1、25 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、隨機(jī)變量的函數(shù),二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、隨機(jī)變量的函數(shù),隨機(jī)變量的函數(shù),如果存在一個函數(shù)g(x) 使得隨機(jī)變量X Y滿足 Yg(X) (289) 則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),如何從自變量X的統(tǒng)計規(guī)律導(dǎo)出其函數(shù)Yg(X)的統(tǒng)計規(guī)律呢？,對任意區(qū)間(或區(qū)間的并)B 令Cx|g(x)B 則 YBg(X)BXC (290) 從而 PYBPg(X)BPXC (291) (291)說明 X的統(tǒng)計規(guī)律確實決定了Y的統(tǒng)計規(guī)律,例226 設(shè)X是一隨機(jī)變量 且YX2 則對任意x0 有,二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分

2、布的一般方法,首先根據(jù)自變量X的可能取值確定因變量Y的所有可能取值 然后對Y的每一個可能取值yi(i1 2 )確定相應(yīng)的Cixj|g(xj)yi 于是有,Yyi,XCi (294),g(X)yi,從而求得Y的概率分布,我們注意到Y(jié)的可能取值為0 1 根據(jù)(290) 有,解,PY1,PX1PX1,P(X1X1),PX 21,三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,已知X的分布函數(shù)FX(x)或密度函數(shù)fX(x) 為求Yg(X)的分布函數(shù) 正如(291)所示,求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法,其中Cx t | g(t)x 而PXCx往往可由X的分布函數(shù)FX(x)來表達(dá)或用其密度函數(shù)fX(x)的積分來表達(dá),

3、FY(x)PYx,Pg(X)x,PXCx (296),進(jìn)而 Y的密度函數(shù) 可直接從FY(x)導(dǎo)出,例228 設(shè)X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量 其分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的 則F(X)服從0 1上的均勻分布,當(dāng)x1時 FY(x)PF(X)x1 當(dāng)0 x1時 由于F(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增 故有,由于F(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù) 因而其反函數(shù)存在 記作F1(x) 設(shè)YF(X)的分布函數(shù)為FY(x) 則當(dāng)x0時,證明,FY(x)PYx,PF(X)x0,F(F1(x)x,PXF1(x),FY(x)PF(X)x,即YF(X)服從0 1上的均勻分布,例229(2(1)分布) 設(shè)XN(0 1) 求YX 2的密度函數(shù),記Y的分布函數(shù)為FY(x) 則,解,FY(x)PYxPX 2x,顯然 當(dāng)x0時,FY(x)PX 2x0,當(dāng)x0時,從而YX 2的分布函數(shù)為,于是其密度函數(shù)為,例230(對數(shù)正態(tài)分布) 隨機(jī)變量 X 稱為服從參數(shù)為 2 的對數(shù)正態(tài)分布 如果YlnX服從正態(tài)分布N( 2) 試求對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù),由于Yln XN( 2) 等價地有XeY YN( 2) 于是 當(dāng)x0時,解,FX(x)PXx,PeYx,PYln x,(ln x),當(dāng)x0時 顯然FX(x)0,繼而可得X的密度函數(shù)為,例231(對數(shù)正態(tài)分布的矩)