(yùn)算可否實(shí)施情況不定： 如：取對(duì)數(shù)時(shí)，真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1 的條件得不到保證， 2. 式子變形的條件能否具備情況不定： 如：不等式兩邊同乘（或除）一個(gè)數(shù)的正、負(fù)不定時(shí)， 3. 函數(shù)的某種性質(zhì)定理具備情況

2、不定： 如：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)由于底 a 的取值范圍不定而導(dǎo)致的函數(shù)的增、減 不定， 4. 解析幾何中，曲線方程的類型不定。 （三）分類討論遵循“不重不漏”的基本原則 1. 對(duì)每一個(gè)基本公式、基本性質(zhì)的適用范圍，對(duì)每一種運(yùn)算實(shí)施的條件，都 能準(zhǔn)確地把握。 2. 思考問(wèn)題時(shí)，切忌極端和片面，力爭(zhēng)統(tǒng)觀全局。 3. 在分類討論的全過(guò)程中，要堅(jiān)持同一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)。 （四）分類討論的類型題 （ ）不含參數(shù)的討論問(wèn)題； （ ）含有參數(shù)的討論問(wèn)題。 1 2 【典型例題典型例題】 1. 不含有參數(shù)的討論問(wèn)題 例 1. 解不等式：logxxx5832 2 解：解：loglog xx xxx583 22 01 5

3、830 583 1 5830 583 2 22 2 22 x xx xxx x xx xxx 或 1 2 3 5 3 2 xx或 原不等式的解集為或xxx| 1 2 3 5 3 2 例 2. 解不等式： xx311 分析：分析：此題要按零點(diǎn)分類去掉絕對(duì)值符號(hào) -1 3 x 零點(diǎn)為和xx 13 應(yīng)該分三類求解 （ ）當(dāng)時(shí)，11 1 311 1 x x xx x （ ）當(dāng)時(shí)，213 13 311 13 1 2 1 2 3 x x xx x x x （ ）當(dāng)時(shí)，33 3 311 3 41 3x x xx x x 綜上，原不等式的解集為：， 1 2 例 3. 設(shè) 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 為橢圓上的點(diǎn)，已

4、知 、 、FF xy PPFF 12 22 12 94 1 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，求的值。PFPF PF PF 12 1 2 分析：分析：因 P、F1、F2是一直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|PF2|，則直角 頂點(diǎn)有兩種可能性，點(diǎn) F2或點(diǎn) P，故有兩解。 解：解：橢圓方程為 xy 22 94 1 abc325， PFPFaF Fc 1212 2622 5， P F1 F2 x （ ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則1906 2112 PF FPFxPFx o xxx 2 2 206 14 3 PFPF 12 14 3 4 3 ， PF PF 1 2 7 2 （ ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，2906 1212 F P

5、FPFxPFx o xxxx 2 2 2 62 542或（舍） PFPF 12 42， PF PF 1 2 4 2 2 y 2 F1 F2 x -2 P 答：若時(shí)，；若時(shí)，。PF F PF PF F PF PF PF oo 21 1 2 12 1 2 90 7 2 902 2. 含有參數(shù)的分類討論問(wèn)題 例 1. 已知：，求證：aba ba b abba 00 證明：證明： a b a b ab a b ab ba a ba b a b 又，ab00 （ ）當(dāng)時(shí)，10101ab a b ab a b a b （ ）當(dāng)時(shí)，20101ab a b ab a b a b （ ）當(dāng)時(shí)，300101ba

6、a b ab a b a b 上述三種情況均說(shuō)明：，即 a b a ba b a b abba 1 例 2. 解關(guān)于 的不等式：xaxx 2 210 解：解：（ ）當(dāng)時(shí)，原不等式10210 1 2 axx （ ）當(dāng)時(shí)，原不等式21101 2 axx （ ）當(dāng)時(shí)，3044 22 1 2 aax a a x a a x a a 12 11 2 11 ， aaxx0210 2 ， 解集為： 1111a a x a a （ ）當(dāng)時(shí)，401 1111 12 ax a a x a a 解集為：或x a a x a a 1111 （ ）當(dāng)時(shí)，原不等式的判別式51440aa 解集為 R 綜上，原不等式的解集為

7、： （ ）當(dāng)時(shí)，10 1111 ax a a x a a （ ）當(dāng)時(shí)，20 1 2 axx （ ）當(dāng)時(shí)，或301 1111 axx a a x a a （ ）當(dāng)時(shí)，411axx （ ）當(dāng)時(shí)，51aR 例 3. 解關(guān)于 的不等式：x xa xa aR 2 0 () 解：解： xa xa xa xa 2 2 00 要求出這個(gè)一元二次不等式的解就必須先比較 a2與 a 的大小， a2aa（a1） （ ）當(dāng)或時(shí)101001 2 aaa aaa 原不等式的解集為： x axa| 2 （ ）當(dāng)時(shí)201001 2 aaa aa 原不等式的解集為： x axa| 2 （ ）當(dāng)或時(shí)301001 2 aaa aa

8、a 原不等式的解集為： 綜上，原不等式的解集為： （ ）當(dāng)或時(shí)，101 2 aax axa| （ ）當(dāng)時(shí)，201 2 ax axa| （ ）當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為301aa 說(shuō)明： （1）在嚴(yán)格分類標(biāo)準(zhǔn)下，分類討論要做到不重不漏，但也不要分得過(guò)細(xì)、 過(guò)碎。 （2）不等式的解集要按參數(shù)的分類寫出，千萬(wàn)不可以合并。 例 4. 函數(shù)的圖象與 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)f xmxmxx( ) 1211 2 數(shù) m 的值及這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：分析：因?yàn)橐阎獥l件未指明 f(x)是 x 的二次函數(shù)，故當(dāng) x2的系數(shù)為零時(shí)， f(x)是一次函數(shù)。當(dāng) x2的系數(shù)不為零時(shí)，f(x)是二次函數(shù)，因此要分類討論。

9、解：解：mR，有以下兩種情況： （ ）當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，其圖象為一條直線1110mmf x ( ) 當(dāng)時(shí)，圖象與 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意mf xxx 141 1 4 0( ), 當(dāng)時(shí)，直線與 軸無(wú)交點(diǎn)，但mf xyxmm 11111( ) （ ）當(dāng)時(shí)，2mm 110 f(x)是 x 的二次函數(shù)，其圖象為開口向上的拋物線 拋物線 f(x)與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn) 拋物線 f(x)與 x 軸必相切 41410 2 mm 即：mmm 2 20(*) 當(dāng)且時(shí)，式化為：mmmm0130 2 (*) mm03或 mm00，為所求 此時(shí)，f xxxx( ) 2 2 211 拋物線與 軸的公共點(diǎn)為，f xx(

10、 )10 當(dāng)且時(shí)，式化為：mmmm 010 2 (*) mm01或 又，此時(shí)無(wú)解m 0 綜上所述，所求實(shí)數(shù) m 的值為 1 和 0 當(dāng)時(shí)，公共點(diǎn)為， 當(dāng)時(shí)，公共點(diǎn)為， m m 1 1 4 0 010 注：一般在化去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)要注意分類討論。 【模擬試題模擬試題】 1. 已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，求雙曲線的離心率。60o 2. 求過(guò)點(diǎn) P（0，4）與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線。yx 2 2 3. 解關(guān)于 x 的不等式： ax x aR 1 1() 試題答案試題答案 1. 解：解： y x 60 30 c b 或 a a 或 b （1）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)， a c c a o co

11、s30 2 3 3 ， （2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)， a c c a o sin302， 綜上，雙曲線的離心率為或 2。 2 3 3 2. 解：解：過(guò)點(diǎn) P（0，4）與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 3 條。yx 2 2 y 4 y=4 x （1）當(dāng)斜率不存在且過(guò)點(diǎn) P（0，4）時(shí)，直線方程為。x 0 （2）當(dāng)斜率存在且為時(shí)，過(guò) P（0，4）的直線：。k 0y 4 （3）當(dāng)斜率存在且又過(guò)點(diǎn) P（0，4）應(yīng)與拋物線相切k 0 ，消去 y， ykx yx 4 2 2 k xkx 22 82160 64324640 1 8 1 8 4 22 kkkk yx 綜上，所求過(guò)點(diǎn) P（0，4）且與有一

12、個(gè)公共點(diǎn)的直線為：yx 2 2 （1）當(dāng) k 不存在時(shí)，直線為；x 0 （2）當(dāng)時(shí)，直線為；k 0y 4 （3）當(dāng)時(shí)，直線為。k 0yx 1 8 4 3. 解：解： ax x 1 1 axx x xa x 1 1 0 1 110 （1）當(dāng)，即時(shí)，原不等式10aa 1 xx a 1 1 1 0 當(dāng)時(shí)，即a 01 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解為：或x a 1 1 x 1 當(dāng)時(shí)，即01a1 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解為：或x 1x a 1 1 （2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，10aa 1xx101 （3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式10aa 1 xx a 1 1 1 0 ，即1