1、曲線運(yùn)動曲直談,曲線運(yùn)動要點(diǎn),一、曲線運(yùn)動的發(fā)生條件,F,合外力方向與速度方向不在一直線,二、曲線運(yùn)動的特點(diǎn),速度方向一定變化,切向力改變速度大小 法向力改變速度方向,v,Fn,Ft,三、求解曲線運(yùn)動問題的運(yùn)動學(xué)基本方法,矢量的合成與分解,微元法,曲線運(yùn)動的加速度,質(zhì)點(diǎn)的瞬時加速度定義為,A,vB,為求一般的做曲線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在任一點(diǎn)的瞬時加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度at,O,A點(diǎn)曲率圓,A點(diǎn)曲率圓半徑,B,在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時的速度與加速度的大小各為多少？,專題7-例1,依據(jù)實(shí)際運(yùn)動效果分解船的運(yùn)動：,v

2、0,A,v,vn,h,s,vt,船及與船相系的繩端A的實(shí)際運(yùn)動是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動而成，即將實(shí)際速度v分解成沿繩方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度vt;,注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點(diǎn)沿繩方向移動速率vn:,由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得：,求船的速度,續(xù)解,求船的加速度,在一小段時間t內(nèi),船頭位置從A移A，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度0:,A,v,v0,vt,v0,讀題,由加速度定義得：,由幾何關(guān)系得：,質(zhì)點(diǎn)沿圓周做速度大小、方向均變化的運(yùn)動每個瞬時的加速度均可分解為切向

3、加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點(diǎn)速率變化快慢，后者反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化快慢,如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)由靜止開始沿半徑為R的圓周做速率均勻增大的運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)時質(zhì)點(diǎn)的加速度與速度方向夾角為，質(zhì)點(diǎn)通過的弧s所對的圓心角為，試確定與間的關(guān)系,專題7-例2,vA,a,A,O,s,at,an,由題給條件,而,又,如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿一圓周運(yùn)動，過M點(diǎn)時速度大小為v，作加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大小,小試身手題1,將M點(diǎn)加速度沿切向與法向進(jìn)行分解!,v,a,M,A,l,O,at,an,法向加速度,如圖所示，曲柄OA長40 cm,以等角速度=0.5rad/s繞O軸反時針方向轉(zhuǎn)動由于曲柄的

4、A端推動水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當(dāng)曲柄與水平線夾角=30時，滑桿C的加速度,小試身手題2,桿A與B板接觸點(diǎn)有相同沿豎直方向的加速度 !,桿上A點(diǎn)加速度,O,A,B,C,aA,aAy,aC,此即滑桿C的加速度,代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度,有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)DAB，且FDL，如圖試求此時獵犬的加速度的大小,小試身手題3,設(shè)t時間內(nèi)，v2方向變化, 0時:,F,L,A,B,D,由加速度定義，獵犬 加速度,賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛，在0.1 s內(nèi)速度由10.0ms加大

5、到10.5 ms，那么該賽車在半徑為30 m的環(huán)形公路段行駛中，要達(dá)到同樣大的速度需要多少時間？當(dāng)環(huán)形公路段的半徑為多少時，賽車的速度就不可能增大到超過10 m/s？（公路的路面是水平的）,小試身手題4,直線加速時車的加速度 :,在環(huán)形公路上，法向加速度,切向加速度,代入數(shù)據(jù),當(dāng)軌道半徑令法向加速度大小等于a0:,無切向加速度，賽車速率不會增加,質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動，初速度的大小為v0在運(yùn)動過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時間T質(zhì)點(diǎn)的速度v,小試身手題6,設(shè)速率從v0增加,取運(yùn)動過程中第i個極短時間t，由題意有,本題用微元法,若速率從v0減小, 有,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)相對槽

6、的運(yùn)動及與槽一起轉(zhuǎn)動兩者之合運(yùn)動,如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度繞盤心O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點(diǎn)沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運(yùn)動，試求質(zhì)點(diǎn)的加速度,專題7-例3,科里奧利加速度,A,O,本題討論中介參考系以勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成,設(shè)某一瞬時質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動到與O相距r的位置A,B,A,經(jīng)t時間，質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動到與盤心O相距r+ut 的位置B ，盤轉(zhuǎn)過了角度t，故質(zhì)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)在位置B,在t時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿y方向速度增量為,在t時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿x方向速度增量為,注意到t0時,續(xù)解,讀題,方向與x成,牽連加速度,科里奧利加速度,矢量圖示,中介參考系以勻速轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成,相對中介參考系的加速度,牽連加速度

7、,科里奧利加速度,由于參考系轉(zhuǎn)動及質(zhì)點(diǎn)對參考系有相對運(yùn)動而產(chǎn)生的，方向指向u沿方向轉(zhuǎn)過90的方向,返回,試手,如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，某一點(diǎn)M以等相對速度沿AB邊運(yùn)動，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時，M點(diǎn)走過了AB，如已知ABb，試求M點(diǎn)在A時的速度與加速度,小試身手題5,求質(zhì)點(diǎn)的速度,O,A,B,引入中介參照系-三角形OAB,質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（相對速度）,三角形A點(diǎn)對軸的速度（牽連速度）,質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（絕對速度）vM,vMA,vA,三速度關(guān)系為,vM,方向與AB夾角,續(xù)解,求質(zhì)點(diǎn)的加速度,相對中介參考系的加速度,牽連加速度,科里奧利加速度,O,A,B,a

8、A,a科,aM,方向與AO夾角,規(guī)律,曲線運(yùn)動軌跡的曲率,曲線的彎曲程度用曲率描述,曲線上某點(diǎn)的曲率定義為,圓周上各點(diǎn)曲率相同:,曲線上各點(diǎn)對應(yīng)的半徑為該點(diǎn)曲率倒數(shù)1/K的圓稱為曲率圓,該圓圓心稱曲線該點(diǎn)的曲率中心!,物理方法求曲率(半徑)示例1,用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點(diǎn)的曲率半徑,已知長半軸與短半軸為a和b.,專題7-例4,設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動，這個運(yùn)動在M1平面的一個分運(yùn)動軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角,對橢圓長軸端的A點(diǎn):,aA1,對A點(diǎn)投影A1點(diǎn):,橢圓短軸端B點(diǎn)的曲率半徑由,v,v,aA,v,aB,aB,用運(yùn)動分解法求拋物線上某點(diǎn)的曲率半徑.,專題7-

9、例5,p,設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v0做平拋運(yùn)動,平拋規(guī)律,消去t得,對軌跡上的P點(diǎn):,式中,物理方法求曲率(半徑)示例2,拋物線上x=p/2點(diǎn),試手,旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同試用運(yùn)動學(xué)方法求解曲率半徑值,小試身手題7,設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運(yùn)動、同時以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運(yùn)動，每前進(jìn)一個螺距，完成一次圓周，即有,設(shè)螺旋線上任一點(diǎn)的曲率半徑為,h,r,受恒力作用,平拋運(yùn)動規(guī)律,力與初速度垂直,軌跡為半支拋物線,勻變速曲線運(yùn)動,物體在時刻t的位置,物體在時刻t的速度,水平方向勻速運(yùn)動與豎直方向自由落體運(yùn)動的合成,返回,平拋初速大小不同,落在斜面上時速度方向相同!,變

10、換坐標(biāo)描述平拋運(yùn)動,v0,g,空中飛行時間,距斜面最大高度,沿斜面方向的勻加速運(yùn)動與垂直斜面方向的上拋運(yùn)動之合成!,如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個坡的末端形如水平跳板當(dāng)跳板高h(yuǎn)為何值時，冰球飛過的距離s最遠(yuǎn)？它等于多少？,小試身手題8,物體從坡末端B水平飛出后做平拋運(yùn)動:,由基本不等式性質(zhì),兩個質(zhì)點(diǎn)以加速度g在均勻重力場中運(yùn)動開始時兩個質(zhì)點(diǎn)位于同一點(diǎn)，且其中一個質(zhì)點(diǎn)具有水平速度v13.0 ms；另一個質(zhì)點(diǎn)水平速度v24.0 ms，方向與前者相反求當(dāng)兩個質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相互垂直時，它們之間的距離,小試身手題9,當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)速度互相垂直時，速度矢量關(guān)系如圖示:,v1,vy,v1t

11、,v2t,v2,vy,由矢量圖得,如圖，一倉庫高25 m，寬40 m今在倉庫前l(fā) m、高5 m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時，初速度v0之值最小？（g取10 m/s2）,小試身手題10,h,S,v0,l,vB,A,B,過B點(diǎn)時速度方向與水平成45時，可以最小的vB越過40m倉庫頂 !,從A到B豎直方向分運(yùn)動有,從A到B水平方向分運(yùn)動有,木排停泊在河上，到岸的距離L60 m流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2 m/s小汽船離開岸駛向木排船對水的速度v=7.2 km/h問駕駛員在起航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對面的

12、木排？這時船航行多少時間？,小試身手題11,V0=v,流水速度為,船的合速度為,在岸邊船的合速度大小,V0=v,方向如示 !,中間時刻船合速度沿x方向,航線如 示,v,u中,V,V,v,uL,通過L的時間,如圖所示，一個完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點(diǎn)同時斜面正以V10ms在水平面上做勻速運(yùn)動，斜面與水平面的傾角為45問在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？,小試身手題12,球以v=10 m/s入射，與斜面的接近速度,v,V,球與斜面的分離速度,球從與斜面分離到再次碰撞歷時,g,注意到球沿斜面體方向初速度為零，加速度gsin45,球再與斜面碰撞處距A,如圖所示，一人站在一平滑

13、的山坡上，山坡與水平面成角度他與水平成仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達(dá)到的最大距離,小試身手題13,v0,g,石子沿山坡方向做勻加速運(yùn)動,石子沿垂直山坡方向做勻加速運(yùn)動,設(shè)拋出石子的仰角為,小球以恒定速度v沿水平面運(yùn)動，在A點(diǎn)墜落于半徑為r和深為的豎直圓柱形井中小球速度v與過點(diǎn)井的直徑成，俯視如圖問v、H、r、之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計摩擦）,小試身手題14,v,A,小球運(yùn)動軌跡的俯視圖如示,小球兩次與壁相碰點(diǎn)間水平射程為,歷時,從進(jìn)入至與底碰撞歷時,為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能

14、夠從井里“跳出來”,(n、k均為正整數(shù)),小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零,小球在水平方向以v勻速運(yùn)動,碰壁“反射”,如圖，一位網(wǎng)球運(yùn)動員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地處第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在處球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計，試求運(yùn)動員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？,小試身手題15,設(shè)C點(diǎn)高度為h，由題意球1運(yùn)動時間為,由題意球2運(yùn)動時間為,水平射程相同,初速度為v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程,小試身手題16,這個問題可抽象為一個求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域,如圖，在空間三維坐標(biāo)中，設(shè)初速度方向與xy平面成角，由拋體運(yùn)動規(guī)律可建立時間t的三個參數(shù)方程,續(xù)解,這是發(fā)射角各不相同的炮彈的空間軌跡方程,此方程式有解時，必滿足,包絡(luò)線方程為,這里我們運(yùn)用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型處理了一個有實(shí)際應(yīng)用背景的物理問題,整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程,讀題,機(jī)車以等速率v0沿直線軌道行駛機(jī)車車輪半徑為r如車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點(diǎn)M在軌道上的起點(diǎn)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并將軌道取為x