1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用 章末小結(jié)1對于函數(shù)yf(x)，xD，使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)，xD的零點(diǎn)2方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)3函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0.(1)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)若不連續(xù)，則f(a)f(b)0與函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)沒有關(guān)系(即：零點(diǎn)存在定理僅對連續(xù)函數(shù)適用)(2)連續(xù)函數(shù)yf(x)若滿足f(a)f(b)

2、0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；反過來，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)不一定使f(a)f(b)0成立，若yf(x)為單調(diào)函數(shù)，則一定有f(a)f(b)0.4二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)，另外應(yīng)注意初始區(qū)間的選擇，依據(jù)給出的精確度，計(jì)算時(shí)及時(shí)檢驗(yàn)5解決函數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵在于理解題意，提高閱讀能力一方面要加強(qiáng)對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數(shù)學(xué)問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識(shí)面求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：題型一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的根，判斷一個(gè)方程是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，

3、就是判斷方程f(x)0是否有根，有幾個(gè)根從圖形上說，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系，可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題在高考中有許多問題涉及三者的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)引起我們的重視例1已知a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點(diǎn)，若0x0a，則f(x0)的值滿足()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)的符號(hào)不確定答案C解析如圖所示，是y2x與ylogx的圖象，顯然兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，于是在(0，a)區(qū)間上，y2x的圖象在ylogx的圖象的下方，從而2x0log

4、x0，即f(x0)2x0logx00.跟蹤演練1設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析設(shè)g(x)x322x，則g(0)4，g(1)1，g(2)7，g(3)26 ，g(4)63 ，顯然g(1)g(2)0，于是函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)，即yx3與yx2的圖象的交點(diǎn)在(1,2)內(nèi)題型二函數(shù)模型及應(yīng)用針對一個(gè)實(shí)際問題，我們應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫這當(dāng)然需要我們深刻理解基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握基本函數(shù)和常用函數(shù)的特點(diǎn)，并對一些重要的函數(shù)模型要有清晰的認(rèn)識(shí)對于一個(gè)具體的應(yīng)用題，原題中的數(shù)量間的

5、關(guān)系，一般是以文字和符號(hào)的形式給出，也有的是以圖象的形式給出，此時(shí)我們要分析數(shù)量變化的特點(diǎn)和規(guī)律，選擇較為接近的函數(shù)模型進(jìn)行模擬，從而解決一些實(shí)際問題或預(yù)測一些結(jié)果例2某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)組成有序數(shù)對(t，P)，點(diǎn)(t，P)落在圖中的兩條線段上；該股票在30天內(nèi)的日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：第t天4101622Q(萬股)36302418(1)根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)的一次函數(shù)關(guān)系式；(3)用y表示該股票日交易額(萬元)，寫

6、出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求在這30天中第幾天日交易額最大，最大值是多少？解(1)由圖象知，前20天滿足的是遞增的直線方程，且過兩點(diǎn)(0,2)，(20,6)，容易求得直線方程為Pt2；從20天到30天滿足遞減的直線方程，且過兩點(diǎn)(20,6)，(30,5)，求得方程為Pt8，故P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式為：P(2)由圖表，易知Q與t滿足一次函數(shù)關(guān)系，即Qt40,0t30，tN.(3)由以上兩問，可知y當(dāng)0t20，t15時(shí)，ymax125，當(dāng)20t30，y隨t的增大而減小在30天中的第15天，日交易額的最大值為125萬元跟蹤演練2甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(產(chǎn)量)進(jìn)

7、行調(diào)查，提供了兩個(gè)方面的信息如圖所示甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚池平均出產(chǎn)量從第一年1萬只甲魚上升到第六年2萬只乙調(diào)查表明：甲魚池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減少到第六年10個(gè)，請你根據(jù)提供的信息說明： (1)第二年甲魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)；(2)到第六年這個(gè)縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第一年是擴(kuò)大了還是縮小了？說明理由；(3)哪一年的規(guī)模最大？說明理由解(1)由題圖可知，直線y甲kxb，經(jīng)過(1,1)和(6,2)可求得k0.2，b0.8.y甲0.2(x4)故第二年甲魚池的產(chǎn)量為1.2萬只同理可得y乙4(x)故第二年甲魚池的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為261.231.2(萬只)(2)規(guī)模縮小，原因是：第一

8、年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年出產(chǎn)甲魚總數(shù)為20萬只(3)設(shè)第x年規(guī)模最大，即求y甲y乙0.2(x4)4(x)0.8x23.6x27.2的最大值當(dāng)x22時(shí)，y甲y乙0.843.6227.231.2(萬只)最大即第二年規(guī)模最大，甲魚產(chǎn)量為31.2萬只題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式轉(zhuǎn)向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程；化歸是將待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化的過程，歸結(jié)為一類已解決或比較容易解決的問題在解決函數(shù)問題時(shí)，常進(jìn)行數(shù)與形或數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的例3已知關(guān)于x的方程ax22(a1)xa10，試問當(dāng)a為何值時(shí)，方程的兩根都大于1.解設(shè)方程的兩根為x1，x2，方程的兩根都大于1，則x110，x210，故矛盾故不論a為何值，方程的兩根不可能都大于1.跟蹤演練3當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)y7x2(a13)xa2a2的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)上，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上？解已知函數(shù)對應(yīng)的方程為7x2(a13)xa2a20，函數(shù)的大致圖象如圖所示根據(jù)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，方程的根一個(gè)在(0,1)上，另一個(gè)在(1,2)上，則：即解得2a1或3a4.1.對于零點(diǎn)性質(zhì)要注意函數(shù)