1、,算法與思維 - 觀察2,2011-12,觀 察2 觀察是有目的、有計(jì)劃地運(yùn)用眼、耳等感覺器官對(duì)自然條件下的各種現(xiàn)象進(jìn)行考察的一種科學(xué)方法?？茖W(xué)上的發(fā)現(xiàn)，大多離不開試驗(yàn)和觀察，偉大的科學(xué)家，無不具有敏銳的觀察能力。 300多年前，意大利物理學(xué)家伽利略觀察到教堂里吊燈來回?cái)[動(dòng)的距離雖然漸漸減小，但來回?cái)[動(dòng)一次所用的時(shí)間卻不變這一現(xiàn)象，通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)了擺的等時(shí)規(guī)律。古希臘學(xué)者阿基米德觀察洗澡時(shí)水從浴缸中溢出這一現(xiàn)象受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了浮力原理。 本世紀(jì)的科學(xué)巨匠愛因斯坦對(duì)數(shù)字就有著異常敏銳的觀察能力據(jù)說有一次，愛因斯坦的一位朋友對(duì)他說：“我家的電話號(hào)碼真難記，一點(diǎn)也沒有規(guī)律，它是24361”

2、愛因斯坦一聽，很驚奇地說：“這有什么難記呀?兩打，十九的平方?！?以思維敏捷著稱的印度數(shù)學(xué)家拉馬努賈也有這樣的軼事。在他一次患病住院時(shí)，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代去看望他，哈代在談話中說起他來時(shí)乘的車號(hào)碼是1729，說這數(shù)毫無趣味，不料拉馬努賈聽后回答說：“不！這個(gè)數(shù)十分有趣。它是可以用兩種不同方式寫成兩個(gè)數(shù)的立方和的最小正整數(shù)”原來他眼就看出1729=103 + 93=123 + 13。而且還迅速判斷出1729是最小的一個(gè)。 這些大師對(duì)數(shù)字的敏銳觀察力在很大程度上幫助他們?nèi)〉昧私艹龅某删?。?shù)學(xué)家歐拉說：“今天已知的許多數(shù)的性質(zhì)，大部分是通過觀察發(fā)現(xiàn)的，而且在它的真實(shí)性被嚴(yán)格證明以前很久就巳被發(fā)現(xiàn)了雖然有

3、許多數(shù)的性質(zhì)我們都非常熟悉，但至今未能證明，只有靠觀察才能獲得這些知識(shí)?！?思維故事,丟勒幻方 德國(guó)畫家阿爾伯雷希特丟勒在他1514年所作的蝕刻畫憂郁中加入了這個(gè)幻方。它比一般意義下的幻方有更多的奇妙之處。 首先，你能否在空格中填上數(shù)字，使每行，每列和每條主對(duì)角線上的數(shù)之和為34。 然后，你能否找出這個(gè)幻方的其他奇妙之處?,思維游戲,魔幻方陣(5.16) 題目要求 有一種方陣被稱為魔幻方陣。所謂魔幻方陣是指在nn 的矩陣中填寫1n2 這n2個(gè)數(shù)字，使得它的每一行、每一列以及兩個(gè)對(duì)角線之和均相等。例如三階魔幻方陣如下: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 使得它的每一行、每一列以及兩個(gè)對(duì)角線之和

4、均為15。編寫一個(gè)程序，打印出一種三階的魔幻方陣。 題目分析 求解魔幻方陣的種最直觀，最簡(jiǎn)便的方法是應(yīng)用窮舉法。要求解一個(gè)三階的魔幻方陣，就是在3X3的方陣中填寫19這9個(gè)數(shù)字，使得它滿足魔幻方陣的要求。根據(jù)排列組合的知識(shí)不難理解，如果任意地將19這9個(gè)數(shù)字填寫到3X3的方陣格子中，共有9！種排列方式。而在這9！種排列方式中，定包含著滿足魔幻方陣要求的排列方式。只要找到種這樣的排列方式，就找到了該問題的答案。因此，解決魔幻方陣問題的算法設(shè)計(jì)思想是：窮舉出3X3的方陣格子中的9！排列方式，找到一種滿足魔幻方陣要求的排列方式將其輸出。 關(guān)鍵問題在于如何窮舉出這9！種排列方式?？梢赃@樣思考這個(gè)問題，

5、如果將3X3的方陣的每個(gè)格子中都設(shè)置個(gè)固定的變量，通過9重循環(huán)和一個(gè)”循環(huán)變量互不相籌“的條件判斷，篩選這9！種排列方式，從中找出一種答案。,程序清單5-17 int match(int i,int j,int k,int l,int m,int n,int o,int p,int q) /* 判斷iq是否互不相等 */ if(i!=j ,i j k l m n o p q,發(fā)現(xiàn)問題 前面的算法存在兩大問題: （1）九重循環(huán)太多 在中間數(shù)字只能為5的情況，每一行列及斜線只要己知其中兩個(gè)或者一個(gè)數(shù)，就可以依據(jù)和為15的條件求出其余的數(shù)字，這樣我們順著這個(gè)思路觀察，可以先求出i及k這兩個(gè)角上的數(shù)，

6、那么，j=15-i-k 。求得j后，那么p=10-j 也可求得;依據(jù)這個(gè)想法觀察魔幻方陣，你能填寫出下面的算式嗎? i j k o= _; q=_; l=_; n=_; l m n o p q 這樣只需要兩重循環(huán)，外循環(huán)I,內(nèi)循環(huán)k。 (2) 九個(gè)數(shù)互不相等判別太羅嗦 判斷i與其他8個(gè)元素不相等要寫8個(gè)關(guān)系式，j要再寫7個(gè)，p還要寫1個(gè)，一共要寫36個(gè)，全用邏輯乘連接起來。關(guān)系式很容易遺漏，也可能重復(fù)。 解決這一問題可以利用數(shù)組a作為標(biāo)志, 如k=6 那么 ak=1 表明6這個(gè)數(shù)字被用過了。在iq的九個(gè)變量都賦值后，b循環(huán)19 計(jì)算ab的累加和是否為9。和為9則九個(gè)變量的值互不相同。 設(shè)標(biāo)志數(shù)

7、組 a 初始全為零,若i取得一個(gè)19之間正整數(shù), 則標(biāo)志ai=1;全部九個(gè)變量都標(biāo)志后，做一次九個(gè)標(biāo)志數(shù)的累加，若和為9則19九個(gè)數(shù)全都有，而且不重復(fù)。,朱世杰的發(fā)現(xiàn) 堆垛問題是高階等差級(jí)數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容堆垛，在國(guó)外也叫做積彈許多重要的數(shù)學(xué)公式里都出現(xiàn)“堆垛數(shù)”，因此，有必要介紹一下堆垛數(shù)。 最簡(jiǎn)單的堆垛是排成正三角形的圓彈(如下圖)。 事實(shí)上，每邊有1，2，3，4，n，n個(gè)圓彈的正三角形內(nèi)的圓彈總數(shù)分別是： 堆垛問題最早就是我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰研究的，并將歸納的一般么式書寫在四元玉鑒一書中。,練習(xí)題 1 三角形數(shù) 三角形數(shù)字是將一組圓堆成等邊三角形。所用圓的個(gè)數(shù)：2個(gè)圓放在1個(gè)下面，3個(gè)放在

8、2個(gè)的下面依次類推。三角形模式有什么特別的規(guī)律，請(qǐng)你編程序。輸入n（從1至19），輸出第n個(gè)三角形數(shù)共有多少個(gè)圓組成？,2. 觀察后發(fā)現(xiàn) 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，將奇數(shù)數(shù)列 1，3，5，7，9，11，13，15，17， 按下述規(guī)定分組：第1組1項(xiàng)，第2組2項(xiàng)，第3組3項(xiàng)，第n組”個(gè)項(xiàng)，并寫出各組的和： 1 =1 3+5 =8 7+9+1 =27 13+15+17+19 =64 從這里你能看出一點(diǎn)什么?你一定發(fā)現(xiàn)了 1=13，8=23 ,27=33 ，64=43， 于是，很自然地會(huì)作出以下推測(cè)： 第n組的n個(gè)項(xiàng)之和等于n3 。 這個(gè)推測(cè)是對(duì)的，奇數(shù)數(shù)列的這個(gè)奇妙性質(zhì)是古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者尼可馬克發(fā)現(xiàn)的。 我們同樣可以從小養(yǎng)成模仿科學(xué)家觀察發(fā)現(xiàn)公式的習(xí)慣，因此，在國(guó)外的幾次中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，出現(xiàn)了下面這類問題：