1、第7講,空間中角與距離的計(jì)算,1.異面直線所成的角 過空間任一點(diǎn) O 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b. 那么直線 a與 b所成的銳角或直角，叫做異面直線 a 與 b 所,成的角(或夾角)，其范圍是_.,(0，90,2.直線與平面所成的角 (1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成,的角等于 0.,90,(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于_. (3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條 斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90). 斜線與平面所成的線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的 直線所成的一切角中最小的角.,3.二面角 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)

2、半平面組成的圖形叫做二面角.從 二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的 兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是,直角的二面角叫做_.,直二面角,4.點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)與它在平面上的射影間的距離叫做該點(diǎn)到這個(gè)平面的距 離.求點(diǎn)到平面的距離通常運(yùn)用等體積法，即構(gòu)造一個(gè)三棱錐， 將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高. 5.直線與平面平行，那么直線上任一點(diǎn)到平面的距離叫做 這條直線與平面的距離.,1.若 a(1，2，3)是平面的一個(gè)法向量，則下列向量中能,),作為平面的法向量的是( A.(0，1，2) C.(1，2，3),B.(3，6，9) D.(3，6，8),解析：向量

3、(1，2，3)與向量(3，6，9)共線.,B,2.若直線 l，且 l 的方向向量為(2，m，1)，平面的法向,量為,，則 m(,),A.4 C.8,B.6 D.8,C,3.已知平面 上的兩個(gè)向量 a(2，3，1)，b(5，6，4)，,),則平面的一個(gè)法向量為( A.(1，1，1) C.(2，1，1),B.(2，1，1) D.(1，1，1),C,4.如圖 8-7-1，在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC2，,AA11，則 BC1 與平面 BB1D1D 所成角的正弦值為_. 圖 8-7-1,考點(diǎn) 1,線面所成角的計(jì)算,例 1：(2017 年廣東惠州三模)如圖 8-7-2，四棱錐 P-

4、ABCD 的底面是梯形，且 ABCD，AB平面 PAD ，E 是 PB 中點(diǎn)， (1)求證：CE平面 PAB； (2)若 CE ，AB4，求直線 CE,與平面 PDC 所成角的大小.,圖 8-7-2,，,(1)證明：取 AP 的中點(diǎn) F，連接 DF，EF，如圖. 因?yàn)?PDAD，所以 DFAP. 因?yàn)?AB平面 PAD ，DF平面 PAD ， 所以 ABDF. 又因?yàn)?APABA，所以 DF平面 PAB.,因?yàn)辄c(diǎn) E 是 PB 中點(diǎn)，所以 EFAB，且 EF,AB 2,.,又因?yàn)?ABCD，且 CD,AB 2,所以 EFCD，且 EFCD.,所以四邊形 EFDC 為平行四邊形.所以 CEDF，

5、 所以 CE平面 PAB.,圖 D66,(2)解：如圖 D66，設(shè)點(diǎn) O，G 分別為 AD，BC 的中點(diǎn)，連,接 OG，則 OGAB.,因?yàn)?AB平面 PAD ，AD平面 PAD ， 所以 ABAD.所以 OGAD.,又因?yàn)?AB4，所以 AD2.,所以APD 為正三角形.所以 POAD. 因?yàn)?AB平面 PAD ，PO平面 PAD ， 所以 ABPO.,又因?yàn)?ADABA，所以 PO平面 ABCD.,【規(guī)律方法】求直線與平面所成的角，大致有兩種基本方,法：,傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法：通過射影轉(zhuǎn)化法作出直線 與平面所成的線面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影 的基本方法是過直線上一點(diǎn)作平

6、面的垂線，連接垂足和斜足得 到直線在平面內(nèi)的射影；有時(shí)也可通過找到經(jīng)過斜線且垂直于 已知平面的垂面來確定斜線在平面內(nèi)的射影，此時(shí)平面與垂面 的交線即為射影.,空間向量的坐標(biāo)法：建系并確定點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，然后 利用向量的夾角公式通過坐標(biāo)運(yùn)算求得直線和平面所成的角.,【互動(dòng)探究】,1.(2017 年北京) 如圖 8-7-3 ，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為正方形，平面 PAD 平面 ABCD，點(diǎn) M 在線段 PB 上， PD平面 MAC，PA PD ，AB4.,(1)求證：M 為 PB 的中點(diǎn)； (2)求二面角 B-PD-A 的大小；,(3)求直線 MC 與平面 BDP 所成角的正

7、弦值.,圖 8-7-3,(1)證明：設(shè) AC，BD 交點(diǎn)為 E，連接 ME，如圖 D68. 因?yàn)?PD平面 MAC，平面 MAC平面 PBDME，所以,PDME.,因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 E 為 BD 的中點(diǎn). 所以 M 為 PB 的中點(diǎn).,圖 D68,(2)解：取 AD 的中點(diǎn) O，連接 OP，OE. 因?yàn)?PA PD，所以 OPAD.,又因?yàn)槠矫?PAD平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD， OPAD，且 OP平面 PAD ，所以 OP平面 ABCD.,因?yàn)?OE平面 ABCD，所以 OPOE. 因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 OEAD. 如圖 D69，建立空間直角坐標(biāo)系

8、O-xyz，,圖 D69,考點(diǎn) 2,面面所成角的計(jì)算,例2：(2017 年江蘇)如圖 874，在平行六面體 ABCD BAD120. (1)求異面直線 A1B 與 AC1 所成角的余弦值； (2)求二面角 B-A1D-A 的正弦值. 圖 8-7-4,如圖D67，以AE，AD，AA1為正交基底，建立空間直角坐,解：在平面 ABCD 內(nèi)，過點(diǎn) A 作 AEAD，交 BC 于點(diǎn) E. 因?yàn)?AA1平面ABCD，所以 AA1AE，AA1AD., ,標(biāo)系 A-xyz.,圖 D67,【規(guī)律方法】求二面角，大致有兩種基本方法： (1)傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法： 定義法；垂面法；三垂線定理法；射影面積法. (

9、2)空間向量的坐標(biāo)法：建系并確定點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，分別 求出兩個(gè)平面的法向量，通過求兩個(gè)法向量的夾角得出二面角 的大小.,【互動(dòng)探究】 2.(2017 年新課標(biāo))如圖 8-7-5，四棱錐 P-ABCD 中，側(cè)面 ABC90，E 是 PD 的中點(diǎn). (1)證明：直線 CE平面 PAB； (2)點(diǎn) M 在棱 PC 上，且直線 BM 與底面 ABCD 所成銳角為 45 ，求二面角 M-AB-D,的余弦值.,圖 8-7-5,(1)證明：取 PA 中點(diǎn) F，連接 EF，BF. 由BADABC90，得 BCAD，,所以四邊形 BCEF 為平行四邊形.所以 CEBF. 又 BF平面 PAB，CE 平面 PAB

10、， 所以 CE平面 PAB.,圖 D70,難點(diǎn)突破 利用空間向量求空間距離 例題：(2017 年天津)如圖 8-7-6，在三棱錐 P-ABC 中，PA 底面 ABC，BAC90.點(diǎn) D， E，N 分別為棱 PA ，PC，BC 的中點(diǎn)，M 是線 段 AD 的中點(diǎn)，PA AC4，AB2. (1)求證：MN平面 BDE；,(2)求二面角 C-EM-N 的正弦值；,圖 8-7-6,(3)已知點(diǎn) H 在棱 PA 上，且直線 NH 與直線 BE 所成角的余,弦值為,，求線段 AH 的長.,解：如圖8-7-7，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP方向?yàn)閤, ,軸、y 軸、z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.,圖

11、8-7-7,依題意可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0， 4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).,【互動(dòng)探究】 3.已知多面體 S-ABCD 如圖 8-7-8，底面 ABCD 為矩形，其 中 DC平面 SAD，SDA90，若 P，Q，R 分別是 BC，SA， AD 的中心，其中 ADCD2. (1)證明：ADPQ；,(2)若二面角 S-BR-D 的余弦值為,，求 SD 的長.,圖 8-7-8,(1)證明：取 SD 的中點(diǎn) H，連接 QH，HC.,因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 ADBC，ADBC. 因?yàn)?Q，H 分別是 SA，SD 的中點(diǎn)，,所以 QHPC，QHPC.,所以四邊形 QHCP 是平行四邊形.所以 PQHC. 因?yàn)镾DA90，SDDCD， 所以 AD平面 SDC.,又 HC平面 SDC，所以 ADHC.所以