1、第八章 拉普拉斯變換,拉普拉斯變換理論（又稱為運算微積分，或稱為算子微積分） 是在19世紀末發(fā)展起來的首先是英國工程師亥維賽德(O.Heaviside) 發(fā)明了用運算法解決當時電工計算中出現的一些問題，但是缺乏嚴 密的數學論證后來由法國數學家拉普拉斯(P.S.Laplace)給出了嚴密 的數學定義，稱之為拉普拉斯變換方法,8.1 拉普拉斯變換的概念,本節(jié)介紹拉普拉斯變換的定義、拉普拉斯變換的存在定理、 常用函數的拉普拉斯變換，以及拉普拉斯變換的性質,8.1.1 拉普拉斯變換的定義,傅里葉變換要求進行變換的函數在無窮區(qū)間,有定義，在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并要求,存在這是一個比較苛刻的要

2、求，一些常用的,函數，如階躍函數,，以及,些要求另外，,等均不滿足這,為自變量的函數，往往當,在物理、線性控制等實際應用中，許多以時間,時沒有意義，或者不需要知道,就限制了傅里葉變換應用的范圍,的情況因此傅里葉變換要求的函數條件比較強，這,為了解決上述問題而拓寬應用范圍，人們發(fā)現對于任意一,個實函數,，可以經過適當地改造以滿足傅氏變換的基本,條件,首先將函數,乘以單位階躍函數：,得到,，則根據傅氏變換理論有,很顯然通過這樣的處理，當,時，,在沒有定,義的情況下問題得到了解決但是仍然不能回避,在,上絕對可積的限制為此，我們考慮到當,時，衰減速度很快的函數，那就是指數函數,于是有,上式即可簡寫為,

3、這是由實函數,通過一種新的變換得到的復變函數，,這種變換就是我們要定義的拉普拉斯變換,定義8.1.1 設 實函數,在,上有定義，且積分,（,為復參變量）,上某一范圍,對復平面,收斂，則由這個積分所確定的函數,（8.1.1）,稱為函數,的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為,像函數），記為,（說明：有的書籍記：,，即,為函數,的拉氏變換）,綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數是一個,實自變量為,的復值函數，而拉氏變換的像函數則是一個復,變數,的復值函數，由式（8.1.1）式可以看出，,的拉氏變換實際上就是,的傅氏變換,（其中,為單位階躍函數），因此拉氏變換實質上就是,一種單邊的廣義傅氏變換

4、，單邊是指積分區(qū)間從0到,廣義是指函數,要乘上,之后再,作傅氏變換,例8.1.1 求拉氏變換,【解】 在,(按照假設,) 即為,的半平面，,例8.1.2 求拉氏變換,【解】 在,的半平面,同理有,例8.1.3 求單位階躍函數,的拉氏變換,【解】 由拉氏變換的定義，有,設,，由于,，所以，當且僅當,時，,，從而有,例8.1.4 求拉氏變換,為常數.,【解】 在,的半平面上,請記住這個積分以后會經常用到,例8.1.5 若,或,拉氏變換,為實數），求,【解】,同理,例8.1.6 求拉氏變換,為常數.,【解】 在,的半平面上，,同理,例8.1.7 若,（,為復數），求拉氏變換,【解】,8.1.2 拉氏

5、變換的存在定理,定理 8.1.1 拉氏變換存在定理,若函數,滿足下述條件：,（1）當,時，,=0；當,時，,在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；,（2）當,時，,的增長速度不超過某一,指數函數，即存在常數,及,，使得,則,在半平面,上存,在且解析,【證明】：證明,存在由,所以上述積分絕對收斂，且,在右半平面,存在,然后證明,解析為此，在積分號內對,導數，并取,求偏,為任意實常數），則有,故積分,在半平面,上一致收斂，可交換積分與微商的次序，即,故,的導數在,且有限，可見,在半平面,內解析,上處處存在,8.2 拉普拉斯逆變換概念,定義8.2.1 拉氏逆變換,若滿足式：,，我們稱,為,的拉普拉斯逆變換，簡稱

6、拉氏逆變換（或稱為,原函數），記為,為了計算拉氏逆,變換的方便，下面給出拉氏逆變換的具體表達式,實際上,的拉氏變換，就是,的傅氏變換.因此，當,滿足傅氏,積分定理的條件時，根據傅里葉積分公式，,在連續(xù)點處,等式兩端同乘,，并注意到這個因子與積分變量,無關，,故,時,令,，則有,（8.2.1）,上式為,的拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式,記為,并且,稱為,的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為像原函,數或原函數）,（8.2.1）稱為黎曼梅林反演公式，這就是從像函數求原函數,上式右端的積分稱為拉氏反演積分公式,的一般公式,注意：公式,和公式,構成一對互逆的,積分變換公式，,8.3 拉氏變換的性

7、質,雖然，由拉氏變換的定義式可以求出一些常用函數的拉氏變換但在實際應用中我們總結出一些規(guī)律：即拉氏變換的一些基本性質通過這些性質使得許多復雜計算簡單化,我們約定需要取拉氏變換的函數，均滿足拉氏變換存在定理的,條件,性質1 線性定理,若,為任意常數，且,，則,(8.3.1),【證明】,根據逆變換的定義，不難證明第二式具體留給讀者去證明,例8.3.1 求 函數,的拉氏變換.,【解】,例8.3.2 求函數,的拉氏逆變換,【解】 因為,例8.3.3求,【解】,性質2 延遲定理,若設,為非負實數，,，又當,時，,，則,(8.3.2),或,【證明】由定義出發(fā)，隨后令,，可得,利用,0時，,=0，積分下限可

8、改為零，故得,例8.3.4 已知,，求,【解】用階躍函數表示,再利用線性定理及延遲定理，有,性質3 位移定理 若,，則有,(8.3.3),其中,是,的增長指數,證明 根據定義,例8.3.5 求,【解】令,=,，則由,得,=,利用位移定理,，即有,性質4 相似定理,設,，則對于大于零,的常數,，有,（8.3.4）,【證明】由定義出發(fā)，隨后作變量代換,，則,性質5 微分定理 設,存在且分段連續(xù)，則,（8.3.5）,【證明】 由定義出發(fā)，隨后用分部積分，可得,同理，用,取代上述的,，可得,繼續(xù)作下去，即得所證,特別地，當,則,性質6 像函數的微分定理,(8.3.6),【證明】在拉氏變換定義式兩邊對,

9、求導,繼續(xù)作下去，即得所證,性質7 積分定理 設,，則,(8.3.7),【證明】設,，則,由微分定理，有,即,由,可得,一般地對應n重積分，我們有,性質8 像函數的積分定理,(8.3.8),【證明】由拉氏變換的定義式出發(fā)，隨后交換積分次序,上面交換積分次序的根據是,在滿足,條件下是一致收斂的,性質9 拉氏變換的卷積定理,(1) 定義 8.3.1 拉氏變換的卷積,前一章我們學習了傅氏變換的卷積概念和性質，當,是,上絕對可積函數時，它們的卷積是,如果當,時，有,，則上式可寫為,因為在拉氏變換中總認為,時，像函數,因此把上式（8.3.9）定義為拉氏變換的卷積,恒為零，,（2）拉氏變換的卷積定理,(8.3.10),【證明】首先由卷積定義及拉氏變換定義出發(fā)，隨后交換積分 次序，并作變量代換：,由于當,時,=0,，第二個積分下限可寫成,零，再將,提出第二個積分號外，便有,應用拉普拉斯變換法時經常要求,，若,能分解為,，對上式作逆變換，即有,(8.3.11),8.4 拉普拉斯變換的反演,求拉普拉斯變換的反演即為在已知像函數情況下求原函數 （即為