1、3.2.5距離(選學(xué))1理解點(diǎn)到平面的距離的概念(重點(diǎn))2能靈活運(yùn)用向量方法求各種空間距離(難點(diǎn)、重點(diǎn))3體會(huì)向量法在求空間距離中的作用基礎(chǔ)初探教材整理距離閱讀教材P112P113“例2”，完成下列問題1圖形與圖形的距離一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離2點(diǎn)到平面的距離一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)正射影的距離，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的距離3直線與它的平行平面的距離一條直線上的任一點(diǎn)，到與它平行的平面的距離，叫做直線與這個(gè)平面的距離4兩個(gè)平行平面的距離(1)和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線(2)公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段(3)

2、兩平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩平行平面的距離5四種距離的關(guān)系如圖3235，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是_圖3235【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，O，A1(1,0,1)，則，(1,0,1)由題意知為平面ABC1D1的一個(gè)法向量，所以O(shè)到平面ABC1D1的距離d|cos，|.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型兩點(diǎn)間的距離如圖3236，空間四邊形ABCD

3、的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)圖3236【精彩點(diǎn)撥】利用|求解【自主解答】設(shè)p，q，r.由題意|p|q|r|a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60.()(qrp)|2(qrp)(qrp)q2r2p22(qrqprp)2a2.|a，即MN的長(zhǎng)為a.計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的基本方法：(1)把線段用向量表示，然后利用|a|2aa，通過向量運(yùn)算求|a|.(2)求解的圖形適合建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，可用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)再練一題1已知平行六面體ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.求AC的長(zhǎng)圖3237【解】因?yàn)椋詜

4、2()()|2|2|22()4232522(0107.5)85.因此|.點(diǎn)到平面的距離如圖3238，已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離圖3238【精彩點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解【自主解答】以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，則G(0,0,2)，B(0,4,0)，A(4,4,0)，D(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)(4,2，2)，(2,4，2)，(0，4,2)設(shè)平面EFG的法向量為n(x，y，z)，則有n0，n02xyz0，x2yz0，取x1，則y1，

5、z3，得n(1,1,3)，n的一個(gè)單位向量n0.則點(diǎn)B到平面EFG的距離為|cos ，n|n0|，即點(diǎn)B到平面EFG的距離為.用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟再練一題2如圖3239，已知四棱錐SABCD，SA底面ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BFFC，求點(diǎn)A到平面SEF的距離圖3239【解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AS所在的直線為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示，則A(0,0,0)，E(0,2,0)，F(xiàn)(1,4,0)，S(0,0,4)，(0,0,4)，(0,2，4)，(1,4，4)設(shè)平面SEF的法向量n(x，y，z)，

6、則n0，且n0，即(0,2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1,4，4)(x，y，z)x4y4z0.在上面的兩個(gè)方程中，令zk，則可解得x4k，y2k，zk.所以n(4k,2k，k)，n的單位向量n0.因此，點(diǎn)A到平面SEF的距離d|n0|.探究共研型直線與平面、平面與平面的距離探究1已知平面的一個(gè)法向量n(2，2,1)，點(diǎn)A(1,3,0)在內(nèi)，求P(2,1,4)到的距離【提示】d.探究2四棱錐PABCD的底面ABCD是菱形，AB4，ABC60，側(cè)棱PA底面AC，且PA4，E是PA的中點(diǎn)，求PC與平面BED間的距離并說明直線PC上各點(diǎn)到平面BED的距離間的關(guān)系【提示】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，

7、ACD中CD邊上的高AF為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F為CD的中點(diǎn)，于是A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(xiàn)(0,2，0)，C(2,2，0)，D(2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)設(shè)平面BED的法向量n(x，y，z)，由(4,0,2)，(2，2，2)，得即得取z2，得n(1，2)(2,2，4)，n2680，故PC平面BED，PC到平面BED的距離就是P到平面BED的距離(0,0,2)，d.直線PC上各點(diǎn)到平面BED的距離都相等棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，C1C的中點(diǎn)，DGDD1，過E，F(xiàn)，G的平面交AA1于點(diǎn)H，求A1D1到平面E

8、FGH的距離【精彩點(diǎn)撥】把A1D1到平面EFGH的距離轉(zhuǎn)化為直線A1D1上某一點(diǎn)(如點(diǎn)D1)到平面EFGH的距離，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【自主解答】以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則E，F(xiàn)，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1,0,0)，(1,0,0)，.又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距離，即D1到平面EFGH的距離設(shè)平面EFGH的法向量n(x，y，z)，則n0，且n0，即令z6，可得n(0，1,6)，n0.又，d|n0|，因此，A1D1到平面EFGH的距離為.

9、1求直線與平面的距離以及平面與平面之間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則2求解點(diǎn)到平面的距離常用的方法：(1)空間向量法；(2)垂線段法；(3)等體積法再練一題3正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD間的距離圖3240【解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(xiàn)(2,4,4)，N(4,2,4)從而(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2，0,4)，EF

10、MN，AMBF，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD.設(shè)n(x，y，z)是平面AMN的法向量，從而解得取z1，得n(2，2,1)，由于(0,4,0)，所以在n上的投影為.兩平行平面間的距離d.構(gòu)建體系1若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A.B2C. D【解析】()(4,3,6)，而(0,1,0)，|.【答案】D2已知ABC的頂點(diǎn)A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則AC邊長(zhǎng)的高BD的長(zhǎng)等于()A3B4C5D6【解析】(4，5,0)，(0,4，3)，則在上的投影d4，而|，AC邊上的高BD

11、5.【答案】C3點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA平面ABCD，Q為線段AP的中點(diǎn)，AB3，BC4，PA2.則P到平面BQD的距離為_圖3241【解析】如圖，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，(3,0，1)，(3,4,0)，(0,0,1)，設(shè)平面BQD的法向量n(x，y，z)，由得令x4，則z12，y3，n(4,3,12)P到平面BQD的距離d.【答案】4已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于_【解析】，|2|2|

12、2|2，|22.在RtBDC中，BC.平面ABC平面BCD，過D作DHBC于H，則DH平面ABC，DH的長(zhǎng)即為D到平面ABC的距離，DH.【答案】5在三棱錐BACD中，平面ABD平面ACD，若棱長(zhǎng)ACCDADAB1，且BAD30，求點(diǎn)D到平面ABC的距離【解】如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸，y軸，過O作OM平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，則yx，zx，可取n(，1,3)，代入d，得d，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)

13、業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知平面的一個(gè)法向量n(2，2,1)，點(diǎn)A(1,3,0)在平面內(nèi)，則點(diǎn)P(2,1,4)到平面的距離為()A10B3CD【解析】由題意可知(1,2，4)設(shè)點(diǎn)P到的距離為h，則h.【答案】D2在ABC中，AB15，BCA120，若ABC所在平面外一點(diǎn)P到A，B，C的距離都是14，則P到的距離是()A13 B11 C9 D7【解析】作PO于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心OA5，PO11即為所求【答案】B3在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是()A. B

14、 C D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)設(shè)平面MBD的法向量為n(x，y，z)，則令x1，則可得n(1，1，2)da.【答案】A4若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，AB1與底面ABCD成60角，則A1C1到底面ABCD的距離為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A. B1 C D【解析】如圖，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距離等于點(diǎn)A1到平面ABCD的距離，由AB1與平面ABCD所成的角是60，AB1，所以BB1，即點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為.【答案】D5已知二面角l為60，動(dòng)

15、點(diǎn)P，Q分別在平面，內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為2，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為()A2 B2 C2 D4【解析】作PM，QN，垂足分別為M，N.分別在平面，內(nèi)作PEl，QFl，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖所示，連接ME，NF，則MEl，PEM為二面角l的平面角，PEM60.在RtPME中，|2，同理|4.又，|24|21622220|2224cos 12012|2.當(dāng)|2取最小值0時(shí)，|2最小，此時(shí)|2.【答案】C二、填空題6如圖3242，已知在60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，則CD_.圖3242【解析】ACl，BDl，l為60的二面角，60.，2

16、222222，5212242|cos ，220212cos 12022，|.【答案】7在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，則點(diǎn)D到平面PBC的距離是_【解析】分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)設(shè)n(x，y，z)為平面PBC的法向量，則即取x1，則n(1,0,1)又(2,1,0)，點(diǎn)D到平面PBC的距離為.【答案】8正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是

17、BB1，CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F(xiàn)，如圖所示設(shè)平面A1D1E的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0，即ax0，ayz0，令z2，得n(0,1,2)又，所求距離da.【答案】a三、解答題9在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDDA2，E，F(xiàn)分別為PC，AD的中點(diǎn)圖3243(1)證明：DE平面PFB；(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離【解】(1)證明：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則P(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，

18、B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1).平面PFB.又D平面PFB，DE平面PFB.(2)令平面PFB的法向量為n(x，y，z)，則令x2，則法向量n(2，1,1)又(0,1，1)，d.點(diǎn)E到平面PFB的距離為.10已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD平面ABCD，且PD1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離【解】(1)建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面PEF的法向量n(x，y，z)，則

19、即令x2，則y2，z3，所以n(2,2,3)，所以點(diǎn)D到平面PEF的距離為d，因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為.(2)因?yàn)椋渣c(diǎn)A到平面PEF的距離為d，所以AC到平面PEF的距離為.能力提升1正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M分的比為，N為BB1的中點(diǎn)，則|MN|為()A.a Ba Ca Da【解析】以D為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.又M分的比為，M，|a.【答案】A2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離為()A3 B C D【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1,0)，設(shè)n(x，y，z)是平面EFG的一個(gè)法向量，則 xy