1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用2掌握函數(shù)極值的判定及求法3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件知識(shí)鏈接在必修1中，我們研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近，也存在著哪一點(diǎn)的函數(shù)值大，哪一點(diǎn)的函數(shù)值小的問題，如何利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來判斷函數(shù)在某點(diǎn)附近函數(shù)值的大小問題，如圖觀察，函數(shù)yf(x)在d、e、f、g、h、i等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？yf(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，yf(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？答以d、e兩點(diǎn)為例，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xd處的函數(shù)值f

2、(d)比它在點(diǎn)xd附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(d)0；在xd的附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0.類似地，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xe處的函數(shù)值f(e)比它在xe附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(e)0；在xe附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0. 預(yù)習(xí)導(dǎo)引1極值點(diǎn)與極值的概念(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值

3、都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值2求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值要點(diǎn)一求函數(shù)的極值例1求函數(shù)f(x)x34x4的極值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0得x2或x2；由f(x)0得2x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情

4、況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)由表可知：當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值f(2).當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值f(2).規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格檢測f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個(gè)根處無極值跟蹤演練1求函數(shù)f(x)3ln x的極值解函數(shù)f(x)3ln x的定義域?yàn)?0，)，

5、f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)3因此當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)3.要點(diǎn)二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值例2已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)在x1處取得極值，且f(1)1.(1)求常數(shù)a，b，c的值；(2)判斷x1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，試說明理由，并求出極值解(1)f(x)3ax22bxc.x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，x1是方程f(x)0的兩根，即3ax22bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)1，abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)

6、(x1)，當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(，1)和(1，)上是增函數(shù)，在(1,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)1，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)1.規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性跟蹤演練2已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值解因?yàn)閒(x)在x1時(shí)有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x

7、1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x1時(shí)取得極小值，因此a2，b9.要點(diǎn)三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)x36x5，xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因?yàn)楫?dāng)x或x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值54；當(dāng)x時(shí)，f(

8、x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54a54時(shí)，直線ya與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根所以，a的取值范圍是(54，54)規(guī)律方法用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù)跟蹤演練3若函數(shù)f(x)2x36xk在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍解f(x)2x36xk，則f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是減函數(shù)，f(x)在(，1)和(1，)上是增函數(shù)f(x)的極大值為f(

9、1)4k，f(x)的極小值為f(1)4k.要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需4k0或4k0(如圖所示)或即k4或k4.k的取值范圍是(，4)(4，)1下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是()A導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值D若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)答案D解析由極值的概念可知只有D正確2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)答案C解

10、析在xx0的兩側(cè)，f(x)的符號由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；f(x)的符號由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)3已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A1a2 B3a6Ca1或a2 Da3或a6答案D解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.4設(shè)函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x21，則實(shí)數(shù)a的值為_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，從而x1x21，所以a9.1在

11、極值的定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，yf(x)的圖象如圖，則函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)取得極小值的點(diǎn)有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案A解析當(dāng)滿足f(x)0的點(diǎn)，左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0時(shí)，該點(diǎn)為極小值點(diǎn)，觀察題圖，只有一個(gè)極小值點(diǎn)2“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取得極值

12、”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析對于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0處取極值，反之成立故選B.3若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1處有極值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)等號成立，ab的最大值為9.4函數(shù)yx33x29x(2x2)有()A極大值5，極小值27B極大值5，極小值11C極大值5，無極小值D極小值27，無極大值答案C解析由

13、y3x26x90，得x1或x3，當(dāng)x1或x3時(shí)，y0，當(dāng)1x3時(shí)，y0.故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值5；x取不到3，故無極小值5函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x3既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函數(shù)f(x)有極大值和極小值，方程x22axa20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即4a24a80，解得a2或a1.6若函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1,4)解析y3x23a，當(dāng)a0時(shí)，y0，函數(shù)yx33axa為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)a0時(shí)，y3x23a

14、0x，不難分析，當(dāng)12，即1a4時(shí)，函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值7求函數(shù)f(x)x2ex的極值解函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)2xexx22xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值，且為f(2)4e2.二、能力提升8(2014新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)sin.若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足xf(x0)2m2，則m的取值范圍是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，)

15、D(，1)(1，)答案C解析由f(x)sin的圖象知，在xx0處，f(x0)，或f(x0)，即f(x0)23，又k(kZ)，得x0m(kZ)，|x0|，xf(x0)23，34，m2或m2.故選C.9(2013福建)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點(diǎn)Cx0是f(x)的極小值點(diǎn)Dx0是f(x)的極小值點(diǎn)答案D解析x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，并不是最大值點(diǎn)故A錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于y軸的對稱圖象的函數(shù)，故x0應(yīng)是f(x)的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于x軸的對稱圖象的

16、函數(shù)，故x0應(yīng)是f(x)的極小值點(diǎn)跟x0沒有關(guān)系，C錯(cuò)；f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱圖象的函數(shù)故D正確10如果函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yf(x)有極小值；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)有極大值則上述判斷正確的是_(填序號)答案解析函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)數(shù)的符號確定，當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，2)上為減函數(shù)，同理f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(2,2)上是增函數(shù)，在(4，)上為增函數(shù)，所以可排除和，可選擇.由于函數(shù)在x2的左側(cè)遞

17、增，右側(cè)遞減，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值；而在x的左右兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x的左右兩側(cè)均為增函數(shù)，所以x不是函數(shù)的極值點(diǎn)排除和.11已知f(x)x3mx22m2x4(m為常數(shù)，且m0)有極大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，則xm或xm.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(m)m3m32m34，m1.12設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解(1)f(x)3x22x1.令f(x

18、)0，則x或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的極大值是fa，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)0，所以曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值fa，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，f(x)極大值0或f(x)極小值0，即a0或a10，a或a1，當(dāng)a(1，)時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)三、探究與創(chuàng)新13(2013新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.(1)解f(x)ex.由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x)