1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)解析幾何中的范圍問(wèn)題解析幾何中的范圍問(wèn)題人教版文人教版文 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 解析幾何中的范圍問(wèn)題 二. 教學(xué)重、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 確定某個(gè)變量的范圍，使得問(wèn)題中給出的幾何圖形具有某種幾何性質(zhì)，或滿(mǎn)足某種數(shù) 量，位置關(guān)系。 2. 難點(diǎn)： 建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式。 【典型例題典型例題】 例 1 雙曲線(xiàn))0, 1( 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦點(diǎn)距為c2，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b） ， 且點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離與點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離之和cs 5 4 ，求雙曲線(xiàn)的離 心率e的取值范圍。 解：解：直線(xiàn)的l的方程

2、為1 b y a x 即0abaybx 點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離 22 1 ) 1( ba ab d ，點(diǎn))0 , 1(到直線(xiàn)l的距離 22 2 ) 1( ba ab d 21 dds c ab ba ab22 22 由cs 5 4 ，得c c ab 5 42 即 222 25caca 于是得 22 215ee 即02525 24 ee 得5 4 5 2 e 由于01e，所以e的取值范圍是5 2 5 e 例 2 已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為 A（1，0） ，點(diǎn) P、Q 在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn) M（ 0 , m）到直線(xiàn) AP 的距離為 1。若直線(xiàn) AP 的斜率為k，且3, 3 3 k，求實(shí)數(shù)

3、 m的取值范圍。 解：解：由條件得直線(xiàn) AP 的方程) 1( xky，即0kykx 因?yàn)辄c(diǎn) M 到直線(xiàn) AP 的距離為 1，所以1 1 2 k kmk 即 2 2 1 1 1 1 kk k m 3, 3 3 k 21 3 32 m 解得31 3 32 m或 3 32 11m 所以m的取值范圍是3 , 3 32 1 3 32 1 , 1 例 3 設(shè)雙曲線(xiàn) C：)0( 1 2 2 2 ay a x 與直線(xiàn)l：1 yx相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A，B。 求雙曲線(xiàn) C 的離心率e的取值范圍。 解：解：由 C 與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組 1 1 2 2 2 yx y a x 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 消去

4、y并整理得022)1 ( 2222 axaxa 由 0)1 (84 01 224 2 aaa a 解得20 a且1a 雙曲線(xiàn)的離心率1 11 2 2 aa a e 因?yàn)?0 a且1a 所以 2 6 e且2e，即離心率e的取值范圍為 ),2()2, 2 6 ( 例 4 設(shè) A、B 是橢圓 22 3yx上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N（1，3）是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)與橢圓交于 C、D 兩點(diǎn)。確定的取值范圍，并求直線(xiàn) AB 的方程。 解：解法解：解法 1：依題意，可設(shè)直線(xiàn) AB 的方程為3) 1(xky，代入 22 3yx， 整理得 0)3()3(2)3( 222 kxkkxk 設(shè) A（ 1

5、1, y x） ，B（ 22, y x） ，則 21,x x是方程的兩個(gè)不同的根 0)3(3)3( 4 22 kk 且 3 )3(2 2 21 k kk xx，由 N（1，3）是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，得1 2 21 xx 3)3( 2 kkk 解得1k代入得12，即的取值范圍是（,12） 于是，直線(xiàn) AB 的方程) 1(3xy即04 yx 解法解法 2：設(shè) A（ 11, y x） ，B（ 22, y x） ， 則有 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 yx yx )( 3 2121 xxxx+)( 2121 yyyy=0 依題意， 21 xx ， 21 21 )( 3 yy xx kAB N

6、（1，3）是 AB 的中點(diǎn) 2 21 xx，6 21 yy，從而1 AB k 又由 N（1，3）在橢圓內(nèi) 12313 22 的取值范圍是（,12）直線(xiàn) AB 的方程為 ) 1(3xy，即04 yx 例 5 設(shè)點(diǎn) P 到 M（0 , 1） ，N（1，0）的距離之差為m2，到x軸、y軸距離之比為 2， 求m的取值范圍。 解法一：解法一：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（yx,） ，依題設(shè)得2 x y 即0,2xxy 因此，點(diǎn) P（yx,） 、M（0 , 1） 、N（1，0）三點(diǎn)不共線(xiàn)，得 2MNPNPM 02mPNPM 10 m 因此，點(diǎn) P 在以 M、N 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為m2的雙曲線(xiàn)上，故1 1 2 2 2

7、2 m y m x 將式代入，并解得 2 22 2 51 )1 ( m mm x 01 2 m 051 2 m 解得 5 5 0 m 即m的取值范圍為 5 5 , 0 0 , 5 5 解法二：解法二：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為),(yx，依題設(shè)得2 x y 即0,2xyxy 由mPNPM2， 得myxyx2) 1() 1( 2222 由式可得m yxyx x 2 ) 1() 1( 4 2222 所以， 2 1 2 2 y x m，且0m 由式移項(xiàng)，兩邊平方整理得 222 ) 1(mxyxm 將式代入，整理得)1 ()51 ( 2222 mmxm 0 2 x，且式右端大于 0 051 2 m 綜上，得m

8、滿(mǎn)得 5 5 0 m 例 6 直線(xiàn)：1 kxy與雙曲線(xiàn) C：12 22 yx的右支交于不同的兩點(diǎn) A、B。求實(shí)數(shù) k的取值范圍。 分析：分析：直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則不僅僅是0的問(wèn)題，還需要追加 制約條件。 解：解： （1）將直線(xiàn)l的方程1 kxy代入雙曲線(xiàn) C 的方程12 22 yx后，整理得 022)2( 22 kxxk 依題意，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn) C 的右支交于不同兩點(diǎn)，故 0 2 2 0 2 2 0)2(8)2( 02 2 2 22 2 k k k kk k 解得22k 例 7 已知橢圓1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） ，A、B 是橢圓上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段 AB 的垂

9、直平分 線(xiàn)與x軸交于 P（ 0 , 0 x） 。證明： a ba x a ba 22 0 22 。 解：解：設(shè) A（ 11, y x） ，B（ 22, y x） P（ 0 , 0 x）是中垂線(xiàn)上的點(diǎn) PA=PB 則 2 2 2 20 2 1 2 10 )()(yxxyxx 2 2 2 20 2 1 2 10 )()(yxxyxx 解出 0 x，得 )(2 )()( 21 2 2 2 1 2 2 2 1 0 xx yyxx x 又 A、B 在橢圓上 222 2 22 2 2 222 1 22 1 2 bayaxb bayaxb 0)()( 2 2 2 1 22 2 2 1 2 yyaxxb )(

10、 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 xx a b yy 代入得)( 2 21 2 22 0 xx a ba x axxa22 21 a ba x a ba 22 0 22 例 8 如圖 P 是拋物線(xiàn) C： 2 2 1 xy 上一點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn) P 且與拋物線(xiàn) C 交于另一點(diǎn) Q。 若直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn) S，與y軸交于點(diǎn) T，試求 SQ ST SP ST 的取值范圍。 解：解： 設(shè) P（ 11, y x） ，Q（ 22, y x） ，M（ 00, y x） ，依題意0 1 x，0 1 y，0 2 y 設(shè)直線(xiàn)l：bkxy，依題意0k，0b，則 T（b, 0）分別過(guò) P，Q 作PP

11、x軸，xQQ軸，垂足分別為 P 、 Q ，則 21 y b y b QQ OT PP OT SQ ST SP ST 由 bkxy xy 2 2 1 消去x，得0)(2 222 bybky（1） 則 2 21 2 21 )(2 byy bkyy 方法方法 1： 2 1 2 1 2) 11 ( 2 2121 b b yy b yy b SQ ST SP ST 因?yàn)?21, y y可取一切不相等的正數(shù) 所以 SQ ST SP ST 的取值范圍是（2，） 方法方法 2： SQ ST SP ST 2 2 21 21 )(2 b bk b yy yy b 當(dāng)0b時(shí)， SQ ST SP ST 22 2)(2

12、)(2 22 2 2 b k b bk b bk b 當(dāng)0b時(shí)， SQ ST SP ST b bk b bk b )(2)(2 2 2 2 又由方程（1）有兩個(gè)相異實(shí)根，得0)2(44)(4 22222 bkkbbk 于是02 2 bk，即bk2 2 所以 SQ ST SP ST 2 )2(2 b bb SQ ST SP ST 的取值范圍是（2，） 【模擬試題模擬試題】（答題時(shí)間：40 分鐘） 1. 設(shè) P 是橢圓1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，且90 21PF F， 求橢圓離心率的最小值。 2. 已知直線(xiàn)) 2 1 0(bbxy與拋物線(xiàn)xy2 2

13、相交于 A、B 兩點(diǎn)，求使ABO的 面積最大時(shí)的直線(xiàn)方程。 3. 已知：直線(xiàn)l：)0(kkxy和頂點(diǎn)為 A 的拋物線(xiàn) C：) 1(3) 1( 2 xy有公共點(diǎn)， 點(diǎn) P（0 , a）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 Q，若 AQ 垂直于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，求a的取值范圍。 4. 已知：橢圓1 3 2 2 y x 的一個(gè)頂點(diǎn) A（0，1） ，是否存在斜率為k（0k）的直 線(xiàn)l，使l與已知橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn) M、N，且使ANAM ？若存在，求出k的范 圍；若不存在，說(shuō)明理由。 【試題答案試題答案】 1. 思路：由aPFPF2 21 和 2 2 21 2 2 2 1 4cFFPFPF，得到 21 PFPF =)(

14、2 22 ca ，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于 21 PFPF 、的一元二次方程，在解有關(guān)焦點(diǎn)三角形的最值問(wèn) 題時(shí)常常運(yùn)用這種方法。 解：由橢圓的定義得：aPFPF2 21 在 21PF F中，90 21PF F 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 2 4c 2，得)(2 22 21 caPFPF 由、可知， 1 PF、 2 PF是方程0)(22 222 caazz的兩根 從而0)(84 222 caa 2 1 )( 2 a c ，即 2 2 a c e 所以離心率的最小值為 2 2 2. 思路：建立ABO的面積關(guān)于變數(shù)b的目標(biāo)函數(shù)，求使目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)b的值。 解：設(shè)ABO的面積為 S，點(diǎn) O 到 A

15、B 的距離為d，A（ 11, y x） ，B（ 22, y x）聯(lián)立 xy bxy 2 2 ，得到0)22( 22 bxbx bxx22 21 ， 2 21 bxx 21 2xxAB 21 2 21 4)(2xxxx=b842 而 2 b d ，于是 2 842 2 1b bSbb21 bbbbb2121 )21 (bbb 9 3 ) 3 21 ( 3 bbb 當(dāng)且僅當(dāng)bb21，即 3 1 b時(shí)等號(hào)成立 故ABO的面積最大時(shí)的直線(xiàn)方程為 3 1 xy 3. 解：聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn) C 方程， 整理得04)32( 22 xkxk 由l與 C 有公共點(diǎn)，得016)32( 22 kk 解得 2 1 2 3 k，且0k 如圖所示，拋物線(xiàn)頂點(diǎn) A（1, 1） ，而 AQ 垂直于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，故可設(shè) Q（ 0 , 1 y） P 和 Q 關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng) ka y a k y 1 1 2 1 2 0 0 消去 0 y，得 1 1 2 a a k 由 2 1 2 3 k，且0k，得 4 9 0 2 k 4 9 1 1 0 a a 解得 5 13 a，或1a 故a的取值范圍是), 1 ( 5 13 ,( 4. 解：由ANAM 可得 A 與 MN 中點(diǎn) T 的連線(xiàn) ATMN，出現(xiàn)了弦的中點(diǎn)且可用 斜率的乘積為1，所以可用點(diǎn)差法。 設(shè) M（ 11, y x） 、N（ 22, y