1、章末分層突破自我校對導數(shù)及其應用導數(shù)的運算曲線的切線斜率導數(shù)的四則運算函數(shù)的單調(diào)性曲線的切線最優(yōu)化問題曲邊梯形的面積微積分基本定理的應用導數(shù)的幾何意義及其應用利用導數(shù)的幾何意義求切線方程時關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，先求導，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程(1)曲線

2、yxex1在點(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2D1(2)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖11所示，則該函數(shù)的圖象是() 【導學號：】圖11【精彩點撥】(1)曲線在點(1,1)處的切線斜率即為該點處的導數(shù)(2)由導數(shù)值的大小變化，確定原函數(shù)的變化情況，從而得出結(jié)論【規(guī)范解答】(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(1,1)處的切線斜率為k2.(2)從導函數(shù)的圖象可以看出，導函數(shù)值先增大后減小，x0時最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x0時變化率最大A項，在x0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤

3、；D項，變化率是越來越小的，故錯誤；B項正確【答案】(1)C(2)B再練一題1已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；(3)求斜率為4的曲線的切線方程【解】(1)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率k4.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x

4、01或x02，故所求的切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點為(x0，y0)，則切線的斜率kx4，x02.切點為(2,4)或.斜率為4的曲線的切線方程為y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，進而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想這部分內(nèi)容要注意的是f(x)為增函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個，f(x)為減函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個(2016北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)

5、x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間【精彩點撥】(1)利用導數(shù)的幾何意義和求導運算建立方程組求未知數(shù)(2)利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性【規(guī)范解答】(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設(shè)，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)綜上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)

6、再練一題2(2016全國卷)(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當x0時，(x2)exx20；(2)證明：當a0,1)時，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設(shè)g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域【解】(1)f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，當且僅當x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞增因此當x(0，)時，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調(diào)遞增對任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當0

7、xxa時，f(x)a0，g(x)xa時，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a).由0，得y單調(diào)遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因為y單調(diào)遞增，對任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上，當a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值由函數(shù)的解析式能求出函數(shù)的極值和最值，反過來由函數(shù)的極值或最值也能求出參數(shù)的值或取值范圍另外，這部分內(nèi)容可能會和恒成立問題、有解等問題聯(lián)系到一起考查已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,

8、0)，且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍【精彩點撥】(1)由求出a，b即可(2)對t分0t2與2t3兩種情況求最值(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)c轉(zhuǎn)化為g(x)在1,3上有實根求解【規(guī)范解答】(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3

9、x26x.由f(x)0，得x0或x2.當0t2時，在區(qū)間(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(0)2，f(x)的最小值為f(t)t33t22.當2t3時，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2單調(diào)遞減極小值2單調(diào)遞增t33t22f(x)的最小值為f(2)2，f(x)的最大值為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值為f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1

10、,3上恰有兩個相異的實根，則解得2c0.再練一題3已知函數(shù)f(x)x312xm.(1)若xR，求函數(shù)f(x)的極大值與極小值之差；(2)若函數(shù)yf(x)有三個零點，求m的取值范圍；(3)當x1,3時，f(x)的最小值為2，求f(x)的最大值【解】(1)f(x)3x212.當f(x)0時，x2或x2.當f(x)0時，2x2.當f(x)0時，x2或x2.f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞減，在(2,2)上單調(diào)遞增f(x)極小f(2)16m.f(x)極大f(2)16m.f(x)極大f(x)極小32.(2)由(1)知要使函數(shù)yf(x)有三個零點，必須即16m16.m的取值范圍為(16,16)(3)當

11、x1,3時，由(1)知f(x)在1,2)上單調(diào)遞增，f(x)在2,3上單調(diào)遞減，f(x)的最大值為f(2)又f(1)11m，f(3)m9，f(1)f(3)，在1,3上f(x)的最小值為f(1)11m，11m2，m9.當x1,3時，f(x)的最大值為f(2)(2)3122925.函數(shù)與方程的思想函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的一種常用方法，證明時靈活構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，盡可能選擇求導和判斷導數(shù)符號都比較容易的函數(shù)，如果證明f(x)g(x)，x(a，b)，可轉(zhuǎn)化為證明F(x)f(x)g(x)與0的關(guān)系，若F(x)0，則函數(shù)F(x)在(a，b)上是增函數(shù)若F(a)0，則由增函數(shù)的定義，知當x(a，b)時，有F(

12、x)F(a)0，即f(x)g(x)成立，同理可證明f(x)g(x)，x(a，b)設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值(1)求a，b的值；(2)若對任意的x0,3，都有f(x)0；當x1,2時，f(x)0.所以當x1時，f(x)取得極大值f(1)58c，當x2時，f(x)取得極小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以當x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c.因為對于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范圍為c9.再練一題4(2016鄭州高二檢測)已知函數(shù)f(x)，且f(x)的圖象在x1處與直線y2相切(1)求函數(shù)

13、f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點，直線l與f(x)的圖象相切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍【解】(1)對函數(shù)f(x)求導，得f(x).因為f(x)的圖象在x1處與直線y2相切所以即所以a4，b1，所以f(x).(2)因為f(x)，所以直線l的斜率kf(x0)4，令t，t(0,1，則k4(2t2t)82，所以k.定積分及其應用定積分是對“分割、近似代替、求和、取極限”的概括，包含“以直代曲”的數(shù)學思想，利用定積分的幾何意義、物理意義及微積分基本定理可以解決不規(guī)則平面圖形的面積及變力作功問題設(shè)兩拋物線yx22x，yx2所圍成的圖形為M，求M的面積【精彩點撥】

14、求出兩拋物線的交點，畫出圖象、利用定積分求解【規(guī)范解答】函數(shù)yx22x，yx2在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示由圖可知，圖形M的面積S(x22xx2)dx(2x22x)dx.再練一題5一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5B825ln C425ln 5D450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，在此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.【答案】C1(2015全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(x

15、R)的導函數(shù)，f(1)0，當x0時，xf(x)f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)【解析】設(shè)yg(x)(x0)，則g(x)，當x0時，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0時，f(x)0,0x1，當x0，g(x)0，x0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.【答案】A2(2015全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)0，則a的取值范圍是()A.B.C. D.【解析】f(0)1a0，x00.又x00是唯一的使f(x)0的整數(shù)，即解得a.又a1，a0，不存

16、在x1，x2，使得x1x21；對于C：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.顯然不存在這樣的x1，x2；對于D：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，顯然不存在這樣的x1，x2.綜上所述，選A.【答案】A4(2016全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，則f(1)2.所以yf(x)在點(1，3)處的切線方程為y32(x1)，即y2x1.【答案】y2x15(2015湖南高考)(x1)dx_.【解析】(x1)dx2220.【答案】0章末綜合測評(一)導數(shù)及其應用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在

17、每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2016天津高二檢測)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且x0(a，b)，則 的值為()Af(x0)B2f(x0)C2f(x0)D0【解析】 2 2f(x0)，故選B.【答案】B2設(shè)曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a() 【導學號：】A1B.CD1【解析】y2ax，于是切線斜率ky|x12a，由題意知2a2，a1.【答案】A3下列各式正確的是()A(sin a)cos a(a為常數(shù))B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6【解析】由導數(shù)公式知選項A中(sin a)0；選項B中(cos

18、 x)sin x；選項D中(x5)5x6.【答案】C4函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)【解析】f(x)(x2)ex，由f(x)0，得x2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)【答案】D5(2016東北三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)x3f(1)x2x，則f(1)的值為()A0B2C1D1【解析】f(x)x22f(1)x1，則f(1)122f(1)11，解得f(1)0.【答案】A6如圖1所示，圖中曲線方程為yx21，用定積分表示圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是()圖1A.B.(x21)dxC.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx【解析

19、】S(x21)dx(x21)dx|x21|dx.【答案】C7(2016泰安高二檢測)函數(shù)f(x)x33x23xa的極值點的個數(shù)是()A2B1C0D由a確定【解析】f(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值故選C.【答案】C8若函數(shù)f(x)x33x29xa在區(qū)間2，1上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為()A5B7C10D19【解析】f(x)3x26x93(x1)(x3)，所以函數(shù)在2，1內(nèi)單調(diào)遞減，所以最大值為f(2)2a2.a0，最小值f(1)a55.【答案】A9已知yf(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(1)1，f(x)1，則f(x)x的解集是(

20、)A(0,1)B(1,0)(0,1)C(1，)D(，1)(1，)【解析】不等式f(x)x可化為f(x)x0，設(shè)g(x)f(x)x，則g(x)f(x)1，由題意g(x)f(x)10，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(1)f(1)10，原不等式g(x)0g(x)g(1)x1，故選C.【答案】C10已知函數(shù)f(x)x22xaln x，若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa0Ba0或a0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)0，則的最小值為() 【導學號：】A3 B.C2 D.【解析】由題意，得f(x)2axb.由對任意實數(shù)x，有f(x)0，知圖象開口向上，所以a0，且b24ac0，所

21、以ac.因為f(0)0，所以b0，且在x0處函數(shù)遞增由此知f(0)c0.所以2.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13 (3xsin x)dx_.【解析】 (3xsin x)dx(0cos 0)1.【答案】114(2014江西高考)若曲線yex上點P處的切線平行于直線2xy10，則點P的坐標是_【解析】設(shè)P(x0，y0)，yex，yex，點P處的切線斜率為kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，點P的坐標為(ln 2,2)【答案】(ln 2,2)15(2016南京高二檢測)直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有三個相異的公共點

22、，則a的取值范圍是_【解析】令f(x)3x230，得x1，可求得f(x)的極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，如圖所示，2a2時，恰有三個不同公共點【答案】(2,2)16周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_cm3.【解析】設(shè)矩形的長為x，則寬為10x(0x0，當x時，V(x)0)(1)求函數(shù)yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)當a1時，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值【解】(1)f(0)1，f(x)xa，f(0)0，所以函數(shù)yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1.(2)函數(shù)的定義域為(1，)，令f(x)0，即0.解得x0或xa1.當a1時，f(x)，f(x)隨x變化的變化情況為x(1,0)0(0，