1、橢 圓導學橢圓是我們生活中常見的一種曲線，如汽車油罐的橫截面、太陽系中九大行星及其衛(wèi)星運動的軌道、部分彗星的軌道等等都是橢圓形。研究橢圓的方程及其幾何性質，可以幫助我們解決一些實際問題。橢圓是解析幾何的重要內容，是高考?？嫉闹R點之一。知識要點梳理1、橢圓的定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。問題一：對于橢園的定義我們應理解哪些內容：（1）橢圓的定義是據(jù)橢圓常見、常用的作圖方法而得到的，它反映了橢圓的本質屬性，是建立標準方程和解決有關問題的根本依據(jù)，必須要深刻理解。建議初學的讀者，利用課本中

2、橢圓的畫法，邊畫邊體會、理解橢圓的定義。（2）在定義中要抓住關鍵字詞：“兩個定點”、“距離的和”、“常數(shù)”，弄清它們的確切含義。特別注意這個常數(shù)應大于兩定點的距離（F1F2=2c），即2a2c。當2a=2c時，點的軌跡是兩定點確定的線段F1F2；當2a2c時，點的軌跡不存在。（3）要注意利用橢圓的定義解題。與橢圓有關的一些問題，若根據(jù)題設條件，利用橢圓的定義來解，往往起到其它方法所不及的作用。2、如何聯(lián)系橢圓的標準方程理解幾何性質？請讀者利用類比的方法，將橢圓的兩種標準方程、圖形、及幾何性質列一張表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？為什么？再認真閱讀下面的說明。對標準方程及幾何性質的

3、幾點說明：（1）牢記參數(shù)關系：中最大。（2）在兩種標準方程表示的橢圓的幾何性質中，凡是與坐標無關的性質（橢圓本身固有的性質）都是相同的。如長軸、短軸的長，焦距，離心率，橢圓的形狀、大小等都是相同的。凡是與坐標有關的性質（由于坐標系選取的不同而得到的特殊性質）都是不同的。如焦點的坐標，頂點的坐標，標準方程，準線方程，橢圓的位置等都是不同的。記憶時，將焦點在x軸上方程、坐標中的x換成y，y換成x即可。（2）標準方程中的常數(shù)a、b（ab0）決定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件，這是橢圓本身固有的性質，與坐標系的選取無關。（6）橢圓的頂點是它與對稱軸的交點，所以必有兩個頂點與焦點在同一條直線上。橢

4、圓的中心、焦點、短軸的端點，過這三點構成一個直角三角形，且以c、b為直角邊，a為斜邊，這是a、b、c的一個幾何意義。（7）兩焦點的位置決定了橢圓在坐標系中的位置，是橢圓的定位條件，與坐標系的選取有關。當焦點在x軸上時，橢圓是“平臥”的；當焦點在y軸上時，橢圓是“直立”的。（8）橢圓的焦點一定在長軸上。觀察兩個標準方程，不難看出，當?shù)忍栍疫叺扔?時，若左邊x2項的分母大于y2項的分母，則焦點在x軸上；若左邊y2項的分母大于x2項的分母，則焦點在y軸上。即：焦點在x軸上標準方程中x2項的分母較大（是a2）；焦點在y軸上標準方程中y2項的分母較大（是a2）。簡記為：“以分母大小定長（軸）短（軸）”。

5、（9）求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系數(shù)法）。先定位，就是首先確定橢圓和坐標系的相對位置，以橢圓的中心為原點，看焦點在哪個坐標軸上，再確定標準方程的形式；后定量，就是根據(jù)已知條件，通過解方程（組）等手段，確定a、b的值，代入所設的方程，即可求出橢圓的標準方程。如若不能確定焦點的位置，則兩種情況都要考慮，這一點一定要注意，不要遺漏，此時設所求的橢圓方程為一般形式:A x2+B y2=1(A0,B0,且AB)比較簡單。（10）點P0（x0，y0）和橢圓的位置關系有：點P0（x0，y0）在橢圓上 ；點P0（x0，y0）在橢圓內；點P0（x0，y0）在橢圓外 。橢圓的標準方程教

6、學目標 根據(jù)課程標準的要求，本節(jié)教材的特點及所教學生的認知情況，把教學目標擬定如下： （1）知識目標：進一步理解橢圓的定義：掌握橢圓的標準方程，理解橢圓標準方程的推導；會根據(jù)條件寫出橢圓的標準方程；能用標準方程判定是否是橢圓 （2）能力目標：通過尋求橢圓的標準方程珠推導，幫助學生領會觀察、分析、歸納、數(shù)形結合等思想方法的運用；在相互交流學習中，使學生養(yǎng)成表述、抽象、總結的思維習慣，逐步培養(yǎng)學生在探索新知的過程中進行合作推理的能力，及應用代數(shù)知識進行同解變形和化簡的能力 （3）情感目標：在平等的教學氛圍中，讓學生體驗數(shù)學學習的成功與快樂，增加學生的求知欲和自信心，培養(yǎng)學生不怕困難、勇于探索的優(yōu)良

7、作風，增強學習審美體驗，提高學習的數(shù)學思維的情趣，給學生以成功的體驗，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度 重點、難點 重點：如何確定橢圓的標準方程： 難點：橢圓標準方程的推導： 教學方法 啟發(fā)、探索、小組討論等 教學手段 運用多媒體（計算機等）輔助教學 教學過程 （一）創(chuàng)設情景 情景一：復習上節(jié)課內容，重點是橢圓的定義上節(jié)課我們已經學習了橢圓，請大家回憶一下橢圓的定義，想一想我們是怎么畫橢圓的？平面內到兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距 情景二：展示圖片一，思索：油罐的橫截面而不是橢圓？ 情景三：展示圖片二，思索：“鳥巢”頂部的橢圓

8、型建筑如何設計？ 情景四：展示圖片三，思索：“嫦娥奔月”中衛(wèi)星如何精確定位？ 通過研究橢圓的方程，可以幫助我們回答這些問題 目的：利用課件生動形象的演示提高學習學習興趣，激活學生思維，使學生的注意，記憶、思維凝聚在一起，加強學生對橢圓形象的認識，提高參與程度，讓學生認識到學習橢圓的必要性，引出課題 （二）互動探究 橢圓標準方程的推導 問題1：聯(lián)想必修2中圓方程的推導步驟是如何的？ （建立坐標系，設點的坐標、列等式、代坐標、化簡方程） 問題2：怎樣給橢圓建立直角坐標系？ 設橢圓的兩個焦點分別為，它們之間的距離為，橢圓上任意一點到的距離的和為 通過幾何畫板來畫一個橢圓，讓學生思考根據(jù)所畫的橢圓，選

9、取適當?shù)淖鴺讼?結合建立坐標系的一般原則使點的坐標、幾何量的表達式簡單化，并且從“對稱美”、“簡潔美”的角度出發(fā)作一定的點撥；若學生選取適當?shù)淖鴺讼刀家粯?，教師多畫幾個坐標系，讓學生選，注意要有中心在原點，焦點在軸的坐標系；并提問：為什么選取這樣的坐標系，依據(jù)是什么 （1）建立直角坐標系：以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系 （2）設點的坐標：設點是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為， （3）列等式：依據(jù)橢圓的定義有 （4）將坐標代入得到 目的：教學生學會建立適當?shù)淖鴺讼担瑯嬙鞌?shù)與形的橋梁，學會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想 這是一個比較復雜的根式變形，化簡的關

10、鍵在于將根式去掉，而去根式則要兩邊平方，那么怎樣平方去根式會較簡單呢？ （5）化簡：通過平移、兩次平方后得到：，為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母，令，可的橢圓的標準方程先讓學生嘗試化簡，然后教師指出含有根式的化簡規(guī)則 總結含有根式的化簡步驟：（1）方程中有一個根式時，需將根式單獨留在方程的一邊，把其他項移到方程的另一邊，然后兩邊平方；（2）方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項，再兩邊平方（三）合作交流焦點在軸的橢圓方程該如何推導？ 通過幾何畫板的建系，再次讓學生體會：“建立坐標系、設點的坐標、列等式、代坐標、化簡方程”這個推導曲線方程的過程，并能在對比中猜想出

11、標準方程，即焦點，焦距為，橢圓的方程為 （四）數(shù)學建構 請同學們觀察歸納兩個方程的特征，從而區(qū)別焦點在不同坐標軸上的橢圓標準方程：令滲透數(shù)學對稱美，簡潔美教學標準方程不同點圖形焦點坐標，相同點定義平面內到兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡的關系焦點位置的判斷分母哪個大，焦點就在哪個軸上強調：是；是；是定方程“型”與曲線“形”目的：通過對比總結，強化不同類型的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解；通過討論，學生自主學習，構建新的知識體系，不但能學習到真正屬于自己的、可靈活運用的知識，而且在此過程中掌握求知的方法；通過討論，利用類比的方法來深化學生對橢圓標準方程的理解（五）學生活

12、動第一次數(shù)學練習：（1），則 ， ， ，焦點在 軸上，焦點坐標為 ；（2），則 ， ， ，焦點在 軸上，焦點坐標為 ；目的：通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦點位置與標準方程之間關系的理解，同時會求出焦點坐標、焦距等基本量（求前要將方程先化成標準式），教學時采用在教師引導下學生自主完成的方法（六）數(shù)學應用例1：已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為3m，求這個橢圓的標準方程解：以兩焦點所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則這個橢圓的標準方程可設為根據(jù)題意知，即，所以，因此，這個橢圓的標準方程為目的：（1）進一步熟悉橢圓的焦點位置與標準方程之間的關系；（2）掌握運用待定系數(shù)求橢圓的標準方程，解題時強調“二定”即定位定量；（3）培養(yǎng)學生運用知識解決問題的能力（七）學生活動第二次練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：，焦點在軸上；，焦點在坐標軸上；焦距為，且過點目的：熟悉鞏固知識，運用知識（八）回顧反思（1）啟發(fā)引導學生進行歸納整理；（2）利用幻燈片展示歸納結果；（3）對學生主動學習的態(tài)度及方式給予肯定；（4）強調學生學習數(shù)學過程中，需踏實、認真的學習態(tài)