1、教 學(xué) 案 例學(xué) 科： 數(shù)學(xué) 課 題：函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系教 材： 人教新版 寫(xiě)作時(shí)間： 2004年11月 寫(xiě)作時(shí)工作年限： 5 函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系學(xué) 校北京宏志中學(xué)授課人石玉星授課時(shí)間2004.11.18授課班級(jí)高一（2）研 究課 題函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：探索研究當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有兩條對(duì)稱(chēng)軸、有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸或有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心時(shí)的周期情況能力目標(biāo)：1. 培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、動(dòng)手、歸納總結(jié)、語(yǔ)言表達(dá)的能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力2. 培養(yǎng)學(xué)生相互協(xié)作的能力3. 培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力和對(duì)問(wèn)題的延伸拓展能力思想目標(biāo)：. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的

2、思想，以及由特殊到一般、由一般到特殊的辯證思想，希望學(xué)生遇到問(wèn)題不要逃避，而是勇于面對(duì)盡量予以解決，通過(guò)分組討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力，從而提高學(xué)生的整體素養(yǎng)，增強(qiáng)班級(jí)凝聚力教學(xué)重點(diǎn)學(xué)生提出并研究函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系，并適當(dāng)證明教學(xué)難點(diǎn) 如何引導(dǎo)學(xué)生一步一步地引申推廣研究方法分組合作，由特殊到一般、由一般到特殊的研究方法教學(xué)手段TI-92圖形計(jì)算器、實(shí)物投影儀、電腦等教 學(xué) 過(guò) 程說(shuō)明 課前準(zhǔn)備：教師方面 實(shí)物投影、電腦播放錄象、打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板、chalk、相冊(cè)、課件， 學(xué)生方面：數(shù)學(xué)筆記、數(shù)學(xué)作業(yè)紙、TI、尺子在蒼茫的大海上，有一只漁船出海打魚(yú)，這只漁船能否滿(mǎn)載而歸呢？有經(jīng)驗(yàn)的漁夫

3、知道什么時(shí)候該去什么地方打什么樣的魚(yú)，可見(jiàn)打魚(yú)是有規(guī)律可循的。我們的學(xué)習(xí)又何嘗不是如此呢？如果你能找到合適的學(xué)習(xí)方法，遵循學(xué)習(xí)的規(guī)律，你們定能取得優(yōu)異的成績(jī)，來(lái)回報(bào)總書(shū)記和社會(huì)各界的關(guān)心，回報(bào)你的親戚朋友對(duì)你們的期望。同學(xué)們?cè)诟咧胁坏獙W(xué)會(huì)新知識(shí)，更要學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題。我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)了函數(shù)的三大性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，同時(shí)我們又學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)以、中心對(duì)稱(chēng)和函數(shù)圖象變換的問(wèn)題，這些知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常交織在一起，讓人容易混淆，但又是競(jìng)賽和高考中經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，為了使大家的思路更清晰，今天我們就探討一下函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和周期性有關(guān)問(wèn)題.一、提出問(wèn)題，引發(fā)思考引題：（2003年山東臨沂高

4、三模擬題）定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對(duì)任意x都滿(mǎn)足f（2+x）=f（2-x），若f（25）=1，求f（1）的值. 解：以“x-2”代換“x”，得f（x）=f（4-x），又f(x)是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），所以f（-x）=f（4-x），以“-x”代換“x”，得f（x）=f（x+4），可見(jiàn)，f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以f（1）=f（25）=1.這道題算是做完了，難道我們僅僅滿(mǎn)足于做出這道題嗎？答案是否定的.做完一道題以后，我們要學(xué)會(huì)反思，善于從題目和解答過(guò)程中提煉有用的信息，舉一反三，把這個(gè)問(wèn)題引申推廣.從這道題中我們可以把條件和結(jié)論單獨(dú)拿出來(lái)，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為

5、x=0，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，周期為4，我們已經(jīng)從“數(shù)”的角度在理論上證明了如果一個(gè)函數(shù)有兩條不同的對(duì)稱(chēng)軸x=0和x=2，則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù).有的同學(xué)可能會(huì)想：這也太抽象了吧？為了讓大家有一個(gè)直觀地認(rèn)識(shí)，下面我們從“形”的角度觀察一下這個(gè)函數(shù)的周期性。大家能不能構(gòu)造出符合題意的一個(gè)函數(shù)圖象？數(shù)有形時(shí)更直觀，形有數(shù)時(shí)更入微二、問(wèn)題的推廣1. 軸對(duì)稱(chēng)和周期的關(guān)系我們發(fā)現(xiàn)的兩條對(duì)稱(chēng)軸和周期的關(guān)系，對(duì)一般情況是不是都成立呢？一般情況又是什么呢？若一個(gè)函數(shù)的圖象有兩條不同的對(duì)稱(chēng)軸x=m和x=n，則這個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)？如果是的話，求它的一個(gè)正周期.（三人一組進(jìn)行研究，學(xué)生可以先用TI畫(huà)圖直觀地觀察，

6、也可以手畫(huà)，觀察出它的確是周期函數(shù)，猜想出它的一個(gè)周期）推廣1：若定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象有兩條不同的對(duì)稱(chēng)軸x=m和x=n，則這個(gè)函數(shù)是以2|n-m|為正周期的周期函數(shù). 特殊地，當(dāng)m=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，正周期為2|n|.做圖不能代替于證明，作為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯窟^(guò)程，我們還需要從理論上加以證明。條件可以寫(xiě)成好幾種形式，到底寫(xiě)成哪種？我們應(yīng)該有目標(biāo)意識(shí)，即f（x）=f（x+T），證明：由已知f（x）=f（2m-x），f（x）=f（2n-x），所以f（2m-x）=f（2n-x），以“-x”代換x，得f（2m+x）=f（2n+x），以“x-2m”代換“x”，得f（x）=f（x+2n-2m）

7、，所以f（x）是以2（n-m）為周期的周期函數(shù).證明完后問(wèn)：這個(gè)函數(shù)有多少條對(duì)稱(chēng)軸？上面我們研究的都是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸和周期的關(guān)系，可見(jiàn)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的對(duì)稱(chēng)軸，則這個(gè)函數(shù)就一定是周期函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，這個(gè)函數(shù)的圖象就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.可見(jiàn)軸對(duì)稱(chēng)和周期性之間關(guān)系密切.配套習(xí)題1：（2001年全國(guó)高考題）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的.（1）略.（2）求證：f（x）是周期函數(shù).這個(gè)結(jié)論是我們?cè)诹?xí)題的基礎(chǔ)上推廣得到的，可謂“舉一反一”，研究到此，大家還能夠提出類(lèi)似的新的研究問(wèn)題嗎？還能“反”嗎？設(shè)計(jì)思路：若學(xué)生可能把一條對(duì)稱(chēng)軸換成一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則研究

8、推廣2，推廣3課下研究若學(xué)生把兩條對(duì)稱(chēng)軸都換成對(duì)稱(chēng)中心，則研究推廣3，推廣2課下研究?jī)蓚€(gè)只講其一，另一個(gè)課下研究.很好！有的同學(xué)想研究中心對(duì)稱(chēng)和周期的關(guān)系，有的想研究軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)和周期的關(guān)系，為了方便，我們先研究軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)和周期的關(guān)系2. 軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)與周期的關(guān)系大家提出的問(wèn)題是什么呢？學(xué)生可能提出問(wèn)題：若一個(gè)函數(shù)有一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，那么這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是能求出一個(gè)正周期嗎？把這個(gè)問(wèn)題稍微具體化一下，即給出對(duì)稱(chēng)軸方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，同學(xué)們可以先從“形”的角度看一下. 通過(guò)畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)它的確是周期函數(shù).周期可能不太好看.如果看不出來(lái)，也可以在證明過(guò)程中找周期.推廣2.1

9、：定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的圖象如果有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，0）和一條對(duì)稱(chēng)軸x=m，則f（x）是以4|m-a|為正周期的周期函數(shù). 特殊地，當(dāng)a=0時(shí)，這是個(gè)奇函數(shù)，；當(dāng)m=0時(shí)，這是個(gè)偶函數(shù)，證明：由知：f（x）=-f（2a-x），由知：f（x）=f（2m-x），所以f（2m-x）=-f（2a-x），以“-x”代換“x”，得f（2m+x）= - f（2a+x），以“x-2m”代換“x”，得f（x）=-f（x+2a-2m），再以“x+2a-2m）”代換“x”得f（x+2a-2m）=- f（x+4a-4m），所以f（x）= f（x+4a-4m）.從而得證.配套習(xí)題2： （1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試

10、題）設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系式：f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（ ）（A）偶函數(shù)，又是周期函數(shù) （B）偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)（C）奇函數(shù)，又是周期函數(shù) （D）奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)由此可見(jiàn)，一個(gè)函數(shù)的圖象如果有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸，也能得出這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù).在此基礎(chǔ)上這個(gè)函數(shù)就有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.推廣2.2 定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象如果有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，b）和一條對(duì)稱(chēng)軸x=m，則這個(gè)函數(shù)是以4|m-a|為正周期的周期函數(shù).（要有目標(biāo)意識(shí)）這個(gè)的證明稍微有點(diǎn)難度.f(a-x)+f(a+x)=2b，

11、下面這道題實(shí)際上是從證明中抽取的一部分，我們看看如何證明。（主要培養(yǎng)目標(biāo)意識(shí)）配套習(xí)題3：定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）+f（2-x）=3，求證f（x）是周期函數(shù).證明：以“1-x”代替“x”，得f（x）+f（1+x）=3，以“x+1”替換“x”，得f（x+1）+f（2+x）=3，兩式相減，得f（x）=f（x+2），所以3.中心對(duì)稱(chēng)與周期的關(guān)系（課下研究）學(xué)生可能提出問(wèn)題：若一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，那么這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是的能求出一個(gè)周期嗎？推廣3 定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，0）和（b，0），則f（x）是以2|b-a|為正周期的周期函數(shù).證明：因?yàn)?/p>

12、f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱(chēng)，所以f（x）=-f（2a-x），又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于（b，0）對(duì)稱(chēng)，所以f（x）=-f（2b-x），-f（2a-x）=-f（2b-x），用“-x”代換“x”，得f（2a+x）=f（2b+x），以“x-2a”代換“x”，得f（x）=f（x+2b-2a）所以f（x）是周期為2（b-a）的一個(gè)周期函數(shù).由此可見(jiàn)，如果一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，就能得出這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù).推廣4：定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，p）和（b，p），則f（x）是以2|b-a|為正周期的周期函數(shù). 更深層次的思考：能否推廣到任意兩個(gè)點(diǎn)的情況呢？配套習(xí)題3（2002年高

13、一希望杯）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象又關(guān)于點(diǎn)（a，b），（c，b）都對(duì)稱(chēng)（ac），則（ ）（A）f（x）是以|a-c|為周期的函數(shù) （B）f（x）是以2|a-c|為周期的周期函數(shù)（C）f（x）是以|a-c|為周期的周期函數(shù) （D）f（x）不是周期函數(shù) 三、小結(jié)通過(guò)兩個(gè)多月的學(xué)習(xí)，同學(xué)們深刻認(rèn)識(shí)到了高中的學(xué)習(xí)只靠單打獨(dú)斗很難取得理想的成績(jī)，所以學(xué)會(huì)了合作學(xué)習(xí)，養(yǎng)成了相互討論問(wèn)題的好習(xí)慣；今天我們學(xué)習(xí)的結(jié)論很重要，但是我認(rèn)為其中的研究過(guò)程和推導(dǎo)方法更重要，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道了反思的重要性，學(xué)會(huì)了如何把一個(gè)問(wèn)題逐步地引向深入，如何進(jìn)行延伸推廣，其中涉及到了實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、猜想（包括類(lèi)比猜

14、想）、證明等思想方法，這為你們以后的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)我們還深刻認(rèn)識(shí)到無(wú)論干什么都應(yīng)該有目標(biāo)意識(shí)，為自己訂立一個(gè)可行的目標(biāo)，規(guī)劃一下自己的未來(lái)，遇到問(wèn)題不要害怕，不要隨波逐流，做一個(gè)把握自己命運(yùn)的人.（4）要不要加練習(xí)題？您估計(jì)能講得完嗎？（5）這節(jié)課是課外研究性學(xué)習(xí)的一節(jié)課，整堂課的設(shè)計(jì)思路是由特殊到一般地得到有兩條對(duì)稱(chēng)軸的情況，然后由學(xué)生類(lèi)比猜想到有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心一條對(duì)稱(chēng)軸或有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的情況. 預(yù)備練習(xí)：練習(xí)：1.（1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系式：f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（ ）（A）偶函數(shù)，又是周期函數(shù) （B）偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)（C）奇函數(shù)，又是周期函數(shù) （D）奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)（軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)）2. （1996年全國(guó)高考題）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+2）= -f（x）=f（-x），當(dāng)x時(shí)，f（x）x，則f（.）等于（）（一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸）. .3.（2001年全國(guó)高考題）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的.（1）設(shè)f